2.2.3直線的一般式方程(一)教材梳理填空直線的一般式方程(1)定義：把關于x，y的二元一次方程

(其中A，B不同時為0)叫作直線的一般式方程，簡稱一般式．(2)適用范圍：在平面直角坐標系中，任意一條直線都可用一般式表示．Ax＋By＋C＝0(二)基本知能小試1．斜率為－3，且在x軸上截距為2的直線的一般式方程是

(

)A．3x＋y＋6＝0 B．3x－y＋2＝0C．3x＋y－6＝0 D．3x－y－2＝0答案：C3．在y軸上截距為2，且過點(－1,4)的直線的一般式方程為____________．關于直線的一般式方程與其他形式的方程一般情況下，直線的一般式方程與直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式都可以進行互化，但是最常用的是一般式方程化為斜截式方程，可以得出斜率、縱截距，用于作圖或轉化解題．

【對點練清】已知直線l經(jīng)過點A(2,1)，B(3,3)，求直線l的點斜式、斜截式和一般式方程，并根據(jù)方程指出直線在x軸，y軸上的截距．題型二一般式下的平行與垂直問題

【學透用活】[典例2]

(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值．(2)當a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？[解]

(1)令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2.當m＝－3時，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0，顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.同理：當m＝2時，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，顯然l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2.綜上，m的值為2或－3.(2)由題意知，直線l1⊥l2，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，將a＝±1代入方程，均滿足題意．故當a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2.(1)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.(2)與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設為Ax＋By＋m＝0(m≠C)，與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋m＝0.

【對點練清】已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：(1)過點(－1,3)，且與l平行；(2)過點(－1,3)，且與l垂直．解：(1)由l′與l平行，可設l′的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠－12)．將點(－1,3)代入上式，得m＝－9.∴所求直線的方程為3x＋4y－9＝0.(2)由l′與l垂直，可設l′的方程為4x－3y＋n＝0.將(－1,3)代入上式，得n＝13.∴所求直線的方程為4x－3y＋13＝0.題型三直線方程的綜合問題

【學透用活】直線方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的系數(shù)A，B，C滿足下列關系時，這條直線有以下性質：(1)當A≠0，B≠0時，直線與兩坐標軸都相交；(2)當A≠0，B＝0，C≠0時，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；(3)當A＝0，B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；(4)當A＝0，B≠0，C＝0時，直線與x軸重合；(5)當A≠0，B＝0，C＝0時，直線與y軸重合．[典例3]已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限；(2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．直線恒過定點的求解策略(1)將方程化為點斜式，求得定點的坐標．(2)將方程變形，把x,y看做參數(shù)的系數(shù)，因為此式對于任意的參數(shù)的值都成立，所以需系數(shù)為零，解方程組可得x,y的值，即為直線經(jīng)過的定點．

2．(多選)已知直線l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，下列說法正確的是(

)A．當a＝－1時，直線l與直線x＋y＝0垂直B．若直線l與直線x－y＝0平行，則a＝0C．直線l過定點(0,1)D．當a＝0時，直線l在兩坐標軸上的截距相等解析：對于A項，當a＝－1時，直線l的方程為x－y＋1＝0，顯然與x＋y＝0垂直，所以正確；對于B項，若直線l與直線x－y＝0平行，則(a2＋a＋1)·(－1)＝1×(－1)，解得a＝0或a＝－1，所以不正確；對于C項，當x＝0時，y＝1，所以直線過定點(0,1)，所以正確；對于D項，當a＝0時，直線l的方程為x－y＋1＝0，在x軸，y軸上的截距分別是－1,1，所以不正確．故選A、C.答案：AC

【課堂思維激活】一、綜合性——強調融會貫通1．已知直線l過點(－2,1)．(1)若直線l不經(jīng)過第四象限，求直線l的斜率k的取值范圍；(2)若直線l交x軸的負半軸于點A