南京高考三模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域為（）

A.(-∞,1)B.[1,+∞)C.(1,+∞)D.(-1,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z滿足z2=i，則z的模長為（）

A.1B.√2C.√3D.2

3.設(shè)等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=5，a?=11，則S??的值為（）

A.50B.60C.70D.80

4.直線l：x-2y+3=0與圓C：(x-1)2+(y+1)2=4的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.內(nèi)含

5.若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則φ的取值可以是（）

A.π/4B.π/2C.3π/4D.π

6.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosB的值為（）

A.3/5B.4/5C.1D.-1

7.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+2，則f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值為（）

A.2B.3C.4D.5

8.在直角坐標(biāo)系中，點P(a,b)到直線x+y=1的距離為√2/2，則a2+b2的值為（）

A.1/2B.1C.2D.4

9.已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1的離心率為√2，則其漸近線的方程為（）

A.y=±xB.y=±2xC.y=±x/2D.y=±2x/3

10.若函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.eB.e2C.1/eD.1/e2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）

A.y=-2x+1B.y=x2C.y=log?/2(x)D.y=e^x

2.已知向量a=(1,k)，b=(-2,3)，若a與b共線，則k的值可以是（）

A.-3/2B.3/2C.-2D.2

3.在等比數(shù)列{a?}中，若a?=6，a?=162，則該數(shù)列的前5項和為（）

A.124B.126C.128D.130

4.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）

A.(2,-3),4B.(-2,3),4C.(2,-3),√10D.(-2,3),√10

5.若函數(shù)f(x)=sin2x+cos2(π/3-x)+tan(x-π/4)，則f(x)的值域為（）

A.[1,2]B.[1,√2+1]C.[1,√3+1]D.[2,√2+1]

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若sinα+cosα=√2/2，則sin2α+cos2α的值為________。

2.已知直線l?：ax+2y-1=0與直線l?：x+(a+1)y+4=0互相平行，則實數(shù)a的值為________。

3.在△ABC中，a=3，b=√7，c=√13，則cosB的值為________。

4.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為________。

5.已知數(shù)列{a?}的前n項和為S?=n2+n，則該數(shù)列的通項公式a?=________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算：lim(x→∞)[(3x2-x+2)/(x2+1)]3

2.解方程：sin(2x)-cos(x)=0，其中0≤x<2π。

3.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

4.計算：∫(from0to1)(x3-2x+1)dx

5.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知a=2，b=√3，C=60°，求sinA的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C(函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求真數(shù)大于0，即x-1>0，解得x>1)

2.A(復(fù)數(shù)z滿足z2=i，令z=a+bi，則(a+bi)2=a2-b2+2abi=i，即a2-b2=0且2ab=1，解得a=b=±1/√2，故|z|=√(a2+b2)=√(1/2+1/2)=1)

3.B(設(shè)等差數(shù)列{a?}的首項為a?，公差為d，則a?=a?+2d=5，a?=a?+6d=11，兩式相減得4d=6，解得d=3/2，代入a?=a?+2×3/2=5，解得a?=2，則S??=10×[2+(10-1)×3/2]=10×[2+27/2]=10×35/2=60)

4.C(圓C的圓心為(1,-1)，半徑r=√4=2，直線l到圓心的距離d=|1-2×(-1)+3|/√(12+(-2)2)=|1+2+3|/√5=6/√5=6√5/5，因為2<6√5/5<4，所以直線與圓相交)

5.D(函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則f(-x)=f(x)，即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ)，利用sin(-θ)=-sinθ得-sin(ωx-φ)=sin(ωx+φ)，即sin(ωx-φ)=-sin(ωx+φ)，又-sinθ=sin(π-θ)，所以sin(ωx-φ)=sin(ωx+φ)?ωx-φ=ωx+φ+2kπ或ωx-φ=π-(ωx+φ)+2kπ，k∈Z，第一個等式化簡得φ=-(kπ)，第二個等式化簡得2ωx=π-2φ+2kπ?x=(π-2φ+2kπ)/(2ω)，此等式對任意x成立不可能，故φ=-(kπ)，取k=0得φ=0，取k=1得φ=-π，考慮周期性，φ=0或φ=π+2kπ，取k=0得φ=π)

6.B(由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2×3×5)=9+25-16/30=18/30=3/5)

7.C(f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f'(x)=0得x=0或x=2，f(-1)=0，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2，所以最大值為max{0,2,0,2}=2)

8.B(點P(a,b)到直線x+y=1的距離為|a+b-1|/√2=√2/2，解得|a+b-1|=1，即a+b-1=1或a+b-1=-1，得a+b=2或a+b=0，則(a+b)2=a2+b2+2ab=4或0，因為ab是實數(shù)，所以a2+b2≥0，故a2+b2=4)

9.A(雙曲線x2/a2-y2/b2=1的離心率e=c/a，漸近線方程為y=±(b/a)x，由e=√2得c=√2a，又c2=a2+b2，所以(√2a)2=a2+b2?2a2=a2+b2?b2=a2?b=a，故漸近線方程為y=±(a/a)x=±x)

10.A(f'(x)=e^x-a，由題意f'(1)=e-a=0，解得a=e)

二、多項選擇題答案及解析

1.BD(y=x2在(0,+∞)上單調(diào)遞增；y=e^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增)

2.AB(向量a與b共線，則存在λ∈R使得a=λb，即(1,k)=λ(-2,3)，得1=-2λ且k=3λ，解得λ=-1/2，k=3×(-1/2)=-3/2)

3.B(設(shè)等比數(shù)列{a?}的公比為q，則a?=a?q3=6q3，由a?/a?=q3=162/6=27，得q=3，則a?=a?/q=6/3=2，S?=a?(1-q?)/(1-q)=2(1-3?)/(1-3)=2×(1-243)/(-2)=2×(-242)/(-2)=242)

4.CD(圓x2+y2-4x+6y-3=0配方得(x-2)2+(y+3)2=4+9+3=16，圓心為(2,-3)，半徑r=√16=4；圓心為(-2,3)，半徑r=√16=4；圓心為(2,-3)，半徑r=√10；圓心為(-2,3)，半徑r=√10，故正確答案為C和D)

5.AC(f(x)=sin2x+cos2(π/3-x)+tan(x-π/4)=sin2x+(1/2)cosx-(√3/2)sinx+(1-tanπ/4)/(1+tanπ/4)=sin2x+(1/2)cosx-(√3/2)sinx+(1-1)/(1+1)=sin2x+(1/2)cosx-(√3/2)sinx，令t=sinx，則y=t2+(1/2)√(1-t2)-√3/2t，令g(t)=t2-√3/2t+(1/2)√(1-t2)，求導(dǎo)g'(t)=2t-√3/2-(-√(1-t2)/2t)=2t-√3/2+√(1-t2)/2t，令g'(t)=0得t=√3/4，此時g(√3/4)=3/16-3√3/8+1/2=7/16-3√3/8，當(dāng)t=0時g(0)=1/2，當(dāng)t=1時g(1)=0，故g(t)在t=√3/4處取得最大值，y在sinx=√3/4時取得最大值，此時cosx=√(1-sin2x)=√(1-3/16)=√13/4，故最大值為(3/16-3√3/8)+√13/4=1/4，當(dāng)sinx=0時y=1/2，當(dāng)sinx=1時y=0，故值域為[0,1/4])

三、填空題答案及解析

1.1(sinα+cosα=√2/2兩邊平方得sin2α+2sinαcosα+cos2α=2/4=1/2，由sin2α+cos2α=1得2sinαcosα=1/2?sin2α=1/2，因為sin2α+cos2α=1，所以sinα和cosα不可能同時為0，故sinα和cosα均不為0，所以可以除以2sinαcosα，得tanα=1/2，所以sin2α+cos2α=1)

2.-1(直線l?：ax+2y-1=0與直線l?：x+(a+1)y+4=0互相平行，則斜率相等，即-a/2=-1/(a+1)，解得a=2或a=-1，當(dāng)a=2時，直線l?：2x+2y-1=0，直線l?：x+3y+4=0，兩直線方程無公共解，故a=2不符合題意；當(dāng)a=-1時，直線l?：-x+2y-1=0，直線l?：x=0，兩直線方程有公共解，故a=-1)

3.4/5(由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+132-72)/(2×3×√13)=9+169-49/6√13=129/6√13=43/2√13=43√13/26=4/5)

4.-1(f'(x)=3x2-2ax，由題意f'(1)=3-2a=0，解得a=3/2，此時f'(x)=3x2-3x=3x(x-1)，令f'(x)=0得x=0或x=1，f(0)=1，f(1)=1-3/2+1=1/2，故f(x)在x=0處取得極大值，在x=1處取得極小值，與題意不符，故a=3/2不符合題意，重新考慮，f'(x)=3x2-ax，由題意f'(1)=3-a=0，解得a=3，此時f'(x)=3x2-3x=3x(x-1)，令f'(x)=0得x=0或x=1，f(0)=1，f(1)=1-3+1=-1，故f(x)在x=0處取得極大值，在x=1處取得極小值，與題意相符，故a=3)

5.n2+n(當(dāng)n=1時，a?=S?=12+1=2；當(dāng)n≥2時，a?=S?-S???=n2+n-(n-1)2-(n-1)=n2+n-n2+2n-1-n+1=2n，故a?=2n，當(dāng)n=1時，a?=2，與n≥2時的a?=2n不符，故通項公式a?=2n)

四、計算題答案及解析

1.lim(x→∞)[(3x2-x+2)/(x2+1)]3=[lim(x→∞)(3x2/x2-x/x2+2/x2)]3=[lim(x→∞)(3-1/x+2/x2)]3=[3]3=27

2.sin(2x)-cos(x)=0?sin2x-sin(π/2-x)=0?sin2x-sin(π/2-x)=0?2sinxcosx-cosx=0?cosx(2sinx-1)=0?cosx=0或2sinx-1=0?x=π/2+kπ或sinx=1/2?x=π/6+kπ或x=5π/6+kπ，k∈Z，取k=0得x=π/2或x=π/6或x=5π/6，故解集為{x|x=π/6+kπ或x=5π/6+kπ,k∈Z}

3.f'(x)=2x-2=2(x-1)，令f'(x)=0得x=1，f(1)=12-2×1+3=2，f(3)=32-2×3+3=6，f(1)=2，f(3)=6，f(-1)=(-1)2-2×(-1)+3=6，故最大值為max{2,6,6}=6，最小值為min{2,6,6}=2

4.∫(from0to1)(x3-2x+1)dx=[x?/4-x2+x](from0to1)=(1?/4-12+1)-(0?/4-02+0)=1/4-1+1=1/4

5.由正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC，故sinA=a×sinC/c=2×sin60°/√3=2×(√3/2)/√3=1

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識點分類和總結(jié)

本試卷主要涵蓋了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，包括函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、導(dǎo)數(shù)和積分等內(nèi)容。具體知識點分類如下：

一、函數(shù)

1.函數(shù)的基本概念：定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等

2.函數(shù)的運算：四則運算、復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)等

3.函數(shù)的圖像：基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)

4.函數(shù)的極限：數(shù)列的極限和函數(shù)的極限

二、三角函數(shù)

1.三角函數(shù)的基本概念：角的概念、弧度制、三角函數(shù)的定義等

2.三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)

3.三角函數(shù)的恒等變換：和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式等

4.解三角形：正弦定理、余弦定理、面積公式等

三、數(shù)列

1.數(shù)列的基本概念：通項公式、前n項和等

2.等差數(shù)列：通項公式、前n項和公式、性質(zhì)等

3.等比數(shù)列：通項公式、前n項和公式、性質(zhì)等

四、解析幾何

1.直線：直線方程、直線間的位置關(guān)系等

2.圓：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、直線與圓的位置關(guān)系等

3.圓錐曲線：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)等

五、導(dǎo)數(shù)

1.導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)的定義、幾何意義等

2.導(dǎo)數(shù)的運算：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等

3.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等

六、積分

1.定積分的概念：定積分的定義、幾何意義等

2.定積分的運算：定積分的基本性質(zhì)、定積分的計算方法等

各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例

一、選擇題

1.考察函數(shù)的基本概念和性質(zhì)，如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性等

示例：函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域為（）

解析：函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域要求真數(shù)大于0，即x-1>0，解得x>1，故選C

2.考察復(fù)數(shù)的運算和性質(zhì)，如復(fù)數(shù)的模長、共軛復(fù)數(shù)等

示例：若復(fù)數(shù)z滿足z2=i，則z的模長為（）

解析：復(fù)數(shù)z滿足z2=i，令z=a+bi，則(a+bi)2=a2-b2+2abi=i，即a2-b2=0且2ab=1，解得a=b=±1/√2，故|z|=√(a2+b2)=√(1/2+1/2)=1，故選A

3.考察等差數(shù)列的性質(zhì)和運算，如通項公式、前n項和公式等

示例：設(shè)等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?=5，a?=11，則S??的值為（）

解析：設(shè)等差數(shù)列{a?}的首項為a?，公差為d，則a?=a?+2d=5，a?=a?+6d=11，兩式相減得4d=6，解得d=3/2，代入a?=a?+2d=5，解得a?=2，則S??=10×[2+(10-1)×3/2]=10×[2+27/2]=10×35/2=60，故選B

4.考察直線與圓的位置關(guān)系，如相離、相切、相交、內(nèi)含等

示例：直線l：x-2y+3=0與圓C：(x-1)2+(y+1)2=4的位置關(guān)系是（）

解析：圓C的圓心為(1,-1)，半徑r=√4=2，直線l到圓心的距離d=|1-2×(-1)+3|/√(12+(-2)2)=|1+2+3|/√5=6/√5=6√5/5，因為2<6√5/5<4，所以直線與圓相交，故選C

5.考察三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，如周期性、對稱性等

示例：若函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則φ的取值可以是（）

解析：函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖像關(guān)于y軸對稱，則f(-x)=f(x)，即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ)，利用sin(-θ)=-sinθ得-sin(ωx-φ)=sin(ωx+φ)，即sin(ωx-φ)=-sin(ωx+φ)，又-sinθ=sin(π-θ)，所以sin(ωx-φ)=sin(ωx+φ)?ωx-φ=ωx+φ+2kπ或ωx-φ=π-(ωx+φ)+2kπ，k∈Z，第一個等式化簡得φ=-(kπ)，第二個等式化簡得2ωx=π-2φ+2kπ?x=(π-2φ+2kπ)/(2ω)，此等式對任意x成立不可能，故φ=-(kπ)，取k=0得φ=0，取k=1得φ=-π，考慮周期性，φ=0或φ=π+2kπ，取k=0得φ=π，故選D

6.考察解三角形，如余弦定理等

示例：在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosB的值為（）

解析：由余弦定理cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(32+52-42)/(2×3×5)=9+25-16/30=18/30=3/5，故選B

7.考察函數(shù)的最值，如利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值等

示例：設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+3，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,3]上的最大值和最小值。

解析：f'(x)=2x-2=2(x-1)，令f'(x)=0得x=1，f(1)=12-2×1+3=2，f(3)=32-2×3+3=6，f(1)=2，f(3)=6，故最大值為max{2,6}=6，最小值為min{2,6}=2

8.考察點到直