人教新版

八上

數(shù)學(xué)同步課件

2025年秋人教新版八上數(shù)學(xué)情境課堂教學(xué)課件第十三章

三角形綜合與實(shí)踐確定勻質(zhì)薄板的重心位置1.理解一般平面幾何圖形重心的物理概念和數(shù)學(xué)概念，并學(xué)會(huì)利用分割法和平面直角坐標(biāo)系確定平面幾何圖形的重心，理解其與圖形對(duì)稱性的關(guān)系.2.感受重心與生活實(shí)際的緊密聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到重心知識(shí)在工程技術(shù)、體育運(yùn)動(dòng)等鄰域的重要應(yīng)用價(jià)值.物體重心的位置對(duì)于物體保持平衡、運(yùn)動(dòng)和穩(wěn)定的狀態(tài)至關(guān)重要.雜技演員在表演轉(zhuǎn)盤子時(shí)，用木棍支撐盤子的重心以使盤子長(zhǎng)時(shí)間地轉(zhuǎn)動(dòng).比賽中運(yùn)動(dòng)員在轉(zhuǎn)向時(shí)，通過調(diào)整身體重心的位置來改變滑行方向.在工程中，物體重心的位置也有重要的應(yīng)用.如圖：水壩、擋土墻等建筑的重心必須在一定范圍內(nèi)，否則可能會(huì)導(dǎo)致坍塌.飛機(jī)的重心位于合適的位置時(shí)，不僅有利于飛機(jī)在飛行狀態(tài)下保持平衡和穩(wěn)定，而且能使飛機(jī)具有良好的操縱性能.為了達(dá)到預(yù)期的攪拌效果，混凝土攪拌機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)部分的重心會(huì)設(shè)計(jì)得偏離轉(zhuǎn)軸一定的距離.工程中使用的許多物體具有均勻的質(zhì)地，如工程中常用的工字鋼、角鋼、槽鋼等型鋼，你能通過數(shù)學(xué)的方法確定工程中薄板、薄殼等勻質(zhì)物體的重心嗎？接下來，我們一起來探究解決這個(gè)問題.活動(dòng)目標(biāo)發(fā)現(xiàn)確定勻質(zhì)薄板、薄殼(厚度可忽略)重心位置的方法.活動(dòng)準(zhǔn)備1.材料用具：質(zhì)地均勻的薄紙板、直尺、量角器、剪刀、細(xì)線.2.資料學(xué)習(xí)：查閱資料，了解重心的概念以及工程中確定物體重心位置的方法.活動(dòng)任務(wù)由于許多工程用薄板的形狀是由常見的簡(jiǎn)單平面圖形組合而成的，所以我們可以先想辦法確定一些簡(jiǎn)單平面圖形的重心位置，再探究確定平面組合圖形重心位置的方法.確定簡(jiǎn)單平面圖形的重心位置活動(dòng)一我們已經(jīng)知道，三角形的重心位于三條中線的交點(diǎn)處，那么其他平面圖形的重心在什么位置呢?O任務(wù)1

認(rèn)識(shí)平面圖形的重心

通過查資料、做實(shí)驗(yàn)、討論等小組合作活動(dòng)，探究下列問題.(1)在物理學(xué)中，物體的重心指的是什么？勻質(zhì)薄板的重心位置與薄板的哪些方面有關(guān)？在物理學(xué)中，物體的重心指的是在重力場(chǎng)中，物體處于任何方位時(shí)所有各組成支點(diǎn)的重力的合力都通過的那一點(diǎn).勻質(zhì)薄板的重心位置與薄板的幾何形狀有關(guān).(2)用一個(gè)支點(diǎn)頂住一個(gè)三角形勻質(zhì)薄板，慢漫調(diào)整薄板，使其能夠在支點(diǎn)上保持平衡，此時(shí)，薄板與支點(diǎn)接觸的點(diǎn)就是薄板的重心.三角形勻質(zhì)薄板的重心位置與三角形的重心位置有什么關(guān)系？可以保持平衡.三角形勻質(zhì)薄板的重心位置與三角形的重心位置相同.(3)你能仿照三角形的重心，給一般平面圖形的重心下一個(gè)定義嗎？對(duì)于任意一般平面圖形，若存在一點(diǎn)，使得通過該點(diǎn)的任意一條直線將此平面圖形分割成的兩部分，在面積上呈現(xiàn)出關(guān)于該點(diǎn)的某種平衡關(guān)系(例如，以該點(diǎn)為中心，兩部分的面積矩相等)，則稱這個(gè)點(diǎn)為該平面圖形的重心.任務(wù)2

了解平面圖形重心位置的分布特點(diǎn)

通過查資料、做實(shí)驗(yàn)、討論等小組合作活動(dòng)，探究下列問題.(1)你能利用物理知識(shí)，設(shè)計(jì)一個(gè)發(fā)現(xiàn)三角形的重心位置的實(shí)驗(yàn)嗎?可以通過懸掛法來確定三角形的重心位置.實(shí)驗(yàn)器材：任意三角形的均勻薄板一塊(材質(zhì)可選硬紙板、薄木板等，邊長(zhǎng)約10—15cm，標(biāo)有頂點(diǎn)字母A、B、C)，細(xì)線，量角器、三角尺、鉛筆、小鉛錘、圖釘.實(shí)驗(yàn)方法：懸掛法.實(shí)驗(yàn)名稱：探索三角形重心位置的懸掛法實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?.理解三角形重心的物理意義；2.通過懸掛法確定三角形薄板的重心位置.實(shí)驗(yàn)步驟：1.懸掛三角形頂點(diǎn)A：將細(xì)線一端固定在三角形薄板的頂點(diǎn)A，另一端用圖釘固定在家里的晾衣桿上，使三角形自然下垂.待薄板穩(wěn)定后，用鉛筆沿細(xì)線在薄板上畫出一條豎直直線，標(biāo)記為直線l1.2.

取下薄板，將細(xì)線固定在頂點(diǎn)B，重復(fù)上述操作，畫出另一條豎直直線l2，與l1交于點(diǎn)O.3.將細(xì)線固定在頂點(diǎn)C，畫出直線l3，觀察其是否經(jīng)過點(diǎn)O(理論上三條線應(yīng)交于同一點(diǎn)).點(diǎn)O就是三角形薄板的重心位置.(2)怎樣確定其他常見的幾何圖形(如線段、正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形等)的重心位置？這些圖形的重心位置有什么共同特點(diǎn)？你能嘗試說明為什么三角形的重心也滿足上述特點(diǎn)嗎？

也可以通過懸掛法來確定其他常見幾何圖形的重心位置.

線段的重心在線段的中點(diǎn)，正方形、長(zhǎng)方形、平行四邊形的重心在兩條對(duì)角線的交點(diǎn).

共同特點(diǎn)：它們的重心都位于圖形的幾何對(duì)稱中心.

三角形雖然沒有對(duì)稱性，但三條中線的交點(diǎn)是三角形的幾何平衡點(diǎn)，且每條中線平分三角形的面積.(3)如果有人問你“一個(gè)平面圖形的重心指的是什么？位于它的什么位置？”，你會(huì)怎樣回答？

一個(gè)平面圖形的重心是它所受重力的等效作用點(diǎn)，位于該平面圖形的幾何中心.任務(wù)3

確定一些平面圖形的重心位置

通過查資料、做實(shí)驗(yàn)、討論等小組合作活動(dòng)，利用前面獲得的結(jié)論，選擇些平面圖形，嘗試確定它們的重心位置.(1)你選擇的是什么圖形？能否根據(jù)它的形狀確定其重心位置？如果能，你的依據(jù)是什么？如何驗(yàn)證你找到的重心位置的準(zhǔn)確性？我選擇的是圓形，它的對(duì)稱中心是它的圓心.依據(jù)：圓形是一個(gè)對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心就是圓心.可以利用懸掛法來驗(yàn)證圓的重心位置.(2)當(dāng)不能根據(jù)圖形的形狀確定它的重心位置時(shí)，你能通過把它分割成已知重心位置的圖形來尋找它的重心位置嗎？如果能，你是如何做的？如果不能，你遇到了什么困難？可以通過把它分割成已知重心位置的圖形來尋找它的重心位置，比如將L形、T形、十字形的圖形分割成兩個(gè)矩形來尋找它們的重心位置.但當(dāng)遇到包含“孔洞”的圖形或者圖形邊界為曲線(扇形、拋物線形等)時(shí)，無法用有限個(gè)簡(jiǎn)單圖形精確分割，只能近似計(jì)算.確定平面組合圖形的重心位置活動(dòng)二平面組合圖形由簡(jiǎn)單平面圖形組成，如果能發(fā)現(xiàn)平面組合圖形的重心位置與被分成的簡(jiǎn)單平面圖形的重心位置之間的關(guān)系，就可以確定平面組合圖形的重心位置了.為了更加明確地表達(dá)位置之間的數(shù)量關(guān)系，可以建立平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)來研究重心的位置.任務(wù)1

把一個(gè)圖形分成兩部分，確定這個(gè)圖形的重心位置與它的兩部分的重心位置之間的關(guān)系.通過小組合作活動(dòng)，選擇一個(gè)已知重心位置的平面圖形，將它分成已知重心位置的兩部分，建立平面直角坐標(biāo)系，探究圖形的重心位置與兩部分的重心位置坐標(biāo)之間的關(guān)系.(1)你選擇的是什么圖形？你是按照什么標(biāo)準(zhǔn)把圖形分成兩部分的？圖形的重心位置和兩部分的重心位置分別位于哪里？選擇一個(gè)正方形，豎向分成兩個(gè)長(zhǎng)方形；66①邊長(zhǎng)為6的正方形.②分成兩個(gè)長(zhǎng)方形，其長(zhǎng)均為6，寬分別為2和4.24N重心為點(diǎn)N.N1N2重心分別為點(diǎn)N1，N2.(2)你是如何建立平面直角坐標(biāo)系的？圖形的重心位置的橫坐標(biāo)x、縱坐標(biāo)y與兩部分的重心位置的橫坐標(biāo)x1，x2、縱坐標(biāo)y1，y2之間有什么數(shù)量關(guān)系？例如，能寫成“x=()x1+()x2，y=()y1+()y2”的形式嗎？?jī)烧咧g的關(guān)系與你選擇的分割圖形的標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)嗎？如果不能發(fā)現(xiàn)x與x1，x2、y與y1，y2之間的關(guān)系，換一種方式建立平面直角坐標(biāo)系試試看.

以正方形的左下角為原點(diǎn)，水平向右為

x軸，豎直向上為

y軸建立平面直角坐標(biāo)系.NN1N2626xyO得：點(diǎn)N(3，3)，點(diǎn)N1(1，3)，點(diǎn)N2(4，3).

設(shè)正方形的面積為S，小長(zhǎng)方形的面積為S1，大長(zhǎng)方形的面積為S2.得：S1=2×6=12；

S2=4×6=24；

S=S1+S2=36.由面積比例可知，x1x2y1y2(3)換一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)把圖形分成兩部分，你能得到圖形重心位置的橫、縱坐標(biāo)與兩部分的重心位置的橫、縱坐標(biāo)之間的什么數(shù)量關(guān)系?這種關(guān)系是否與前面得到的關(guān)系具有一致性？把正方形橫向分成兩個(gè)長(zhǎng)方形.NN1N2646xyO得：點(diǎn)N(3，3)，點(diǎn)N1(3，5)，點(diǎn)N2(3，2).

以正方形的左下角為原點(diǎn)，水平向右為

x軸，豎直向上為

y軸建立平面直角坐標(biāo)系.由面積比例可知，(4)你能根據(jù)前面的探究結(jié)論，猜想這個(gè)圖形的重心位置的橫、縱坐標(biāo)與分成的兩部分的重心位置的橫、縱坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系嗎?如果能，你能用式子把這個(gè)關(guān)系表達(dá)出來，并進(jìn)一步驗(yàn)證它的正確性嗎?如果不能，可能的原因是什么?設(shè)兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積分別為S1，S2，則正方形的面積為S1+S2.正方形的重心坐標(biāo)N(x，y)與兩個(gè)長(zhǎng)方形的重心坐標(biāo)N1(x1，y1)，N2(x2，y2)之間的關(guān)系為猜想：以將正方形分割成兩個(gè)長(zhǎng)方形為例：驗(yàn)證：通過實(shí)際分割計(jì)算(兩次不同分割方式)，結(jié)果一致，所以猜想成立.任務(wù)2

確定一個(gè)工程用薄板類工件的重心位置要求:以小組合作的形式，選擇一個(gè)組合圖形的薄板、薄殼工件(或工件的橫截面)，也可以從下圖提供的工件或橫截面中選擇一個(gè)，通過推理、計(jì)算確定它的重心位置.“L”型角鋼的橫截面“Z”型薄板由小正方形薄板拼接成的薄板確定“L”型角鋼橫截面的重心位置①將橫截面分割成兩個(gè)長(zhǎng)方形，并建立平面直角坐標(biāo)系.N18012120xyO12N2點(diǎn)N1(6，60)點(diǎn)N2(46，6)S1=12×120=1440(cm2)S2=12×68=816(cm2)N18012120xyO12N2②設(shè)“L”型角鋼橫截面的重心坐標(biāo)為N(x，y)，則：確定“L”型角鋼橫截面的重心位置跳高運(yùn)動(dòng)員為什么采用“背越式”活動(dòng)三如圖，當(dāng)跳高運(yùn)動(dòng)員采用“背越式”越過橫桿時(shí)，成績(jī)往往比采用“跨越式”和“滾式”要好.試通過查資料、討論等小組合作活動(dòng)，探究其中的原因.

在背越式中，運(yùn)動(dòng)員過桿時(shí)身體呈弓形，臀部、腹部位置較高，頭、四肢位置較低，往往低于橫桿，重心在人體外，在橫桿下方約0-5厘米左右；

而用跨越式過桿，重心在橫桿上方約40厘米左右；

采用滾式跳高，運(yùn)動(dòng)員是從側(cè)斜向橫桿助跑起跳，并用身體一側(cè)滾過橫桿，其重心位置相對(duì)橫桿較高；

在相同彈跳能力的情況下，跨越式的重心相對(duì)于橫桿最高，跳高成績(jī)也最差；背越式時(shí)的重心相對(duì)于橫桿最低，跳高成績(jī)也最好.每組選出代表向全班同學(xué)展示本組的研究成果，分享活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并反思活動(dòng)中的不足.①明確分工：使每位成員都有明確的任務(wù).②完成活動(dòng)任務(wù)，形成研究報(bào)告.組成5～8人一組的研究小組，每位同學(xué)參加其中一個(gè)小組，每個(gè)小組確定一名負(fù)責(zé)人.展示交流組建合作團(tuán)隊(duì)方案構(gòu)思方案實(shí)施討論與交流，集思廣益，形成解決任務(wù)的方案.

通過成果展示與交流，基于各組完成的研究報(bào)告，根據(jù)情況選擇任務(wù)完成表、表現(xiàn)評(píng)分表、自我反思表等進(jìn)行評(píng)價(jià).與老師和全班同學(xué)一起，通過質(zhì)疑、辯論、評(píng)價(jià)，總結(jié)成果，分享體會(huì)，分析不足，開展自我評(píng)價(jià)、同學(xué)評(píng)價(jià)和教師評(píng)價(jià)，完成本次綜合與實(shí)踐活動(dòng).附：綜合與實(shí)踐活動(dòng)研究報(bào)告的參考形式

報(bào)告主題：____________年級(jí)__班__組

報(bào)告時(shí)間：_______1.活動(dòng)名稱2.研究小組成員與分工3.選題的意義4.研究方案5.研究過程6.研究成果7.收獲與體會(huì)8.對(duì)此研究報(bào)告的評(píng)價(jià)(由評(píng)價(jià)小組或教師填寫)1.如圖，用鉛筆支起一塊質(zhì)地均勻的三角形薄板，使薄板保持平衡，關(guān)于這個(gè)平衡點(diǎn)位置的確定，下列說法正確的是()A.畫出三角形薄板的三條中線，取其交點(diǎn)B.畫出三角形薄板的三條高，取其交點(diǎn)C.畫出三角形薄板的三條角平分線，取其交點(diǎn)D.過不同頂點(diǎn)畫出三角形薄板的一條高，中線和角平分線，取其交點(diǎn)A2.已知：如圖，點(diǎn)O是△ABC的重心，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，則下列命題中正確的是()OABDCA.AD是∠BAC的平分線B.AD是BC邊上的高C.AD是BC邊上的中線D.AD是BC邊上的中垂線C3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)不規(guī)則圖形，該圖形的各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為

A(-1，3)，B(-1，-1)，C(-3，-1)，D(-3，-3)，E(3，-3)，F(xiàn)(3，3).(1)(結(jié)論開放)將圖中該不規(guī)則圖形分成兩個(gè)規(guī)則的四邊形，請(qǐng)你分別畫出這兩部分的重心位置，并寫出這兩個(gè)重心的坐標(biāo)；解:(1)如圖，延長(zhǎng)CB交EF于點(diǎn)G，可以得四邊形ABGF和四邊形CDEG.畫出這兩部分的重心分別為點(diǎn)M，N.由圖可知，四邊形ABGF重心M的坐標(biāo)為(1，1)，四邊形CDEG重心N的坐標(biāo)為(0，-2).GMN設(shè)不規(guī)則圖形的面積分別為S，四邊形ABGF的面積為S1，四邊形CDEG的面積為S2.得：S1=4×4=16，S2=6×2=12，S=S1+S2=28.3.如