可逆矩陣題目及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)滿足\(A^2=E\)，則\(A\)（）A.一定不可逆B.一定可逆且\(A^{-1}=A\)C.一定可逆且\(A^{-1}=E\)D.不一定可逆2.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，\(\vertA\vert=3\)，則\(\vertA^{-1}\vert\)=（）A.\(3\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(1\)D.\(9\)3.若\(A\)可逆，且\(AB=AC\)，則（）A.\(B=C\)B.\(B\neqC\)C.\(B\)與\(C\)不一定相等D.以上都不對(duì)4.設(shè)\(A\)、\(B\)為同階可逆矩陣，則（）A.\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)B.\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)C.\((AB)^{-1}=AB\)D.\((AB)^{-1}=BA\)5.若\(A\)為可逆矩陣，\(k\neq0\)為常數(shù)，則\((kA)^{-1}\)=（）A.\(kA^{-1}\)B.\(\frac{1}{k}A^{-1}\)C.\(k^{-1}A\)D.\(A^{-1}\)6.已知\(A\)是可逆矩陣，且\(A^T\)是\(A\)的轉(zhuǎn)置矩陣，則\((A^T)^{-1}\)=（）A.\(A\)B.\(A^{-1}\)C.\((A^{-1})^T\)D.\(-A^{-1}\)7.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(B\)是\(n\)階矩陣，若\(AB=0\)，則（）A.\(B=0\)B.\(B\neq0\)C.\(A=0\)D.無法確定8.若矩陣\(A\)可逆，且\(A\)滿足\(A^2+2A-3E=0\)，則\(A^{-1}\)=（）A.\(\frac{1}{3}(A+2E)\)B.\(\frac{1}{3}(A-2E)\)C.\(\frac{1}{3}(-A+2E)\)D.\(\frac{1}{3}(-A-2E)\)9.設(shè)\(A\)、\(B\)、\(C\)均為\(n\)階可逆矩陣，且\(ABC=E\)，則必有（）A.\(ACB=E\)B.\(CBA=E\)C.\(BAC=E\)D.\(BCA=E\)10.若\(A\)是可逆矩陣，\(P\)是初等矩陣，則\((PA)^{-1}\)=（）A.\(P^{-1}A^{-1}\)B.\(A^{-1}P^{-1}\)C.\(PA^{-1}\)D.\(A^{-1}P\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列矩陣中，一定可逆的有（）A.滿秩矩陣B.行列式不為零的矩陣C.初等矩陣D.正交矩陣2.設(shè)\(A\)、\(B\)為\(n\)階可逆矩陣，則（）A.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)B.\((A^2)^{-1}=(A^{-1})^2\)C.\((AB)^T=B^TA^T\)D.\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)3.若\(A\)可逆，以下說法正確的是（）A.\(A\)的行向量組線性無關(guān)B.\(A\)的列向量組線性無關(guān)C.\(Ax=0\)只有零解D.\(A\)可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積4.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(B\)是\(n\)階矩陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\(A^{-1}B=BA^{-1}\)B.\(AB^{-1}=B^{-1}A\)C.\((A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}\)D.\((AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}\)5.下列條件中，能判定\(n\)階方陣\(A\)可逆的是（）A.\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)可逆B.存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=E\)C.\(A\)與單位矩陣\(E\)等價(jià)D.\(A\)的特征值都不為零6.設(shè)\(A\)、\(B\)、\(C\)為同階可逆矩陣，則（）A.\((ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}\)B.\((A^TB^TC^T)^{-1}=(C^{-1})^T(B^{-1})^T(A^{-1})^T\)C.\(A^{-1}B^{-1}C^{-1}=(ABC)^{-1}\)D.\(A+B\)一定可逆7.若\(A\)是可逆矩陣，對(duì)\(A\)進(jìn)行以下哪些變換后得到的矩陣仍可逆（）A.交換\(A\)的兩行B.用非零數(shù)\(k\)乘\(A\)的某一行C.將\(A\)的某一行的\(k\)倍加到另一行D.對(duì)\(A\)進(jìn)行轉(zhuǎn)置8.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，且\(A\)滿足\(A^2-5A+6E=0\)，則（）A.\(A^{-1}=\frac{1}{6}(A-5E)\)B.\(A\)的特征值為\(2\)和\(3\)C.\(A\)可對(duì)角化D.\(A\)的秩為\(n\)9.已知\(A\)、\(B\)為\(n\)階可逆矩陣，且\(A\)與\(B\)相似，則（）A.\(A^{-1}\)與\(B^{-1}\)相似B.\(A^2\)與\(B^2\)相似C.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)D.\(A\)與\(B\)有相同的特征值10.設(shè)\(A\)是可逆矩陣，以下等式成立的有（）A.\(\vertA^{-1}\vert=\frac{1}{\vertA\vert}\)B.\((A^{-1})^{-1}=A\)C.\((kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}(k\neq0)\)D.\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)判斷題（每題2分，共10題）1.若矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert=0\)，則\(A\)不可逆。（）2.可逆矩陣的逆矩陣是唯一的。（）3.若\(A\)、\(B\)都是\(n\)階可逆矩陣，則\(A+B\)也可逆。（）4.初等矩陣都是可逆矩陣。（）5.若\(A\)可逆，且\(AB=0\)，則\(B=0\)。（）6.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，若\(A\)可表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積，則\(A\)可逆。（）7.若\(A\)可逆，\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)也可逆。（）8.若\(A\)、\(B\)為\(n\)階可逆矩陣，且\(AB=BA\)，則\(A^{-1}B=BA^{-1}\)。（）9.一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的行向量組線性相關(guān)。（）10.若\(A\)是可逆矩陣，\(A\)經(jīng)過有限次初等列變換后得到的矩陣仍可逆。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述可逆矩陣的定義。答案：對(duì)于\(n\)階方陣\(A\)，如果存在\(n\)階方陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)（\(E\)為\(n\)階單位矩陣），則稱\(A\)是可逆矩陣，\(B\)為\(A\)的逆矩陣。2.說明判斷矩陣可逆的方法有哪些？答案：可通過行列式判斷，若方陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert\neq0\)，則\(A\)可逆；也可看秩，滿秩矩陣可逆；還可根據(jù)是否能表示為初等矩陣乘積，能則可逆；或從線性方程組角度，\(Ax=0\)只有零解時(shí)\(A\)可逆。3.已知\(A\)可逆且滿足\(A^2+3A-4E=0\)，求\(A^{-1}\)。答案：由\(A^2+3A-4E=0\)，等式兩邊同時(shí)左乘\(A^{-1}\)得\(A+3E-4A^{-1}=0\)，移項(xiàng)可得\(4A^{-1}=A+3E\)，所以\(A^{-1}=\frac{1}{4}(A+3E)\)。4.為什么可逆矩陣\(A\)的行向量組線性無關(guān)？答案：因?yàn)閈(A\)可逆，則\(\vertA\vert\neq0\)，\(A\)滿秩，\(A\)的秩等于其行向量組的秩，所以行向量組的秩等于向量個(gè)數(shù)，故行向量組線性無關(guān)。討論題（每題5分，共4題）1.討論可逆矩陣在解線性方程組中的應(yīng)用。答案：對(duì)于線性方程組\(Ax=b\)，當(dāng)\(A\)可逆時(shí)，方程有唯一解\(x=A^{-1}b\)?？赡婢仃嚳赏ㄟ^求逆運(yùn)算快速得出方程組的解，避免了復(fù)雜的消元過程，在工程、經(jīng)濟(jì)等多領(lǐng)域解決實(shí)際模型對(duì)應(yīng)的方程組問題中有重要作用。2.探討可逆矩陣與矩陣秩的關(guān)系。答案：可逆矩陣一定是滿秩矩陣，即\(n\)階可逆矩陣的秩為\(n\)。因?yàn)榭赡婢仃囆辛惺讲粸榱?，根?jù)矩陣秩的性質(zhì)，其秩等于階數(shù)。反之，滿秩矩陣行列式不為零，所以滿秩矩陣也可逆，二者相互等價(jià)，可相互推導(dǎo)判斷矩陣性質(zhì)。3.說明可逆矩陣的伴隨矩陣的性質(zhì)及與原矩陣的聯(lián)系。答案：若\(A\)可逆，\(A^\)也可逆，且\((A^)^{-1}=\frac{1}{\vertA\vert}A\)，\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)。\(AA^=\vertA\vertE\)，\(A^A=\vertA\vertE\)。伴隨矩陣可輔助求逆矩陣，且其性質(zhì)與原矩陣的行列式、可逆性密切相關(guān)。4.思考可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)矩陣計(jì)算的簡化作用。答案：可逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)如\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)、\((A^T)^{-1}=(A^{-1})^T\)等，在矩陣乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算中可簡化計(jì)算。例如求復(fù)雜矩陣乘積的逆時(shí)，利用此性質(zhì)可分別求各因子的逆再相乘。同時(shí)在證明一些矩陣等式時(shí)，這些性質(zhì)也能使推理更簡便。