第2課時(shí)兩平面垂直(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))[課時(shí)目標(biāo)]1.從相關(guān)定義和基本事實(shí)出發(fā),借助長(zhǎng)方體,通過(guò)直觀感知,了解空間中平面與平面的垂直關(guān)系.2.了解二面角的相關(guān)概念,平面與平面垂直的定義,會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角問(wèn)題.3.歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理、判定定理,并會(huì)證明平面與平面的垂直關(guān)系.1.二面角(1)二面角半平面平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩部分,其中的都叫作半平面

二面角的相關(guān)概念一般地,一條直線和由這條直線出發(fā)的所組成的圖形叫作二面角,這條直線叫作二面角的,每個(gè)半平面叫作二面角的

畫(huà)法記法二面角α?l?β或α?AB?β或P?l?Q或P?AB?Q(2)二面角的平面角①定義:一般地,以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別,這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角.如圖,∠AOB就是二面角α?l?β的平面角.②范圍:二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量,二面角的平面角是多少度,就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度.二面角α的取值范圍是.

(3)直二面角平面角是直角的二面角叫作直二面角.2.面面垂直的定義定義一般地,如果兩個(gè)平面所成的二面角是,那么就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直

畫(huà)法畫(huà)兩個(gè)互相垂直的平面時(shí),通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫(huà)成垂直.如圖記作α⊥β3.平面與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言作用如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的,那么這兩個(gè)平面垂直

l⊥βl?證面面垂直4.平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的,那么這條直線與另一個(gè)平面

符號(hào)語(yǔ)言α⊥β,α∩β=l,,?a⊥β

圖形語(yǔ)言作用①面面垂直?垂直;

②作平面的垂線|微|點(diǎn)|助|解|(1)面面垂直的判定定理可簡(jiǎn)述為“線面垂直?面面垂直”.要證明平面與平面垂直,只需轉(zhuǎn)化為證明直線與平面垂直,這充分說(shuō)明了線面垂直與面面垂直的密切關(guān)系.(2)要判斷兩個(gè)平面的垂直關(guān)系,只需要固定其中一個(gè)平面,找另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線與第一個(gè)平面垂直.(3)觀察空間圖形時(shí),不能以平面的觀點(diǎn)去看待,平面上畫(huà)的兩直線成銳角或鈍角,在空間中可能是垂直的.(4)平面與平面垂直的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè):①兩個(gè)平面垂直;②有一條直線在其中一個(gè)平面內(nèi);③這條直線垂直于兩個(gè)平面的交線.(5)如果兩個(gè)平面垂直,那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線可能平行、相交(含垂直相交)或異面.基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)兩個(gè)相交平面組成的圖形叫作二面角.()(2)異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直,則a,b的夾角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ).()(3)二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角的最小角.()(4)二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系.()2.已知直線l⊥平面α,則經(jīng)過(guò)l且和α垂直的平面()A.有一個(gè) B.有兩個(gè)C.有無(wú)數(shù)個(gè) D.不存在3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,則()A.α∥γ B.α與γ相交但不垂直C.α⊥γ D.以上都有可能4.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E,作EF⊥A1B1于F,則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是()A.平行 B.EF?平面A1B1C1D1C.相交但不垂直 D.相交且垂直題型(一)二面角的求法[例1]在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,則二面角D1?BC?D的余弦值為()A.55B.255C.10聽(tīng)課記錄:|思|維|建|模|1.求二面角大小的步驟(1)找出這個(gè)二面角的平面角;(2)證明這個(gè)角是二面角的平面角;(3)作出這個(gè)角所在的三角形,解這個(gè)三角形,求出角的大小.2.確定二面角的平面角的方法(1)定義法:在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線.(2)垂面法:過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線的夾角,即為二面角的平面角.[針對(duì)訓(xùn)練]1.如圖,AB是圓的直徑,PA⊥BC,C是圓上一點(diǎn)(不同于A,B),且PA=AC,則二面角P?BC?A的平面角為()A.∠PAC B.∠CPAC.∠PCA D.∠CAB2.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F分別為AB,AA1的中點(diǎn),則平面CEB1與平面D1FB1所成二面角的平面角的正弦值為.題型(二)平面與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用[例2]如圖,斜三棱柱ABC?A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中點(diǎn),且BC=CA=AA1.(1)求證:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;(2)求證:BC1⊥AB1.聽(tīng)課記錄:|思|維|建|模|證明面面垂直常用的方法(1)定義法:說(shuō)明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角,其判定的步驟:①找出兩相交平面的平面角;②證明這個(gè)平面角是直角;③根據(jù)定義,這兩個(gè)相交平面互相垂直.(2)判定定理法:在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直,即把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”,其基本步驟:(3)性質(zhì)法:兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面,則另一個(gè)也垂直于此平面.[針對(duì)訓(xùn)練]3.如圖,在圓錐PO中,AB是☉O的直徑,C是上的點(diǎn),D為AC的中點(diǎn).證明:平面POD⊥平面PAC.題型(三)平面與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用[例3]如圖所示,平面PAB⊥平面ABC,平面PAC⊥平面ABC,AE⊥平面PBC,E為垂足.(1)求證:PA⊥平面ABC;(2)當(dāng)E為△PBC的垂心時(shí),求證:△ABC是直角三角形.聽(tīng)課記錄:|思|維|建|模|面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用思路在空間圖形中,如已知條件中有面面垂直,一般需要作輔助線,考慮應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理得到線面垂直,繼而可得線線垂直.在運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí),找準(zhǔn)兩平面的交線是關(guān)鍵.[提醒]在證明垂直問(wèn)題時(shí),要注意題中隱含的垂直關(guān)系,如等腰三角形的底邊上的高、中線和頂角的角平分線三線合一、矩形的內(nèi)角、直徑所對(duì)的圓周角、菱形的對(duì)角線互相垂直、直角三角形(或給出線段長(zhǎng)度,經(jīng)計(jì)算滿足勾股定理)、直角梯形等等.[針對(duì)訓(xùn)練]4.已知長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1,在平面AA1B1B上任取一點(diǎn)M,作ME⊥AB于點(diǎn)E,則()A.ME⊥平面ABCD B.ME?平面ABCDC.ME∥平面ABCD D.以上都有可能5.如圖,在三棱柱ABC?A1B1C1中,∠ACB=∠AA1C=90°,平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)求證:AA1⊥A1B;(2)若AA1=2,BC=3,∠A1AC=60°,求點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離.題型(四)線面位置關(guān)系的綜合問(wèn)題[例4]如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD為矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分別為AD,PB的中點(diǎn).求證:(1)PE⊥BC;(2)平面PAB⊥平面PCD;(3)EF∥平面PCD.聽(tīng)課記錄:|思|維|建|模|(1)在解決垂直問(wèn)題的過(guò)程中,要注意平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用,即注意面面垂直和線面垂直的互相轉(zhuǎn)化.(2)在應(yīng)用線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理證明有關(guān)問(wèn)題時(shí),除了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想,還應(yīng)注意尋找線面平行、垂直所需的條件.平行、垂直的轉(zhuǎn)化[針對(duì)訓(xùn)練]6.如圖,在四棱錐P?ABCD中,底面ABCD是矩形,點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P,C),平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證:AB∥EF;(2)若AF⊥EF,求證:平面PAD⊥平面ABCD.第2課時(shí)兩平面垂直?課前預(yù)知教材1.(1)每一部分兩個(gè)半平面棱面(2)作垂直于棱的射線0°≤α≤180°2.直二面角3.垂線4.交線垂直a?αa⊥l線面[基礎(chǔ)落實(shí)訓(xùn)練]1.(1)×(2)√(3)×(4)√2.C3.D4.D?課堂題點(diǎn)研究[例1]選D在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,AA1=1,∴CD1=10.∵BC⊥平面DCC1D1,CD1?平面DCC1D1,∴BC⊥CD1.又平面D1BC∩平面BCD=BC,BC⊥CD,∴∠D1CD為二面角D1?BC?D的平面角,cos∠D1CD=CDCD1=3∴二面角D1?BC?D的余弦值為31010.故選[針對(duì)訓(xùn)練]1.選C∵C是圓上一點(diǎn)(不同于A,B),AB是圓的直徑,∴AC⊥BC.又PA⊥BC,AC∩PA=A,∴BC⊥平面PAC.而PC?平面PAC,∴BC⊥PC.又平面ABC∩平面PBC=BC,PC∩AC=C,∴由二面角的定義,得∠PCA為二面角P?BC?A的平面角.2.解析:設(shè)棱長(zhǎng)為1,延長(zhǎng)CE,D1F,DA交于一點(diǎn)G,如圖所示,所以B1C=2,B1G=3,CG=5,則B1C2+B1G2=CG2,故B1G⊥B1C.同理B1D1⊥B1G,則∠CB1D1即為所求二面角的平面角,而D1C=B1D1=B1C=2,所以∠CB1D1=60°,其正弦值為32答案:3[例2]證明:(1)如圖,設(shè)BC的中點(diǎn)為M,連接B1M.因?yàn)辄c(diǎn)B1在底面ABC上的射影恰好是點(diǎn)M,所以B1M⊥平面ABC.又因?yàn)锳C?平面ABC,所以B1M⊥AC.又由BC⊥AC,B1M∩BC=M,且B1M,BC?平面B1C1CB,所以AC⊥平面B1C1CB.因?yàn)锳C?平面ACC1A1,所以平面ACC1A1⊥平面B1C1CB.(2)連接B1C,因?yàn)锳C⊥平面B1C1CB,且BC1?平面B1C1CB,所以AC⊥BC1.在斜三棱柱ABC?A1B1C1中,因?yàn)锽C=CC1,所以四邊形B1C1CB為菱形.所以B1C⊥BC1.又因?yàn)锽1C∩AC=C,且B1C,AC?平面ACB1,所以BC1⊥平面ACB1.因?yàn)锳B1?平面ACB1,所以BC1⊥AB1.[針對(duì)訓(xùn)練]3.證明:如圖,連接OC,因?yàn)镺A=OC,D是AC的中點(diǎn),所以AC⊥OD.又PO⊥底面AOC,AC?底面AOC,所以AC⊥PO.因?yàn)镺D,PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線,所以AC⊥平面POD.又AC?平面PAC,所以平面POD⊥平面PAC.[例3]證明:(1)在平面ABC內(nèi)取一點(diǎn)D,作DF⊥AC于F.∵平面PAC⊥平面ABC,且交線為AC,∴DF⊥平面PAC.∵PA?平面PAC,∴DF⊥AP.作DG⊥AB于G,同理可證DG⊥AP.∵DG,DF都在平面ABC內(nèi),且DG∩DF=D,∴PA⊥平面ABC.(2)如圖,連接BE并延長(zhǎng),交PC于H.∵E是△PBC的垂心,∴PC⊥BH.又已知AE⊥平面PBC,PC?平面PBC,∴PC⊥AE.∵BH∩AE=E,∴PC⊥平面ABE.∵AB?平面ABE,∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB.∵PC∩PA=P,∴AB⊥平面PAC.∵AC?平面PAC,∴AB⊥AC,即△ABC是直角三角形.[針對(duì)訓(xùn)練]4.選A∵M(jìn)E?平面AA1B1B,平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,且平面AA1B1B⊥平面ABCD,ME⊥AB,∴ME⊥平面ABCD.5.解:(1)證明:因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABC,平面AA1C1C∩平面ABC=AC,BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C.又AA1?平面AA1C1C,所以BC⊥AA1.因?yàn)椤螦A1C=90°,所以AA1⊥A1C.又BC∩A1C=C,所以AA1⊥平面A1BC.又A1B?平面A1BC,所以AA1⊥A1B.(2)由(1)可知A1A⊥平面A1BC,A1A?平面A1ABB1,所以平面A1BC⊥平面A1ABB1,且交線為A1B.所以點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離等于△CA1B的邊A1B上的高,設(shè)其為h.在Rt△AA1C中,A1A=2,∠A1AC=60°,則A1C=23.由(1)得BC⊥A1C,所以在Rt△A1CB中,BC=3,A1B=21,h=BC·A1CA1故點(diǎn)C到平面A1ABB1的距離為67[例4]證明:(1)因?yàn)镻A=PD,E為AD的中點(diǎn),所以PE⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,所以AB⊥AD.又因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.又因?yàn)镻D?平面PAD,所以AB⊥PD.又因?yàn)镻A⊥PD,且PA∩AB=A,所以PD⊥平面PAB.又因?yàn)镻D?平面PCD,所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如圖,取PC中點(diǎn)G,連接FG,DG.因?yàn)镕,G分別為PB,PC的中點(diǎn),所以FG∥BC,FG=12BC因?yàn)榈酌鍭BCD為矩形,且E為AD的中點(diǎn),所以DE∥BC,DE=12BC所以DE∥FG,DE=FG.所以四邊形DEFG