高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2024-2025學年高二上學期11月期中聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，，所以.故選：B.2.“”是“直線與直線垂直”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為直線與直線垂直，等價于，即，所以“”是“直線與直線垂直”的充要條件.故選：A.3.下列說法錯誤的是（）A.若空間中點，，，滿足，則A，，三點共線B.對空間任意一點和不共線三點，，，若，則，，，共面C.空間中的三個向量，若有兩個向量共線，則這三個向量一定共面D.，，若，則與的夾角為銳角【答案】D【解析】對于選項A：因為，且，所以，，三點共線，故A正確；對于選項B：因為，可得，且，所以，，，共面，故B正確；對于選項C：若共線，則對任意，均有共面，故C正確；對于選項D：例如，則，，可知，即同向，所以與夾角為，故D錯誤；故選：D.4.在長方體中，已知，，為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在長方體中,以點為原點,分別為,,軸建立空間直角坐標系，因，，則，，，，可得,則，則直線與所成角的余弦值為.故選：C.5.拋物線y2=2pxp>0的焦點為，為坐標原點，為拋物線上一點，且，的面積為，則拋物線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，設，則，因為，即，解得，則，即，又因為的面積為，且，解得，所以拋物線方程為.故選：A.6.已知圓與圓，過動點分別作圓、圓的切線，（，分別為切點），若，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得，，因，又，即，即，化簡得點的軌跡為，即在直線上，表示的幾何意義為點到原點距離的平方，故只需計算原點到直線的距離再平方就可得最小值，即最小值為.故選：B.7.如圖所示，在直四棱柱中，底面為菱形，，，動點在體對角線上，直線與平面所成角的最小值為，則直四棱柱的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設，因為底面為菱形，則，又因為底面，底面，則，且，平面，則平面，可知直線與平面所成角為，則，可得，因為，可知當點與點重合時，取到最大值，則，所以直四棱柱的體積為.故選：D.8.已知，分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點，為第一象限內(nèi)一點，且滿足，，線段與雙曲線交于點，若，則雙曲線的離心率為（A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知：，，且，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：C.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.的圖象關(guān)于點對稱D.的圖象關(guān)于直線對稱【答案】BD【解析】設的最小正周期為，則，即，且，則，解得，故B正確；則，因為，可得，又因為，則，可得，解得，故A錯誤；所以，對于選項C：因為，所以的圖象關(guān)于點對稱，故C錯誤；對于選項D：令，因為（為最小值），所以的圖象關(guān)于直線對稱，故D正確；故選：BD.10.如圖、在正四棱柱中，點為線段上一動點，，則下列說法正確的是（）A.直線平面B.三棱錐的體積為C.三棱錐外接球的表面積為D.存在點使直線與平面所成角為【答案】BC【解析】對A，若直線平面，則因為平面，則，矛盾，故A錯誤；對B，作輔助線如圖，因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，面，面，故面，同理得，面，面，故面，又因為面，面，，所以平面平面，又因為P點在平面內(nèi)，所以，故B正確；對于C，三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積為，故C正確；對D，設到平面的距離為，又，故，又三棱錐的體積為，則，解得，設直線與平面所成角，則，又，即，故，即，故不存在使得，即不存在點使直線與平面所成角為，故D錯誤.故選：BC11.曲線是平面內(nèi)與兩個定點，的距離的積等于的點的軌跡，則下列結(jié)論正確的是（）A.點到軸距離的最大值為 B.點到原點距離的最大值為C.周長的最大值為 D.最大值為【答案】BD【解析】由題意可知：，，設Px,y，對于選項A：因為，即，解得，當且僅當時，等號成立，所以點到軸距離的最大值為，故A錯誤；對于選項B：因為，且，則且，可得，則，即，當且僅當同向時，等號成立，所以點到原點距離的最大值為，故B正確，對于選項C：因為，當且僅當時，等號成立，所以周長的最小值為，故C錯誤；對于選項D：因為，當且僅當時，等號成立，可得，所以最大值為，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設，為雙曲線的兩個焦點，點是雙曲線上的一點，且，則的面積為______.【答案】1【解析】由雙曲線方程可得，不妨設，則，，若，則，可得，即，則，所以的面積為.13.在中，，點在上，滿足，，.則的面積為__________【答案】【解析】設，則，．在中，．在中，，解得，故，所以．14.已知為拋物線上的任意一點，為其焦點，為圓上的一點，則的最小值為__________、【答案】【解析】由題意得，取點，設圓的圓心為，則，所以，又因為，所以，則，.，即求得最小值，設，則，令.當時，，即的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答過程應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線，，其中、.（1）若直線經(jīng)過點，且，求的值；（2）若直線，當直線與直線的距離最大時，求直線的方程.解：（1）由直線過，則，此時當時，，解得，經(jīng)驗證此時兩直線平行.（2），即，當，，則直線恒過定點，，令，則，則直線恒過定點，故當且與和的連線垂直時，與的距離最大，因為兩定點連線斜率為，則此時的斜率為，故，直線的方程為:.16.某公司的入職面試中有4道難度相當?shù)念}目，王陽答對每道題的概率都是0.7，若每位面試者共有4次機會，一旦某次答對抽到的題目、則面試通過，否則就一直抽題到第4次為止，假設對抽到的不同題目能否答對是獨立的.（1）求王陽第三次答題通過面試的概率；（2）求王陽最終通過面試的概率.解：（1）記“王陽第三次答題通過面試”為事件，若王陽第三次答題通過面試，則前次均不通過，所以王陽第三次答題通過面試的概率為.（2）記“王陽最終通過面試”為事件，王陽未通過面試概率為，所以王陽最終通過面試的概率.17.如圖，在梯形中，，，，將沿邊翻折，使點翻折到點，且，點為線段靠近點的三等分點.（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：過作，垂足為，在等腰梯形中，，，，可知，所以，故，可得，則，即，又因為，則，且，平面，平面，可得平面，由平面，所以.（2）解：因為平面，平面，則平面平面，過點作平面，則平面，以為原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，則，，，，則，，，設平面法向量為，則，令，則，，可得為平面的一個法向量，設平面法向量為，則，令，則，，可得為平面的一個法向量，所以，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知圓與圓，，.（1）當時，直線與圓交于，兩點，若，求；（2）若，圓與圓只有一條公切線，求的最小值.解：（1）若，則圓的圓心為O0,0，半徑，因為，所以.（2）因為圓的圓心為，半徑；圓的圓心為，半徑，若圓與圓只有一條公切線，則圓與圓內(nèi)切，則，則，即，且，可得，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值9.19.如圖，軸垂足為點，點在的延長線上，且.當點在圓上運動時，點的軌跡方程為.（1）求點的軌跡的方程；（2）當時，點的軌跡方程記為.（i）若動點為軌跡外一點，且點到軌跡的兩條切線互相垂直，記點的軌跡方程記為，試判斷與圓是否存在交點？若存在，求出交點的坐標；若不存在，請說明理由；（ii）軌跡的左右頂點分別記為，圓上有一動點，在軸上方，，直線交軌跡于點，連接，，設直線，的斜率存在且分別為，，