高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省連云港市灌南縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.過(guò)點(diǎn)且傾斜角為90°的直線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閮A斜角為90°，所以該直線與x軸垂直，又過(guò)，所以直線方程為，即.故選：C2.若拋物線上的一點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，則點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為（）A.3 B. C.2 D.1【答案】B【解析】設(shè)，M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為，解得，故.點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為.故選：.3.已知直線過(guò)點(diǎn)，且在軸與軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】設(shè)所求直線的橫截距為，當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線為，將點(diǎn)代入，可得，所以直線方程為，當(dāng)時(shí)，可設(shè)直線為，將點(diǎn)代入，可得，所以直線方程為，綜上，直線的方程為或.故選：C.4.橢圓：左右焦點(diǎn)分別為、，焦距為2，直線經(jīng)過(guò)交橢圓于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為12，則橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由的周長(zhǎng)為，得，又橢圓的焦距，則，所以，所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.5.已知?jiǎng)又本€與圓（圓心為）交于點(diǎn)，，則弦最短時(shí)，的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，圓可化為，其圓心為，半徑，動(dòng)直線，即，恒過(guò)點(diǎn).設(shè)，又由，則點(diǎn)在圓的內(nèi)部，動(dòng)直線與圓（圓心為）交于點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)，即與垂直時(shí)，弦最短，此時(shí)，弦的長(zhǎng)度為，此時(shí)的面積，故選：D.6.已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】直線與直線平行，∴，解得，故直線為直線，化簡(jiǎn)得，∴它們之間的距離為．故選：B．7.已知，直線：與：的交點(diǎn)在圓：上，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，由兩條直線的方程可以判斷直線與直線互相垂直，因此點(diǎn)在以為直徑的圓上，線段中點(diǎn)為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，由已知條件可知點(diǎn)在圓：上，所以圓與圓相交或相切，，因此有，解得：，所以則的最大值是，故選：A8.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，從發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的，兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，直線都過(guò)點(diǎn)，如圖，有，，設(shè)，則，顯然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令雙曲線半焦距為c，在中，，即，解得，所以E的離心率為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等直線方程為C.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為D.過(guò)，兩點(diǎn)的直線方程為【答案】AC【解析】A，令得，令得，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，故A正確；B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線還有過(guò)原點(diǎn)的直線，故B錯(cuò)誤；C，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，故C正確；D，兩點(diǎn)式使用的前提是，故D錯(cuò)誤；故選：AC.10.若點(diǎn)為原點(diǎn)，且圓與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，則圓的半徑可以是（）A.1 B.3 C.8 D.9【答案】AD【解析】由得的圓心，半徑，又，顯然點(diǎn)O在圓C外，由于圓O與圓C無(wú)公共點(diǎn)，則圓O與圓C可以外離，也可以內(nèi)含，且圓C在圓O內(nèi)，設(shè)圓O的半徑為R，于是或，即或，解得或，所以圓O的半徑可以是1或9，即AD滿足，BC不滿足.故選：AD11.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)．若，則下列說(shuō)法正確的有（）A.雙曲線的漸近線方程為B.若直線與雙曲線有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)，則C.的最小值為12D.的內(nèi)切圓的圓心在定直線上【答案】ACD【解析】因?yàn)榈膬?nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，如圖，由切線長(zhǎng)定理可知，所以，所以，則雙曲線的方程為，雙曲線的漸近線方程為，故A正確．對(duì)于B選項(xiàng)，由消去并化簡(jiǎn)得注意到當(dāng)時(shí)，方程有唯一解，即此時(shí)直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)垂直于軸時(shí)，PQ通徑，由雙曲線性質(zhì)可知，通徑最短，所以PQ的最小值為，C選項(xiàng)正確．對(duì)于選項(xiàng)，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，設(shè)與圓分別相切于點(diǎn)，由切線長(zhǎng)定理得，而，兩式相加得，所以是雙曲線的右頂點(diǎn)，所以軸，則圓心在直線上，故選項(xiàng)D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)焦點(diǎn)在軸，并與雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程：______.【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)所求雙曲線的方程為，因?yàn)樗箅p曲線的焦點(diǎn)在y軸上，所以，則可取，所以所求雙曲線的方程為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）13.若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】由得，表示以為圓心，以為半徑的半圓，其圖象如下：由圖像可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)C0,1時(shí)，直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A0,-1時(shí)，直線與曲線恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)；當(dāng)直線與半圓切于半圓的右側(cè)時(shí)，只需圓心到直線的距離等于半徑，即，且，解得，因此，由圖像可得，為使直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，實(shí)數(shù)b的取值范圍為.故答案為：.14.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，動(dòng)點(diǎn)均在橢圓上，是坐標(biāo)原點(diǎn)，記和的斜率分別為；與的面積分別為.若，則的最大值為_(kāi)___________.【答案】【解析】由橢圓的方程可得，不妨設(shè)點(diǎn)第一象限，點(diǎn)在第二象限，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程可得，解得（舍去），所以，因?yàn)楹偷男甭?，所以，則直線的方程為，代入橢圓方程得，解得（舍去），所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，由橢圓及直線的對(duì)稱性，滿足條件時(shí)的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.平行四邊形中，已知，，.（1）求直線的方程；（2）求中邊上的高所在直線的方程.解：（1）設(shè)，因?yàn)?，所以，即，所以，所以直線的方程為，即.（2）因?yàn)椋灾羞吷系母咚谥本€的方程為，即.16.已知圓過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求該圓的方程；（2）求過(guò)點(diǎn)的直線被圓截得弦長(zhǎng)最大時(shí)的直線的方程.解：（1）因?yàn)閳A過(guò)兩點(diǎn)，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，所以中垂線方程為，即又因?yàn)閳A心在直線上，解得，圓心，，故圓的方程為.（2）因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)最大時(shí)是過(guò)圓心的直線，所以直線過(guò)點(diǎn)，由過(guò)點(diǎn)，的斜率為，所以直線的方程為，故直線的方程為.17.已知?jiǎng)狱c(diǎn)與點(diǎn)的距離比其到直線的距離小1.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）求點(diǎn)與點(diǎn)的距離的最小值，并指出此時(shí)的坐標(biāo).解：（1）由題意知，動(dòng)點(diǎn)到的距離與它到的距離小1即與到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為以為焦點(diǎn)、以直線為準(zhǔn)線的拋物線，因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.（2）設(shè)，由兩點(diǎn)間的距離公式得：，當(dāng)，即時(shí)，，即當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離最小，最小值為.18.已知圓C：，直線l過(guò)定點(diǎn)．（1）若直線l與圓C相切，求直線l的方程；（2）若直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．解：（1）①若直線l1的斜率不存在，則直線l1：x＝1，符合題意.②若直線l1斜率存在，設(shè)直線l1的方程為，即．由題意知，圓心（3，4）到已知直線l1的距離等于半徑2，即：，解之得.所求直線l1的方程是x=1或.(2)直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0,設(shè)直線方程為，則圓心到直線l1的距離又∵△CPQ的面積＝∴當(dāng)d＝2時(shí)，S取得最大值2.∴＝2∴k＝1或k＝7所求直線l1方程為x－y－1＝0或7x－y－7＝0.19.已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2），為橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且，①求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；②過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求