高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月期中考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則的值為（）A.-1 B.3 C.8 D.16【答案】C【解析】根據(jù)題意，，則，由導(dǎo)數(shù)的定義知，．故選：C．2.已知數(shù)列滿足，，則（）A.14 B.13 C.12 D.11【答案】B【解析】由，，可得，，故選：B.3.在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過程中的重心相對(duì)于水面的高度（單位：）與起跳后的時(shí)間（單位：）存在函數(shù)關(guān)系，則該運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，令，得，即該運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為.故選：C.4.已知等比數(shù)列，且，，，則（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】A【解析】由條件可知，，且，，所以，.故選：A5.已知函數(shù)，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，所以，故選：D6.隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來，越來越多的網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)開始使用推薦系統(tǒng)來給用戶提供更加個(gè)性化的服務(wù).某公司在研發(fā)平臺(tái)軟件的推薦系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為x（）萬條時(shí)，平臺(tái)軟件收入為元.已知每收集1萬條數(shù)據(jù)，公司需要花費(fèi)成本100元，當(dāng)該軟件獲得最高收益時(shí)，收集的數(shù)據(jù)量應(yīng)為（）A.17萬條 B.16萬條 C.15萬條 D.14萬條【答案】C【解析】設(shè)收益為y元，則，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即當(dāng)收集的數(shù)據(jù)量為15萬條時(shí)，該軟件能獲得最高收益.故選：C.7.若數(shù)列滿足（且），，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，可得：，累計(jì)可得：，故選：D.8.已知函數(shù)，過點(diǎn)可向曲線引3條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，所以切線的斜率為，所以切線方程為，由點(diǎn)切線上代入可得，即三次方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，令，則，所以極值點(diǎn)為和，又極值點(diǎn)處函數(shù)值為，三次方程有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根的充要條件是極值點(diǎn)處函數(shù)值異號(hào)，所以，解得.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)至少有2個(gè)極值點(diǎn)C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在處取得極大值【答案】ABC【解析】根據(jù)的圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞增，故A正確；根據(jù)的圖象可知：有三個(gè)解，其中和是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，而是不是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，故函數(shù)有2個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；根據(jù)的圖象可知：在時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故C正確；根據(jù)的圖象可知：有三個(gè)解，其中和是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，而是不是導(dǎo)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)，故函數(shù)在處無極值，故D錯(cuò)誤；故選：ABC．10.給出定義：若函數(shù)在上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在上也可導(dǎo)，則稱在上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記．若在上恒成立，則稱在上是“下凸函數(shù)”．下列函數(shù)中在定義域上是“下凸函數(shù)”的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】A.定義域?yàn)?，，，故A正確.B.定義域?yàn)椋?，故B正確.C.定義域?yàn)?，，，故C正確.D.定義域?yàn)?，，，?dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.11.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且不等式對(duì)都成立，則（）A. B.數(shù)列的前n項(xiàng)和為C. D.實(shí)數(shù)k的最小值為【答案】AD【解析】由，得，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4等比數(shù)列，所以，即，故A正確；數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；由，得，令，所以，，，所以數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以，即實(shí)數(shù)k的最小值為，故D正確，故選：AD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的極小值點(diǎn)為________．【答案】【解析】由可得，令可得，即，解得，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，所以是的極小值點(diǎn).故答案：13.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則________．【答案】【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，則成等差數(shù)列，且，，則，則其公差為，所以，所以.故答案為：14.設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，為函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，當(dāng)關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)，稱是一組對(duì)稱點(diǎn)．若恰有3組對(duì)稱點(diǎn)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】，設(shè)，則，所以，，所以，因?yàn)榕c的圖象若恰有3組對(duì)稱點(diǎn)，所以有三組解，可得即有三個(gè)解，令，即函數(shù)與的圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，等比數(shù)列的公比為，，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）在等差數(shù)列中，，，公差，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；在等比數(shù)列中，，由，得，解得，，而，因此，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，.16.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的極值與最值．解：（1）由，得，所以．因?yàn)楹瘮?shù)的圖象在點(diǎn)處的切線與直線平行，所以，即，解得．（2）由（1）得，令，解得，或．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表所示：100單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此，當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為，當(dāng)時(shí)，有極大值，且極大值為．又，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為12，最小值為．17.已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由，又，可得數(shù)列是首項(xiàng)、公比均為3的等比數(shù)列，故，（2）由（1）可得，則，所以，兩式相減得，所以18.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：對(duì)且，都有．（1）解：因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：不妨設(shè)，則，要證對(duì)，都有，只需證，即需證．構(gòu)造函數(shù)，則要證，需證函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)在上為增函數(shù)成立，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)且，都有．19.定義：已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)n，存在，使得，則稱數(shù)列為“和完全平方數(shù)列”．（1）若數(shù)列滿足判斷是否為“和完全平方數(shù)列”．（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和（，且），那么是否存在λ，使得數(shù)列為“和完全平方數(shù)列”？若存在，求出所有的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）若等差數(shù)列是“和完全平方數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）為“和完全平方數(shù)列”，理由如下：設(shè)的前n項(xiàng)和為，顯然，滿足要求，當(dāng)時(shí)，，綜上，為“和完全平方數(shù)列”；（2）存在，使得為“和完全平方數(shù)列”，理由如下：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)的前項(xiàng)和為，則，滿足要求，因?yàn)椋?，所以，且，?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，滿足為“和完全平方數(shù)列”，當(dāng)時(shí)，，故，不存在，使得，綜上，；（3）設(shè)等差數(shù)列公差為，前n項(xiàng)和為，因?yàn)闉橥耆椒綌?shù)，