高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省鎮(zhèn)江市2025屆年高三下學(xué)期5月模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合A=xx-1x-4≥0，B=xA．-2,2 B．2,4 C．2,4 D．1,4【答案】C【解析】因?yàn)锳=xx-1x-4所以A∪B=-?R故選：C2．已知向量a、b滿足a=1，b=23，b?2a+A．π6 B．π3 C．2π【答案】A【解析】因?yàn)閎?可得cosa又因?yàn)?≤a,b≤π，所以a,b故選：A.3．在x-12xnA．454 B．-358 C．35【答案】A【解析】∵在x-12xn∴它的展開式共計(jì)有11項(xiàng)，∴n=10，故二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1令5+r2=6，求得r=2，可得在x-1故選：A．4．記等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a3A．120 B．140 C．160 D．180【答案】C【解析】因?yàn)閍3+a7=2所以S16故選：C.5．已知sinα-β=n，tanα=3tanβA．-2n B．-n2 C．n2【答案】D【解析】∵sinα-β=n，∴∵tanα=3tanβ，∴cosαsin∴sin故選：D．6．2025年，省屬“三位一體”綜合評(píng)價(jià)招生政策進(jìn)行了調(diào)整，每位考生限報(bào)四所大學(xué).某考生從6所大學(xué)中選擇4所進(jìn)行報(bào)名，其中甲、乙兩所學(xué)校至多報(bào)一所，則該考生報(bào)名的可能情況種數(shù)是（

）A．12 B．9 C．6 D．15【答案】B【解析】從6所大學(xué)中任取4所，有C64種，其中甲乙兩所學(xué)校同時(shí)被取到，有所以該考生報(bào)名的可能情況種數(shù)是C6故選：B7．已知fx及其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，且f'x不是常函數(shù)，則命題“fx是周期函數(shù)”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若fx是周期函數(shù)，設(shè)周期為T，則f兩邊求導(dǎo)，有：f'x+T=f'若f'x為周期函數(shù)，但例如，fx=-cosx+x，不具有周期性，而所以“fx是周期函數(shù)”是“f'x故選：A8．已知l為拋物線y=x2的切線，且l交圓M:x2+(y-1)2A．23 B．13 C．15 D．【答案】B【解析】設(shè)切點(diǎn)為x0,x02，所以y'=2x?圓心0,1到直線l的距離為d=-1-所以AB=2令t=4x02所以1+x當(dāng)且僅當(dāng)t16所以AB=2故選：B.二、多選題9．有兩組數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)A：1，3，5，7，9和數(shù)據(jù)B：1，2，4，8，16，則（

）A．?dāng)?shù)據(jù)A的平均數(shù)小于數(shù)據(jù)B的平均數(shù)B．?dāng)?shù)據(jù)A的方差小于數(shù)據(jù)B的方差C．?dāng)?shù)據(jù)A的極差小于數(shù)據(jù)B的極差D．?dāng)?shù)據(jù)A的中位數(shù)小于數(shù)據(jù)B的中位數(shù)【答案】ABC【解析】設(shè)數(shù)據(jù)A：1，3，5，7，9的平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)依次為a1數(shù)據(jù)B：1，2，4，8，16的平均數(shù)，方差，極差，中位數(shù)依次為a2對(duì)于A，a1=1+3+5+7+9對(duì)于B，b1=16+4+0+4+16對(duì)于C，c1=9-1=8<c對(duì)于D，d1=5>d2故選：ABC.10．已知F(2,0)是拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)，M是C上的點(diǎn)，OA．p=4B．|MF|≥|OF|C．以M為圓心且過F的圓與C的準(zhǔn)線相切D．當(dāng)∠OFM=120°時(shí)，△OFM的面積為2【答案】ABC【解析】因?yàn)镕(2,0)是拋物線C:y2=2px的焦點(diǎn)，所以p2=2設(shè)Mx0,y0所以MF=x0因?yàn)橐訫為圓心且過F的圓半徑為MF=x0+2等于M與C的準(zhǔn)線的距離，所以以M為圓心且過F的圓與當(dāng)∠OFM=120°時(shí),xy0x0-2=所以3y02-8y所以△OFM的面積為S△OFM=12故選：ABC.11．已知正數(shù)x，y，z滿足3x=4A．1x+12y=1z B．【答案】ACD【解析】正數(shù)x，y，z滿足3x=4則x=log3t，y=對(duì)于A，1x+1對(duì)于B，3x=3log3t，4y=4∵3x4y=3log∵4y6z=4log4t6log6對(duì)于C，由1z=1x+12y對(duì)于D，由xy>2z2，可得x+y>2xy>22故選：ACD三、填空題12．若z=-1+3i，則z【答案】-【解析】由于z=-1+3i，所以故答案為：-113．已知軸截面為正三角形的圓錐MM'的高與球O的直徑相等，則圓錐MM'的體積與球O的體積的比值是，圓錐MM【答案】2【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，球的半徑為R，因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高h(yuǎn)=3r，母線由題可知：h=2R，所以球的半徑R=所以圓錐的體積為V1球的體積V2所以V1圓錐的表面積S1球的表面積S2所以S1故答案為：23；114．甲、乙兩人玩擲骰子游戲，規(guī)則如下：每人各擲骰子兩次，以兩次骰子的點(diǎn)數(shù)之和作為投擲者的得分，若得分不同，得分多的一方獲勝，若得分相同視為平局，則甲獲勝的概率為.【答案】575【解析】擲骰子一共4次，基本事件共64其中，得兩分平局兩人拋出的都是1,1，共有1種；得三分平局兩人均有1,2,2,1兩種情況，兩人共以此類推，甲、乙平局一共有12其余甲、乙獲勝機(jī)會(huì)均等，各575種情況，所以甲獲勝的概率為5751296故答案為：575四、解答題15．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sinA+（1）求A．（2）若a=2，2bsinC=c解：（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由sinA+3cosA=2可得由于A∈(0,π)?A+π3方法二：常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）由sinA+3cosA=2，又4cos2A-4又A∈(0,π)方法三：利用極值點(diǎn)求解設(shè)f(x)=sinx+3顯然x=π6時(shí)，f(x)f(x)max=f(A)，在開區(qū)間(0,即f'(A)=0=cos又A∈(0,π)方法四：利用向量數(shù)量積公式（柯西不等式）設(shè)a=(1,3),根據(jù)向量的數(shù)量積公式，a?則2cosa,b=2?根據(jù)向量共線條件，1?cos又A∈(0,π)方法五：利用萬能公式求解設(shè)t=tanA2整理可得，t2解得tanA2=t=2-又A∈(0,π)（2）由題設(shè)條件和正弦定理2b又B,C∈(0,π)，則sinBsinC≠0于是C=πsinC=由正弦定理可得，asinA=解得b=22故△ABC的周長(zhǎng)為2+16．已知函數(shù)f(x)=x（1）求函數(shù)f(x)的極值；（2）求不等式f(x)≥2(x-1)解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，求導(dǎo)得當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,f(x)在當(dāng)x>1時(shí),f'(x)>0,f(x)在所以f(x)的極小值為f(1)=52（2）不等式f(x)≥2(x-1)令函數(shù)h(x)=-32x函數(shù)h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，且h(1)=0，由h(x)≥0=h(所以原不等式的解集為(0,1]．17．如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，（1）證明：C1O⊥平面（2）求二面角B-AA（1）證明：連接BC因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以BC=DC，又因?yàn)椤螩1CB=∠所以△C1CB?△點(diǎn)O為線段BD中點(diǎn)，所以C1在△C1CO中，C所以cos∠則C1又OC∩BD=O，OC?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以C1O⊥平面（2）解：方法一：由題知正方形ABCD中AC⊥BD，C1O⊥平面則B0,則AAAB=設(shè)面BAA1的法向量為m=x1則AA1?mAA1?n=0設(shè)二面角B-AA1-D則cosθ所以二面角B-AA1-D方法二：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz．由題設(shè)得B(2,0,0)，A(0,-2,0)，C10,0,2AA1=CC1設(shè)m=(x,y,z)是平面A則m?AA1=0設(shè)n=(p,q,r)是平面A則n?AA1=0所以cos?因此二面角B-AA1-D18．拋物線C1:x2=2p1y與C2（1）求p1（2）P,Q是C1上的兩點(diǎn)，若四邊形F解：（1）拋物線C2:yAF2=4+p2因?yàn)辄c(diǎn)A4,m在拋物線C2上，所以又m>0，所以m=4，將A4，4代入拋物線C故p1=2，p2（2）由（1）可知F10,1,F2因?yàn)樗倪呅蜦1PF2Q設(shè)Px1,因?yàn)镻,Q在拋物線C1上，所以x12即x1所以y1-y2x1-所以lPQ:y-1聯(lián)立2x-8y+3=0x所以x1所以PQ=F1到PQ距離d=所以S=PQ19．已知一個(gè)袋子中有x個(gè)紅球，y個(gè)黑球，x,y∈N*（1）當(dāng)x=1，y=2時(shí)，甲乙進(jìn)行摸球比賽，按先甲后乙依次輪流摸球，某人摸球時(shí)從袋子中摸出一個(gè)球，記下顏色后放回袋中，摸到紅球得一分否則對(duì)方得一分（記為一次摸球），規(guī)定當(dāng)一方比另外一方多2分時(shí)勝出，比賽結(jié)束.①求第6次摸球后比賽結(jié)束，且甲乙共摸到3次紅球的概率；②若規(guī)定甲乙摸球次數(shù)的總和達(dá)到2nn∈N*時(shí)也停止比賽，設(shè)隨機(jī)變量X為比賽結(jié)束時(shí)的摸球次數(shù)，寫出隨機(jī)變量X（2）將口袋中的球隨機(jī)逐個(gè)取出，并放入編號(hào)為1,2,3,???,x+y的盒子中，其中第k次取出的球放入編號(hào)為kk=1,2,3,???,x+y的盒子，隨機(jī)變量X表示最后一個(gè)取出的黑球所在的編號(hào)的倒數(shù)，EX是X的數(shù)學(xué)期望，求證：當(dāng)x>y時(shí)，（1）解：①設(shè)A事件為第6次摸球后比賽結(jié)束，且甲乙共摸到3次紅球，則P(A)=4×1答：第6次摸球后比賽結(jié)束