3.1全稱量詞與全稱命題3.2存在量詞與特稱命題[學習目標]1.通過生活和數學中的豐富實例理解全稱量詞與存在量詞的含義，熟悉常見的全稱量詞和存在量詞.2.了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義，并能用數學符號表示含有量詞的命題及判斷其命題的真假性.知識點一全稱量詞和全稱命題短語“所有”、“每一個”、“任何”、“任意一條”、“一切”等都是在指定范圍內，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞，含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題.知識點二存在量詞與特稱命題短語“有些”、“至少有一個”、“有一個”、“存在”等都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞，含有存在量詞的命題叫作特稱命題.思考(1)在全稱命題和特稱命題中，量詞是否可以省略？(2)全稱命題中的“x，M與p(x)”表達的含義分別是什么？答案(1)在特稱命題中，量詞不可以省略；在有些全稱命題中，量詞可以省略.(2)元素x可以表示實數、方程、函數、不等式，也可以表示幾何圖形，相應的集合M是這些元素的某一特定的范圍.p(x)表示集合M的所有元素滿足的性質.題型一全稱量詞與全稱命題例1試判斷下列全稱命題的真假：(1)任意實數x，使x2＋2>0；(2)所有自然數x，使x4≥1；(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于任意實數x，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命題“對于任意實數x，x2＋2>0”是真命題.(2)由于0∈N，當x＝0時，x4≥1不成立，所以命題“所有自然數x，x4≥1”是假命題.(3)由于所有自然數x，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命題“對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命題.反思與感悟判斷全稱命題為真時，要看命題是否對給定集合中的所有元素成立.判斷全稱命題為假時，可以用反例進行否定.跟蹤訓練1試判斷下列全稱命題的真假：(1)任意x∈R，x2＋1≥2；(2)任何一條直線都有斜率；(3)每個指數函數都是單調函數.解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋1≥1，所以“任意x∈R，x2＋1≥2”是假命題.(2)當直線的傾斜角為eq\f(π,2)時，斜率不存在，所以“任何一條直線都有斜率”是假命題.(3)無論底數a>1或是0<a<1，指數函數都是單調函數，所以“每個指數函數都是單調函數”是真命題.題型二存在量詞與特稱命題例2判斷下列特稱命題的真假：(1)存在x0∈Z，使得xeq\o\al(3,0)<1；(2)存在一個四邊形不是平行四邊形；(3)有一個實數α，tanα無意義；(4)存在x0∈R，使得cosx0＝eq\f(π,2).解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x0∈Z，使得xeq\o\al(3,0)<1”是真命題.(2)真命題，如梯形.(3)真命題，當α＝eq\f(π,2)時，tanα無意義.(4)∵當x∈R時，cosx∈[－1,1]，而eq\f(π,2)>1，∴不存在x0∈R，使cosx0＝eq\f(π,2)，∴“存在x∈R，使得cosx0＝eq\f(π,2)”是假命題.反思與感悟判定特稱命題真假的方法：代入法：在給定的集合中找到一個元素x，使命題p(x)為真，否則命題為假.跟蹤訓練2試判斷下列特稱命題的真假：(1)存在x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3；(2)存在x0，y0為正實數，使xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝0；(3)存在x0∈R，tanx0＝1；(4)存在x0∈R，lgx0＝0.解(1)由于使xeq\o\al(2,0)＝3成立的數只有±eq\r(3)，而它們都不是有理數，因此沒有任何一個有理數的平方能等于3，所以命題“存在x0∈Q，xeq\o\al(2,0)＝3”為假命題.(2)因為x0>0，y0>0，所以xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)>0，所以“存在x0，y0為正實數，使xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝0”為假命題.(3)當x0＝eq\f(π,4)時，taneq\f(π,4)＝1，所以“存在x0∈R，tanx0＝1”為真命題.(4)當x0＝1時，lg1＝0，所以“存在x0∈R，lgx0＝0”為真命題.題型三全稱命題、特稱命題的應用例3(1)若命題p：存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0，求實數a的取值范圍；(2)若不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0對任意實數x恒成立，求實數m的取值范圍.解(1)由axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0，得a(xeq\o\al(2,0)＋1)<－2x0，∵xeq\o\al(2,0)＋1>0，∴a<－eq\f(2x0,x\o\al(2,0)＋1)＝－eq\f(2,x0＋\f(1,x0))，當x0>0時，x0＋eq\f(1,x0)≥2，∴－eq\f(2,x0＋\f(1,x0))≥－1，當x0<0時，x0＋eq\f(1,x0)≤－2，∴－eq\f(2,x0＋\f(1,x0))≤1，∴－eq\f(2,x0＋\f(1,x0))的最大值為1.又∵存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0成立，∴只要a<1，∴a的取值范圍是(－∞，1).(2)①當m＋1＝0即m＝－1時，2x－6<0不恒成立.②當m＋1≠0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1<0，,Δ<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－1，,Δ＝m－12－4m＋1·3m－1<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－1，,m<－\f(13,11)或m>1，))綜上，m<－eq\f(13,11).反思與感悟有解和恒成立問題是特稱命題和全稱命題的應用，注意二者的區(qū)別.跟蹤訓練3(1)已知關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，求實數a的取值范圍；(2)若命題p：eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx是真命題，求實數x的取值范圍.解(1)關于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥eq\f(7,4)，∴實數a的取值范圍為[eq\f(7,4)，＋∞).(2)由eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx，得eq\r(sin2x＋cos2x－2sinxcosx)＝sinx－cosx，∴eq\r(sinx－cosx2)＝sinx－cosx，即|sinx－cosx|＝sinx－cosx，∴sinx≥cosx.結合三角函數圖象得，2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)(k∈Z)，此即為所求x的取值范圍.即p：任意x∈[2kπ＋eq\f(π,4)，2kπ＋eq\f(5π,4)](k∈Z)，有eq\r(1－sin2x)＝sinx－cosx是真命題.1.下列命題中全稱命題的個數是()①任意一個自然數都是正整數；②有的等差數列也是等比數列；③三角形的內角和是180°.A.0B.1C.2D.3答案C解析①③是全稱命題.2.下列命題中，不是全稱命題的是()A.任何一個實數乘以0都等于0B.自然數都是正整數C.每一個向量都有大小D.一定存在沒有最大值的二次函數答案D解析D選項是特稱命題.3.下列特稱命題是假命題的是()A.存在x∈Q，使2x－x3＝0B.存在x∈R，使x2＋x＋1＝0C.有的素數是偶數D.有的有理數沒有倒數答案B解析對于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0恒成立.4.下列命題中，既是真命題又是特稱命題的是()A.存在一個α0，使tan(90°－α0)＝tanα0B.存在實數x0，使sinx0＝eq\f(π,2)C.對一切α，sin(180°－α)＝sinαD.對一切α，β，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ答案A解析含有存在量詞的命題只有A，B，而sinx0≤1，所以sinx0＝eq\f(π,2)不成立，故選A.5.已知命題p：存在x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，命題q：任意x∈(0，eq\f(π,2))，cosx<1，則下列命題為真命題的是()A.p且q B.p或(綈q)C.(綈p)且q D.p且(綈q)答案C解析當x0<0時，2x0<3x0不成立，∴p為假命題，綈p為真命題，而x∈(0，eq\f(π,2))時，cosx<1成立，∴q為真命題.1.判