2022年高考數(shù)學(xué)考前30天題型突破專題8：不等式的綜合應(yīng)用一、高考規(guī)律揭秘1．規(guī)律小結(jié)線性規(guī)劃內(nèi)容在近3年的全國卷中考查的頻率很高，屬于基礎(chǔ)性內(nèi)容。大多屬于課程學(xué)習(xí)為情境，具體是數(shù)學(xué)運算學(xué)習(xí)情境，應(yīng)用線性規(guī)劃可以求簡單的最值問題。這類題目主要考查考生的運算求解能力。從近3年的頻率來看線性規(guī)劃的考查有減少的趨勢，難度較低?；静坏仁胶腿齻€正數(shù)的算數(shù)—幾何平均不等式內(nèi)容在高考中的考查的頻率不高，2020全國卷只有Ⅲ卷23題為選做題，新高考I卷11題、Ⅱ卷12題為基本不等式，2019全國卷I、Ⅲ為選做題。大部分屬于綜合性題目，屬于課程學(xué)習(xí)情境，具體是數(shù)學(xué)運算學(xué)習(xí)情境。這類題目主要考查邏輯思維能力和運算求解能力。從近3年的頻率來看本部分知識考查有減少的趨勢，難度通常為中等難度。絕對值不等式考查頻率較高，屬于綜合性題目，是數(shù)學(xué)運算學(xué)習(xí)情境和數(shù)學(xué)推理學(xué)習(xí)情境，在含參問題中具體考查絕對值不等式的求解問題和分類討論思想。這類題目主要考查考生的邏輯思維能力和運算求解能力等關(guān)鍵能力以及理性思維和數(shù)學(xué)探索等學(xué)科素養(yǎng)。從近3年的頻率來看本部分知識考查趨勢比較平穩(wěn)且頻率較高。2．考點頻度高頻考點：線性規(guī)劃、絕對值不等式。中頻考點：基本不等式。低頻考點：柯西不等式。3．備考策略線性規(guī)劃這部分內(nèi)容主要是以課程學(xué)習(xí)情境為主，備考以常見的簡單題型為主；基本不等式這部分內(nèi)容在全國卷主要以選做題的形式出現(xiàn)，在2020年的新高考中為多選題，題目難度為中等難度，在備考中以中等難度題型為主訓(xùn)練思維的靈活性，同時注意三個正數(shù)的算數(shù)—幾何平均不等式這一題型；絕對值不等式這部分內(nèi)容在全國卷中通常為選做題，考查的頻率較高，題目的難度為中等難度，在備考中要注意與函數(shù)知識相結(jié)合。（備注：2021年，2020年新高考已不再考查線性規(guī)劃和不等式選講內(nèi)容，全國I，Ⅱ，Ⅲ卷考查線性規(guī)劃和不等式選講內(nèi)容）。高考試題精練1．【2021年全國新高考II卷數(shù)學(xué)】已知，，，則下列判斷正確的是（）A． B． C． D．2．【2021年天津高考數(shù)學(xué)】設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．3．【2020年新高考全國Ⅰ卷】已知a>0，b>0，且a+b=1，則A． B．C． D．知識點精講一、不等式的性質(zhì)及應(yīng)用1．不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a>b?b<a.(2)傳遞性：a>b，b>c?a>c.(3)可加性：a>b?a＋c>b＋c.(4)可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc.(5)加法法則：a>b，c>d?a＋c>b＋d.(6)乘法法則：a>b>0，c>d>0?ac>bd.(7)乘方法則：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．(8)開方法則：a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．2．不等式的倒數(shù)性質(zhì)(1)a＞b，ab＞0?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).(2)a＜0＜b?eq\f(1,a)＜eq\f(1,b).(3)a＞b＞0，0＜c＜d?eq\f(a,c)＞eq\f(b,d).二、一元二次不等式的解法及應(yīng)用1．三個“二次”之間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實數(shù)根x1＝eq\f(－b－\r(Δ),2a)，x2＝eq\f(－b＋\r(Δ),2a)(x1＜x2)有兩相等實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x∈R|x≠x1}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2.一元二次不等式恒成立的條件(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)對于一切x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0（或≤0）；))(2)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0(或≤0)對于一切x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ＝b2－4ac<0（或≤0）.))在解決不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)對于一切x∈R恒成立問題時，當(dāng)二次項系數(shù)含有字母時，需要對二次項系數(shù)a進行討論，并研究當(dāng)a＝0時是否滿足題意．三、二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域及線性規(guī)劃1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)，不含邊界直線．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包含邊界直線．(2)對于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符號相同，也就是位于同一半平面內(nèi)的點，其坐標(biāo)適合Ax＋By＋C>0，位于另一個半平面內(nèi)的點，其坐標(biāo)適合Ax＋By＋C<0.2．線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b>0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸上截距最小時，z值最??；當(dāng)b<0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大．四、基本不等式及其應(yīng)用1．基本不等式及有關(guān)結(jié)論(1)基本不等式：如果a>0，b>0，則eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，即正數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．(2)重要不等式：a∈R，b∈R，則a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．(3)幾個常用的重要結(jié)論①eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a與b同號，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)；②a＋eq\f(1,a)≥2(a>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時取等號)，a＋eq\f(1,a)≤－2(a<0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝－1時取等號)；③ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)；④eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)．2．利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值2eq\r(p)(簡記：積定和最小)．(2)如果x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值eq\f(s2,4)(簡記：和定積最大)．①求最值時要注意三點：“一正”“二定”“三相等”．所謂“一正”指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用定理求最值時，和或積為定值，“三相等”是指等號成立．②連續(xù)使用基本不等式時，要注意等號要同時成立．四、高考試題精講7．【2020年新高考全國Ⅰ卷】已知a>0，b>0，且a+b=1，則A． B．C． D．8．【2020年高考浙江】若實數(shù)x，y滿足約束條件，則的取值范圍是A． B． C． D．9．【2020年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，…，a12.設(shè)1≤i<j<k≤12．若k–j=3且j–i=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若k–j=4且j–i=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦．用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為A．5 B．8 C．10 D．1510．【2020年高考浙江】設(shè)集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有2個元素，且S，T滿足：①對于任意的x，yS，若x≠y，則xyT；②對于任意的x，yT，若x<y，則S．下列命題正確的是A．若S有4個元素，則S∪T有7個元素B．若S有4個元素，則S∪T有6個元素C．若S有3個元素，則S∪T有5個元素D．若S有3個元素，則S∪T有4個元素11．【2019年高考全國I卷文數(shù)】古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm12．【2019年高考全國III卷文數(shù)】記不等式組表示的平面區(qū)域為D．命題；命題．下面給出了四個命題① ② ③ ④這四個命題中，所有真命題的編號是A．①③ B．①② C．②③ D．③④13．【2019年高考北京卷文數(shù)】在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.114．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A．2 B．3 C．5 D．615．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件16．【2019年高考浙江卷】若實數(shù)滿足約束條件，則的最大值是A． B．1C．10 D．1217．【2019年高考浙江卷】若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件18．【2021年天津高考數(shù)學(xué)】若，則的最小值為____________．19．【2020年高考江蘇】已知，則的最小值是▲．20．【2020年高考天津】已知，且，則的最小值為_________．21．【2020年高考全國Ⅰ卷文數(shù)】若x，y滿足約束條件則z=x+7y的最大值為.22．【2020年高考全國Ⅱ卷文數(shù)】若x，y滿足約束條件則的最大值是__________．23．【2020年高考全國Ⅲ卷文數(shù)】若x，y滿足約束條件,則z=3x+2y的最大值為_________．24．【2019年高考全國II卷文數(shù)】若變量x，y滿足約束條件則z=3x–y的最大值是____________.25．【2019年高考全國II卷文數(shù)】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．（本題第一空2分，第二空3分．）26．【2019年高考北京卷文數(shù)】若x，y滿足則的最小值為__________，最大值為__________．27．【2019年高考天津卷文數(shù)】設(shè)，則的最小值為__________.的最小值為28．【2019年高考北京卷文數(shù)】李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進行促銷：一次購買水果的總價達到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折，則x的最大值為__________．五、模擬試卷：不等式、推理與證明(時間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．若實數(shù)x，y滿足x＋y＞0，則“x＞0”是“x2＞y2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．若a，b，c∈R，a>b，則下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．a(chǎn)2>b2C.eq\f(a,c2＋1)>eq\f(b,c2＋1) D．a(chǎn)|c|>b|c|3．(2021·亳州模擬)在R上定義運算*：a*b＝ab＋2a＋b，則滿足x*(x－2)<0的解集為()A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)4．下面幾種推理中是演繹推理的為()A．由金、銀、銅、鐵可導(dǎo)電，猜想：金屬都可導(dǎo)電B．猜想數(shù)列eq\f(1,1×2)，eq\f(1,2×3)，eq\f(1,3×4)，……的通項公式為an＝eq\f(1,nn＋1)(n∈N*)C．半徑為r的圓的面積S＝πr2，則單位圓的面積S＝πD．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推測空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r25．我國古代的“割圓術(shù)”相當(dāng)于給出已知圓的半徑r，計算其面積S的近似值，進一步計算圓周率的近似值．根據(jù)π＝3.14159…判斷，下列近似公式中最接近π的是()A．r≈eq\r(\f(50S,157)) B．r≈eq\r(\f(S,3))C．r≈eq\r(\f(7S,22)) D．r≈eq\r(\f(8S,27))6．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥5，,x≤3，,y≤4，))則z＝eq\f(x＋y,x＋1)的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，5)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(5,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，\f(5,2))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，\f(14,5)))7．甲、乙、丙、丁四人中，甲說：我年紀(jì)最大，乙說：我年紀(jì)最大，丙說：乙年紀(jì)最大，丁說：我不是年紀(jì)最大的，若這四人中只有一個人說的是真話，則年紀(jì)最大的是()A．甲B．乙C．丙D．丁8．(2020·莆田檢測)函數(shù)f(x)＝eq\f(4x2－4x＋1,x－1)(x>1)的最小值等于()A．6B．9C．4D．89．(2021·長沙模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域為[0，＋∞)，則eq\f(9,a)＋eq\f(1,c)的最小值為()A．3B．6C．9D．1210．已知正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)＋2))的最小值為()A．16B．15C．14D．1311．已知x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋3≥0，,2x－3y＋4≤0，,y≥0，))若目標(biāo)函數(shù)z＝mx＋ny－2的最大值為1(其中m>0，n>0)，則eq\f(1,2m)＋eq\f(1,n)的最小值為()A．3B．1C．2D.eq\f(3,2)12．下列命題正確的個數(shù)是()p1：已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O沒有公共點；p2：命題“?x0∈R，xeq\o\al(3,0)－xeq\o\al(2,0)＋1≤0”的否定是“?x∈R，x3－x2＋1≥0”；p3：已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，σ2)，P(X≤4)＝0.8，則P(X≤2)＝0.2；p4：實數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤3，,x－y≥1，,y≥0，))則目標(biāo)函數(shù)z＝x－2y的最小值為1.A．1B．2C．3D．4二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集是{x|x<2或x>3}，則不等式bx2＋ax＋c>0的解集為________．14．已知函數(shù)f(x)＝4x＋eq\f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.15．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，0≤x≤5，,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x，a≤x<0))的值域為[－15,1]，則實數(shù)a的取值范圍是________．16．已知函數(shù)f(x)＝2021x－2021－x＋1，則不等式f(2x－1)＋f(2x)>2的解集為_______