第09講圓心角與圓周角（1大知識點+9大典例+變式訓練+過關檢測）典型例題一圓心角概念辨析及簡單運算典型例題二圓周角的概念辨析及簡單運算典型例題三求圓弧的度數(shù)典型例題四圓周角定理典型例題五利用弧、弦、圓心角的關系求解典型例題六利用弧、弦、圓心角的關系求證典型例題七同弧或等弧所對的圓周角相等典型例題八半圓（直徑）所對的圓周角是直角典型例題九90度的圓周角所對的弦是直徑知識01圓周角1．頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半。推論1：在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對的弧一定相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑。（在同圓中，半弧所對的圓心角等于全弧所對的圓周角）2．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等．3．一個四邊形的4個頂點都在同一個圓上，這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這個圓叫做四邊形的外接圓。圓內(nèi)接四邊形定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補，一個外角等于其內(nèi)對角?！炯磿r訓練】1．（2024九年級上·浙江溫州·專題練習）下列圖形中的角是圓周角的是（）A． B．C． D．【即時訓練】2．（2324九年級上·浙江溫州·課后作業(yè)）如圖，所對的圓周角是，所對的圓周角是．

【典型例題一圓心角概念辨析及簡單運算】【例1】（2425九年級上·浙江紹興·期末）下列語句中不正確的有（）

①相等的圓心角所對的弧相等；②平分弦的直徑垂直于弦；③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；④長度相等的兩條弧是等?。瓵．3個 B．2個 C．1個 D．0個【例2】（2025九年級·浙江溫州·專題練習）如圖所示，量角器的圓心O在矩形ABCD的邊AD上，直徑經(jīng)過點C，則∠OCB的度數(shù)為（

）A．30° B．40° C．50° D．60°1．（2425九年級上·浙江溫州·期中）下列命題中，正確的是（）①頂點在圓心的角是圓心角；②相等的圓心角，所對的弧也相等；③兩條弦相等，它們所對的弧也相等；④在等圓中，圓心角不等，所對的弦也不等．A．①和② B．①和③C．①和④ D．①、②、③、④

3．（2425九年級上·浙江衢州·期中）如圖是半徑為2的圓，（1）在其中畫兩個不重疊的扇形AOB和扇形BOC，使扇形AOB的圓心角為120度，扇形BOC的圓心角為90度，（2）求第三個扇形AOC的面積．【典型例題二圓周角的概念辨析及簡單運算】【例1】（2324九年級上·浙江麗水·階段練習）下列四個命題中不正確的是（

）A．直徑是弦 B．三角形的外心到三角形三個頂點的距離都相等C．頂點在圓周上的角是圓周角 D．半徑相等的兩個半圓是等弧A．B．C． D．【例3】（2425九年級·浙江溫州·課后作業(yè)）頂點在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做．圓周角的特征：①頂點在上；②兩邊都和圓．A．4 B． C．2 D．03．（2025·浙江杭州·模擬預測）把下面的語句還原成圖形：作圖區(qū)域：【典型例題三求圓弧的度數(shù)】【例1】（2425九年級上·浙江紹興·期末）如圖，圓心角∠AOB=25°，將弧AB旋轉n°得到弧CD，則∠COD等于（）A．25° B．25°+n° C．50° D．50°+n°【例2】（2425九年級上·浙江溫州·期中）如圖，已知⊙O的半徑為3，弦AB、CD所對的圓心角分別是∠AOB、∠COD，若∠AOB與∠COD互補，弦CD=4，則弦AB的長為（

）【例4】（2324九年級上·浙江嘉興·階段練習）把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開，圖中的虛線表示折痕，則弧的度數(shù)是1．（2025·浙江溫州·模擬預測）如圖,將大小不同的兩塊量角器的零度線對齊,且小量角器的中心恰好在大量角器的圓周上,設圖中兩圓周的交點為.且點在小量角器上對應的刻度為,那么點在大量角器上對應的刻度為(只考慮小于的角)(

)A． B． C． D．2．（2425九年級上·浙江紹興·階段練習）如圖，在以AB為直徑的半圓中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，則以AC和BC的長為兩根的一元二次方程是．【典型例題四圓周角定理】A． B． C． D．A． B． C． D．1．（2025·湖北恩施·模擬預測）如圖，在中，弦與弦互相垂直，則與的大小關系為（

）(1)如圖1，若過圓心，求的度數(shù)；【典型例題五利用弧、弦、圓心角的關系求解】A． B． C． D．【例4】（2425九年級上·浙江麗水·期末）有學者研究表明，我國古代制作銅鏡背面花紋時，所采用的四等分圓周的一種方法是：如圖所示，先由圓心畫出圓的一條直徑，再用“矩”（一種直角曲尺，可以畫直角）過圓心垂直于第一條直徑畫出第二條直徑，則這兩條直徑的四個端點將圓周四等分．請用你學過的一個定理解釋這種四等分圓周的方法的道理：．3．（2425九年級上·浙江杭州·期末）小濱和小江在研究與圓有關的問題時發(fā)現(xiàn)：“在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等，那么它們所對應的其余各對量都相等．”進一步思考后，兩位同學提出了這樣的想法：這四對量中，如果有一對量存在倍數(shù)關系，其余三對量是否也會相應的存在倍數(shù)關系？因此，在如圖所示的⊙O中，他們提出了如下猜想：請判斷小濱、小江所提的猜想是否正確，并說明理由．【典型例題六利用弧、弦、圓心角的關系求證】【例2】（2425九年級上·遼寧盤錦·階段練習）結合各自對應圖形，給出的相應推理中，其中正確的是（

）（1）（2）（3）（4）A．（1）（2） B．（3）（4） C．（1）（3） D．（2）（4）【例3】（2425九年級上·上海靜安·課后作業(yè)）120°的圓心角是360°的分之一，它所對的弧是相應圓周長的分之一．3．（2425九年級上·河南鄭州·期末）在《圓的對稱性》一節(jié)，我們學習了“圓心角、弧、弦之間的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等”．實際上我們還可以得到“圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系”如下：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．請直接運用圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系解答下列問題：(2)若角的頂點在圓上或圓內(nèi)，上述結論是否成立？若不成立，請說明理由；若成立，請加以證明．【典型例題七同弧或等弧所對的圓周角相等】A． B． C． D．

A． B． C． D．3．（2425九年級上·福建莆田·期中）規(guī)定：將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓，圖1是銳角三角形和鈍角三角形的最小覆蓋圓．如圖2，要在四個村莊，，，修建一個電視信號中轉站，為了使這四個村莊的居民都能接收到電視信號，且使中轉站所需發(fā)射功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。?，請用尺規(guī)在圖上作出中轉站所建位置，請簡要說明理由．【典型例題八半圓（直徑）所對的圓周角是直角】【例1】（2025·河北邯鄲·模擬預測）一張直徑為10的半圓形卡紙，過直徑的兩端點剪掉一個三角形，以下四種裁剪圖中，所標數(shù)據(jù)長度合理的是（

）A． B．C． D．1．（2425九年級上·云南玉溪·期中）下列說法正確的是（

）A．直徑是弦，反之弦也是直徑 B．長度相等的弧是等弧C．直徑所對的圓周角等于 D．過圓心的線段是直徑(1)求證：為的中點．(2)若＝，＝，求的長．【典型例題九90度的圓周角所對的弦是直徑】A． B． C． D．

1．（2425九年級上·河北唐山·期末）下列圖形中的線段是圓的直徑的是（

）A．B．C．D．3．（2324九年級上·江西贛州·期末）下面是證明定理的兩種方法，請完成證明過程．（兩種都要寫）證明定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．方法1：利用矩形判定和性質(zhì)證明．方法2：利用圓的性質(zhì)證明．1．（2324九年級上·浙江溫州·課后作業(yè)）如圖，在圖中標出的4個角中，圓周角有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2425九年級上·浙江麗水·期末）如圖，在⊙O中，點A、B、C、D分別在圓上，則圖中弧的條數(shù)是（

）A．12條 B．11條 C．9條 D．8條A． B． C． D．A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④7．（2425九年級上·湖北咸寧·期末）如圖，A，B，C是⊙O上三點，∠AOC=∠B，則∠B=度．11．（2425九年級上·貴州畢節(jié)·階段練習）如圖所示，若扇形DOE與扇形AOE的圓心角的度數(shù)之比為1：2．求這五個圓心角的度數(shù)．14．（2025·浙江溫州·模擬預測）如圖，已知點A，B在圓上，以為邊在圓內(nèi)作正方形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求作圖，保留作圖痕跡．(1)在圖1中作出圓的一條直徑；(2)在圖2中作出圓內(nèi)接正方形．15．（2425九年級上·浙江紹興·期中）學