第三章代數(shù)式3．1列代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系第1課時代數(shù)式的概念教師備課素材示例●情景導(dǎo)入請同學(xué)們觀看一組圖片(如圖)，我們自然而然地會想到一句古詩詞“稻花香里說豐年，聽取蛙聲一片”．有一首關(guān)于青蛙的兒歌，大家都會唱嗎？我們大家一起唱一下：“一只青蛙一張嘴，兩只眼睛四條腿；兩只青蛙兩張嘴，四只眼睛八條腿……”如果這首歌還要繼續(xù)往下添歌詞，你會添嗎？如果要添五只青蛙的歌詞，你會嗎？n只呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：用一首古詩詞和一首兒歌引入，把特殊問題上升到一般問題的方法，產(chǎn)生認知沖突．建議：說明生活處處有數(shù)學(xué)，初步讓學(xué)生體會到用數(shù)學(xué)式子表達的好處．●置疑導(dǎo)入問題1：列車在凍土地段的行駛速度是10km/h，則在凍土地段行駛2h可行駛多少千米？ah呢？問題2：長方形的長是a，寬是b，這個長方形的周長l是多少？面積S呢？問題3：全班共有學(xué)生x人，其中女生占48%，女生人數(shù)比男生人數(shù)少多少人？【教學(xué)與建議】教學(xué)：通過展示生活中常用的數(shù)量關(guān)系式導(dǎo)入新課．激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣．建議：學(xué)生先自主解答，再集中訂正，讓學(xué)生初步體會代數(shù)式可以簡明地表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系．·命題角度1代數(shù)式的概念用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子稱為代數(shù)式．運算包括加、減、乘、除、乘方以及以后要學(xué)習(xí)的開方．單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式．【例1】下列式子不是代數(shù)式的是(D)A．m＋nB．eq\f(1,5)C．eq\f(2x－5,3)D．3x＝y(tǒng)【例2】下列各代數(shù)式中，書寫錯誤的是(B)A．eq\f(1,3)aB．2eq\f(2,3)m＋2nC．a(chǎn)3D．(a－3b)km·命題角度2代數(shù)式的意義根據(jù)代數(shù)式知道數(shù)字與字母之間的運算關(guān)系，注意不能混淆有括號和沒有括號、乘法與乘方之間的運算關(guān)系．【例3】代數(shù)式－x的意義可以是(C)A．－1與x的和B．－1與x的差C．－1與x的積D．－1與x的商【例4】說出下列代數(shù)式的意義．(1)3a＋2：__a的3倍與2的和__；(2)3(a＋2)：__a與2的和的3倍__；(3)eq\f(z,xy)：__z除以x，y的積的商__．·命題角度3用代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系用字母表示數(shù)后，同一個代數(shù)式可以表示不同實際問題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系．【例5】舉實例說明5a，eq\f(a＋b,3)表示不同實際問題的數(shù)量關(guān)系．解：蘋果的單價是a元/kg，5kg的總價是5a元．長方形的長是a，寬是5，面積是5a.小明有a元零花錢，小強有b元零花錢，用他們零花錢的eq\f(1,3)去購買圖書，購買圖書花了eq\f(a＋b,3)元．甲筐有akg玉米，乙筐有bkg玉米，把兩筐玉米平均分成3份，每份是eq\f(a＋b,3)kg.(答案不唯一)高效課堂教學(xué)設(shè)計1．理解代數(shù)式的概念，會辨別代數(shù)式．2．在用代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系的過程中，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維．▲重點會辨別代數(shù)式并說出代數(shù)式的意義．▲難點體會同一個代數(shù)式可以表示不同實際問題中的數(shù)量關(guān)系．◆活動1新課導(dǎo)入做一做：1．正方形的邊長為a，則它的面積為__a2__，周長為__4a__．2．若三角形的一邊長為a，并且這條邊上的高為h，則這個三角形的面積為__eq\f(1,2)ah__．3．雞兔同籠，雞有a只，兔有b只，則共有__(a＋b)__個頭，__(2a＋4b)__只腳．◆活動2探究新知1．教材P69提出問題：(1)工作量、工作效率和工作時間之間有什么關(guān)系？(2)該機器人10s能識別多大范圍內(nèi)的蘋果？6s呢？ts呢？(3)用字母代替數(shù)有什么意義？(4)該機器人識別nm2范圍內(nèi)的蘋果需多少秒？(5)機器人比工人1h可以多采摘多少個蘋果？學(xué)生完成并交流展示．2．教材P70例1上面的內(nèi)容．問題：(1)鋪設(shè)管道時，工程隊平均每天鋪設(shè)的管道長度與工作天數(shù)、管道總長度有什么數(shù)量關(guān)系？(2)正方形的周長及面積公式是什么？學(xué)生完成并交流展示．◆活動3知識歸納1．用__運算符號__把數(shù)或表示數(shù)的字母連接起來的式子稱為__代數(shù)式__．2．字母與字母相乘，相同字母相乘寫成__冪__的形式．例如：a·a寫成__a2__．3．單獨的一個數(shù)或字母也是代數(shù)式．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P70例1.方法總結(jié)：用字母表示數(shù)，字母和數(shù)一樣運算．例2教材P71例2.例3代數(shù)式100－3a的意義是__100與a的3倍的差__，舉出一個用它表示數(shù)量或數(shù)量關(guān)系的例子：__王老師買了3張電影票，每張a元，她付了100元，應(yīng)找回(100－3a)元錢(答案不唯一)__．練習(xí)1．教材P71練習(xí)第1，2，3題．2．下列式子中，符合代數(shù)式書寫格式的是(D)A．m＋n人B．a(chǎn)×10C．2eq\f(2,3)xD．eq\f(b,a)3．一列火車從甲站出發(fā)，6h后行駛了mkm，則這列火車的平均速度是__eq\f(m,6)__km/h.4．原價為a元的書包，按八折出售，則售價為__0.8a__元．5．舉實例說明2(a－30)與2a－30的意義．解：足球每個a元，排球每個30元(a＞30)，買2個足球比買2個排球要多花2(a－30)元錢；買2個足球比買一個排球多花(2a－30)元錢．(答案不唯一)◆活動5課堂小結(jié)1．用代數(shù)式可以表示數(shù)量和數(shù)量關(guān)系的問題．2．用字母表示數(shù)后，同一個代數(shù)式可以表示不同實際問題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系．1．作業(yè)布置(1)教材P75～76習(xí)題3.1第1，2題；(2)對應(yīng)課時練習(xí)．2．教學(xué)反思

第2課時列代數(shù)式教師備課素材示例●類比導(dǎo)入問題1：觀察一列數(shù)：1，4，9，16，25，…，第6個數(shù)是多少？第n個數(shù)呢？問題2：觀察一列數(shù)：2，5，10，17，26，…，第6個數(shù)是多少？第n個數(shù)呢？【教學(xué)與建議】教學(xué)：由問題1可得出第n個數(shù)為n2，由問題2可得出第n個數(shù)是n2＋1，通過類比導(dǎo)入方式，使學(xué)生在遷移中便于接受．建議：讓學(xué)生自主交流，教師及時給予評價．●復(fù)習(xí)導(dǎo)入1.說出下列代數(shù)式的意義．(1)5＋a；(2)5－a；(3)5a；(4)eq\f(a,5)；(5)eq\f(1,6)a2.解：(1)5＋a的意義是5與a的和；(2)5－a的意義是5與a的差；(3)5a的意義是5與a的積；(4)eq\f(a,5)的意義是a除以5的商；(5)eq\f(1,6)a2的意義是a與a的積的eq\f(1,6).2．代數(shù)式100－5x可以表示不同實際問題中的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系，請舉例說明．解：某種蘋果的售價是每千克x(0＜x＜20)元，用面值100元的人民幣購買了5kg，應(yīng)找回(100－5x)元．(答案不唯一)【教學(xué)與建議】教學(xué)：復(fù)習(xí)代數(shù)式的有關(guān)概念導(dǎo)入新課，起著承上啟下作用．建議：學(xué)生自主練習(xí)，問題2鼓勵學(xué)生說出生活中的數(shù)量關(guān)系式，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情．·命題角度1列代數(shù)式表示文字數(shù)量關(guān)系讀懂文字所表示各量之間的關(guān)系，尤其要分清“平方和(差)”與“和(差)的平方”所表示的數(shù)量關(guān)系．【例1】下列表述中，不能用式子10a表示的是(D)A．10的a倍B．a(chǎn)的10倍C．10個a的和D．10個a的積【例2】用字母表示“x的2倍與y的差的平方的eq\f(1,3)”，正確的是(A)A．eq\f(1,3)(2x－y)2B．eq\f(1,3)(2x2－y)C．2x－eq\f(1,3)y2D．eq\f(1,3)(2x－y2)·命題角度2列代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系在實際問題中，先找出有關(guān)數(shù)量，并用文字寫出各數(shù)量之間的關(guān)系，最后用字母代替其中的數(shù)量．【例3】某書店出售圖書的同時，推出一項租書業(yè)務(wù)，每租看1本書，租期不超過2天，每天租金為a元；租期超過2天，從第3天開始每天另加收b元．如果租看1本書7天歸還，那么租金為__[2a＋5(a＋b)]__元．【例4】某工廠去年的產(chǎn)值是a萬元，今年比去年增加5%，則今年的產(chǎn)值是__(1＋5%)a[或(a＋5%a)]__萬元．·命題角度3列代數(shù)式表示圖形面積解決這類問題注意兩點：①理解日常生活中常見圖形間的數(shù)量關(guān)系；②掌握常見圖形的周長、面積、體積公式．【例5】下列四個式子中，不能表示圖中陰影部分面積的是(D)A.(x＋3)(x＋2)－2xB．x(x＋3)＋6C．3(x＋2)＋x2D．x2＋5x【例6】如圖，有一塊長為18m，寬為10m的長方形土地，現(xiàn)將三面留出寬都是xm(0＜x＜8)的小路，余下的部分做菜地，用含x的式子表示．(1)菜地的長為__(18－2x)__m，寬為__(10－x)__m；(2)菜地的面積為__(18－2x)(10－x)__m2.·命題角度4用字母表示數(shù)字、圖形變化規(guī)律從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，從圖形中尋求規(guī)律，并推廣到一般情況．【例7】下列圖中的各個圖形都是由相同的玫瑰花按照一定的規(guī)律擺成的，按此規(guī)律擺下去，第n(n為正整數(shù))個圖形中有__4n__朵玫瑰花．eq\o(\s\up7(),\s\do5(第1個圖形))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第2個圖形))eq\o(\s\up7(),\s\do5(第3個圖形))eq\a\vs4\al(,,…,)高效課堂教學(xué)設(shè)計1．了解列代數(shù)式的意義，會列代數(shù)式表示文字數(shù)量關(guān)系和實際問題中的數(shù)量關(guān)系.2．在列代數(shù)式的過程中體會從具體到抽象的認識過程，增強學(xué)生的應(yīng)用意識．▲重點會用代數(shù)式表示常見的數(shù)量關(guān)系．▲難點體會用字母表示數(shù)的意義，形成初步的符號感．◆活動1新課導(dǎo)入做一做：1．若x表示某件物品的原價，則代數(shù)式(1＋10%)x表示的意義是(B)A．該物品打九折后的價格B．該物品價格上漲10%后的售價C．該物品價格下降10%后的售價D．該物品價格上漲10%時上漲的價格2．對代數(shù)式“5x”，我們可以這樣解釋：香蕉每千克5元，某人買了xkg，共付款__5x__元．請你對“5x”再給出另一個實際生活方面的合理解釋：__某人以5_km/h的速度走了x_h，他走的路程是5x_km(解釋不唯一，合理即可)__．3．某三位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，百位數(shù)字為c，則這個三位數(shù)可表示為__100c＋10b＋a__．◆活動2探究新知教材P71思考．提出問題：如何用代數(shù)式表示a，b兩數(shù)的和與差的積？分析：(1)a與b兩數(shù)的和列式為__a＋b__；(2)a與b兩數(shù)的差列式為__a－b__；(3)a與b兩數(shù)的和與差的積列式為__(a＋b)(a－b)__．學(xué)生交流展示．◆活動3知識歸納在解決一些數(shù)學(xué)問題與實際問題時，需要列代數(shù)式把問題中的數(shù)量關(guān)系用含有數(shù)、字母和運算符號的式子表示出來．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P72例3、例4.例2列代數(shù)式表示下列問題中的數(shù)量關(guān)系．(1)為落實“陽光體育”工程，某校計劃購買m個籃球和n個排球，已知籃球每個80元，排球每個60元，購買這些籃球和排球的總費用為__(80m＋60n)__元；(2)在運動會中，七(1)班的總成績?yōu)閙分，七(2)班比七(1)班總成績的eq\f(2,3)還多5分，則七(2)班的總成績?yōu)開_(eq\f(2,3)m＋5)__分；(3)某商店積壓了一批商品，為盡快售出，該商店采取如下銷售方案：將原來每件m元的商品，加價50%，再做兩次降價處理，第一次降價30%，第二次降價10%.經(jīng)過兩次降價后的價格為__0.945m__元．練習(xí)1．教材P73練習(xí)第1，2，3，4題．2．甲數(shù)是a，它比乙數(shù)的3倍少b，表示乙數(shù)的式子是(C)A．(a－b)÷3B．eq\f(a,3)－bC．eq\f(1,3)(a＋b)D．a(chǎn)－eq\f(1,3)b3．如圖，用棋子擺方陣，那么圖要擺棋子(C)A．4n枚B．(4n－1)枚C．(4n＋1)枚D．4(n－1)枚4．如下表，全國統(tǒng)一鞋號后，成年男鞋共有14種尺碼，其中最小的尺碼是23.5cm，各相鄰的兩個尺碼都相差0.5cm，如果從尺碼最小的鞋開始標號，所對應(yīng)的尺碼如下表所示．標號123…14尺碼/cm23.523.5＋1×eq\f(1,2)23.5＋2×eq\f(1,2)…23.5＋13×eq\f(1,2)(1)標號為7的鞋的尺碼為多少？(2)標號為m的鞋的尺碼用m如何表示？(m為1～14中的整數(shù))解：(1)23.5＋6×eq\f(1,2)＝26.5(cm).答：標號為7的鞋的尺碼為26.5cm；(2)23.5＋(m－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)m＋23.◆活動5課堂小結(jié)1．用字母表示數(shù)，字母和數(shù)一樣參與運算．2．用代數(shù)式把數(shù)量或數(shù)量關(guān)系簡明地表示出來，更具有一般性．1．作業(yè)布置(1)教材P76～77習(xí)題3.1第3，6題；(2)對應(yīng)課時練習(xí)．2．教學(xué)反思

第3課時變量間的比例關(guān)系教師備課素材示例●復(fù)習(xí)導(dǎo)入問題1：什么是成正比例的量？兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定，這兩種量就叫作成正比例的量，它們的關(guān)系叫作正比例關(guān)系．問題2：判斷下面各題中的兩種量是否成正比例關(guān)系．(1)長方形的長一定，它的寬和面積；(2)圓的周長和半徑；(3)一個人的年齡和他的身高．【教學(xué)與建議】教學(xué)：讓學(xué)生復(fù)習(xí)變量間的正比例關(guān)系，為學(xué)習(xí)變量間的反比例關(guān)系埋下伏筆．建議：問題1口答，問題2讓學(xué)生先說明理由，再合作交流及時糾正．●置疑導(dǎo)入某車間平均每個工人加工齒輪的工作效率如圖所示．(1)根據(jù)圖象求出12天各可以加工多少個大齒輪和小齒輪；(2)加工的大齒輪有100個齒，它帶動的小齒輪有40個齒．如果大齒輪每分鐘轉(zhuǎn)30轉(zhuǎn)，那么小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)多少轉(zhuǎn)？討論：在(1)中，加工齒輪的總個數(shù)與天數(shù)的__比值__一定，即加工齒輪的總個數(shù)與天數(shù)成__正比例__關(guān)系；在(2)中，大齒輪帶動小齒輪轉(zhuǎn)動，則大齒輪的總齒數(shù)__等于__小齒輪的總齒數(shù)．解：(1)設(shè)12天各可以加工x個大齒輪，y個小齒輪．50∶5＝x∶12，40∶5＝y(tǒng)∶12.x＝120，y＝96.答：12天各可以加工120個大齒輪，96個小齒輪；(2)100×30÷40＝75(轉(zhuǎn)).答：小齒輪每分鐘轉(zhuǎn)75轉(zhuǎn)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：本節(jié)課通過日常生活中加工齒輪和齒輪轉(zhuǎn)動中的數(shù)學(xué)問題吸引學(xué)生注意力，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)與日常生活息息相關(guān)．建議：讓學(xué)生自己觀察圖象、思考問題、解決問題．·命題角度1反比例關(guān)系的概念成反比例關(guān)系要符合三個條件：①兩個相關(guān)聯(lián)的量；②一個量變化，另一個量也隨著變化；③這兩個量的乘積一定．【例1】兩個成反比例關(guān)系的量，這兩個量的乘積__一定__，一個量隨著另一個量的變大而__變小__，用式子__xy＝k__或__y＝eq\f(k,x)__來表示，其中k叫作__比例系數(shù)__．·命題角度2判斷兩個量是否成反比例關(guān)系找出兩個變量之間的數(shù)量關(guān)系式，看這兩個量的乘積是否一定．如果乘積一定，則這兩個變量間的比例關(guān)系是反比例關(guān)系．【例2】________一定的情況下，每平方米的涂料粉刷量和能粉刷的面積成反比例關(guān)系(B)A．粉刷時間B．涂料總量C．涂料單價D．粉刷次數(shù)【例3】判斷下面各題中的兩個量是否成反比例關(guān)系．(均選填“成”或“不成”)(1)若ab＝8，則a和b__成__反比例關(guān)系；(2)圓的直徑和它的周長__不成__反比例關(guān)系．·命題角度3根據(jù)表格數(shù)據(jù)判斷是否成反比例關(guān)系觀察兩個變量的乘積，如果該乘積是一個不為0的定值，那么這兩個變量成反比例關(guān)系．【例4】學(xué)校給一間教室鋪地磚，每塊地磚的面積和所需地磚的數(shù)量如下表．每塊地磚的面積/m20.20.30.40.60.8…所需地磚的數(shù)量/塊600400300200150…(1)表中每塊地磚的面積和__所需地磚的數(shù)量__是兩種相關(guān)聯(lián)的量．這兩種相關(guān)聯(lián)的量中，相對應(yīng)的兩個數(shù)的積是__120__，這個積表示__教室的面積__；(2)如果每塊地磚的面積用x(m2)表示，所需地磚的數(shù)量用y(塊)表示，用式子表示y與x的關(guān)系，并說明理由．解：xy＝20，x和y成反比例關(guān)系．理由：x和y是兩個相關(guān)聯(lián)的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的乘積一定．高效課堂教學(xué)設(shè)計1．掌握反比例關(guān)系的概念，會判斷兩個量之間的反比例關(guān)系．2．經(jīng)歷反比例關(guān)系的探究過程，培養(yǎng)觀察、比較、分析、概括的能力．▲重點會判斷兩個變量是否成反比例關(guān)系．▲難點根據(jù)數(shù)量關(guān)系，判斷兩個變量間的比例關(guān)系．◆活動1新課導(dǎo)入找規(guī)律，填表格，說發(fā)現(xiàn)．x163224482864y24363.58我發(fā)現(xiàn)：__x與y的比值都是8，即eq\f(x,y)＝8__．m2345610n30020015012010060我發(fā)現(xiàn)：__m與n的乘積都是600，即mn＝600__．◆活動2探究新知教材P73～74例5上面部分．先填寫表格再提出問題．問題：1.每天的造雪量和造雪天數(shù)是怎樣變化的？2．每天的造雪量和造雪天數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生討論回答后可發(fā)現(xiàn)：造雪天數(shù)隨每天造雪量的變大而變小，而且這兩個量的乘積一定．3．你能用字母表示這兩個變量間的比例關(guān)系嗎？◆活動3知識歸納1．兩個__相關(guān)聯(lián)__的量，一個量變化，另一個量也隨著變化，且這兩個量的__乘積__一定，這兩個量就叫作__成反比例的量__，它們之間的關(guān)系叫作__反比例__關(guān)系．2．如果用字母x和y表示兩個相關(guān)聯(lián)的量，用k表示它們的積(k是一個確定的值，且k≠0)，反比例關(guān)系可以用__xy＝k__來表示．◆活動4例題與練習(xí)例1教材P74例5.例2判斷下面各題中的兩個量是否成反比例關(guān)系，并說明理由．(1)生產(chǎn)總量一定，生產(chǎn)效率與生產(chǎn)時間；(2)圓柱的側(cè)面積一定，高與底面周長；(3)總路程一定，已行路程與未行路程．解：(1)成反比例關(guān)系．因為生產(chǎn)效率×生產(chǎn)時間＝生產(chǎn)總量(一定