13.2.4平面與平面的位置關(guān)系兩平面平行(教學(xué)方式:深化學(xué)習(xí)課——梯度進(jìn)階式教學(xué))第1課時課時目標(biāo)1.從定義與基本事實出發(fā),借助長方體,了解空間中平面與平面的平行關(guān)系.2.歸納出平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理,并能判定空間中平面與平面的平行關(guān)系.CONTENTS目錄123課前預(yù)知教材·自主落實基礎(chǔ)課堂題點研究·遷移應(yīng)用融通課時跟蹤檢測課前預(yù)知教材·自主落實基礎(chǔ)1.空間中平面與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點_____________有一條公共直線符號表示_______α∩β=a圖形表示沒有公共點α∥β2.兩個平面平行的判定定理文字語言如果一個平面內(nèi)的______________與另一個平面平行,那么這兩個平面平行符號語言________________________________________?α∥β圖形語言作用證明兩個平面______兩條相交直線a?α,b?α,a∩b=A,a∥β,b∥β平行3.兩個平面平行的判定定理的推論文字語言圖形語言符號語言如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行,那么這兩個平面平行a?α,b?α,a∩b=P,c?β,d?β,c∩d=P',a∥d,b∥c?α∥β|微|點|助|解|(1)面面平行的判定定理可簡述為“若線面平行,則面面平行”.該定理把兩個平面平行的問題轉(zhuǎn)化為一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行的問題.(2)面面平行的判定定理包含三個條件:①平面α內(nèi)有兩條直線a,b,②直線a,b相交,③直線a,b都平行于平面β.三個條件缺一不可.(3)“一個平面內(nèi)有兩條(或無數(shù)條)直線平行于另一個平面,則這兩個平面平行”是不正確的,因為兩個平面相交時,也可在一個平面內(nèi)找到無數(shù)條與另一平面平行的直線.4.兩個平面平行的性質(zhì)定理文字語言兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么兩條交線______符號語言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?______圖形語言作用證明兩條直線_____平行a∥b平行|微|點|助|解|(1)面面平行的性質(zhì)定理可簡記為“若面面平行,則線線平行”.(2)面面平行的性質(zhì)定理中有三個條件:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b.這三個條件缺一不可.(3)已知兩個平面平行,雖然一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面,但是一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面內(nèi)的一條直線不一定互相平行,它們可能是平行直線,也可能是異面直線,但不可能是相交直線.5.面面平行的其他性質(zhì)(1)在兩個平行平面中,一個平面內(nèi)的直線必平行于另一個平面.即“面面平行,則線面平行”.這可以作為證明線面平行的一種方法.(2)夾在兩個平行平面間的平行線段相等.(3)如果兩個平面都與第三個平面平行,那么這兩個平面互相平行.(4)兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例.(5)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.6.兩個平行平面間的距離(1)公垂線、公垂線段與兩個平行平面_______的直線,叫作這兩個平行平面的公垂線,它夾在__________________的線段,叫作這兩個平行平面的公垂線段.(2)兩個平行平面間的距離①定義:把兩個平行平面的公垂線段的______叫作兩個平行平面間的距離.②性質(zhì):兩個平行平面間的距離等于其中一個平面上的任意一點到另一個平面的距離.都垂直這兩個平行平面間長度基礎(chǔ)落實訓(xùn)練1.判斷正誤(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)分別位于兩個平行平面內(nèi)的兩條直線也平行. (

)(2)若一個平面內(nèi)有三個點到另一個平面的距離相等,則這兩個平面平行. (

)(3)直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α. (

)(4)若直線a∥b,b?α,那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. (

)(5)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行. (

)(6)如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.

(

)×××√×√2.設(shè)α,β是兩個不同的平面,m是直線且m?α,則“m∥β”是“α∥β”的

(

)A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析:根據(jù)m?α,m∥β得不到α∥β,因為α,β可能相交,只要m和α,β的交線平行即可得到m∥β;反之,α∥β,m?α,所以m和β沒有公共點,所以m∥β,即由α∥β能得到m∥β.所以“m∥β”是“α∥β”的必要且不充分條件.√3.平面α與圓臺的上、下底面分別相交于直線m,n,則m,n的位置關(guān)系是

(

)A.平行 B.相交C.異面 D.平行或異面解析:因為圓臺的上、下底面互相平行,所以由平面與平面平行的性質(zhì)定理可知m∥n.√4.平面α∥平面β,直線a?α,直線b?β,下面四種情形:①a∥b;②a⊥b;③a與b異面;④a與b相交,其中可能出現(xiàn)的情形有

(

)A.1種 B.2種

C.3種 D.4種解析:因為平面α∥平面β,直線a?α,直線b?β,所以直線a與直線b無公共點.當(dāng)直線a與直線b共面時,a∥b;當(dāng)直線a與直線b異面時,a與b的夾角大小可以是90°.綜上知,①②③都有可能出現(xiàn),共有3種情形.故選C.√課堂題點研究·遷移應(yīng)用融通題型(一)平面與平面平行的判定定理及其應(yīng)用[例1]如圖所示,在三棱柱ABC?A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1C1,A1B1的中點,求證:(1)B1C1∥平面A1EF;證明:∵E,F分別是AB,AC的中點,∴EF∥BC.又在三棱柱ABC?A1B1C1中,BC∥B1C1,∴B1C1∥EF.又B1C1?平面A1EF,EF?平面A1EF,∴B1C1∥平面A1EF.

|思|維|建|模|(1)定義法:兩個平面沒有公共點;(2)轉(zhuǎn)化為線線平行:平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則α∥β;(3)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ;(4)判定定理:用判定定理證明兩個平面平行,其步驟如下:針對訓(xùn)練1.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,M,E,F,N分別是A1B1,B1C1,C1D1,D1A1的中點.求證:(1)E,F,B,D四點共面;證明:連接B1D1,∵E,F分別是邊B1C1,C1D1的中點,∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E,F,B,D四點共面.(2)平面MAN∥平面EFDB.證明:易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN?平面EFDB,BD?平面EFDB,∴MN∥平面EFDB.連接MF.∵M(jìn),F分別是A1B1,C1D1的中點,∴MF∥A1D1,MF=A1D1.∴MF∥AD,MF=AD.∴四邊形ADFM是平行四邊形.∴AM∥DF.又AM?平面BDFE,DF?平面BDFE,∴AM∥平面BDFE.又AM∩MN=M,AM,MN?平面MAN,∴平面MAN∥平面EFDB.題型(二)平面與平面平行的性質(zhì)定理及其應(yīng)用[例2]如圖所示,在三棱柱ABC?A'B'C'中,D是BC的中點,D'是B'C'的中點,設(shè)平面A'D'B∩平面ABC=a,平面ADC'∩平面A'B'C'=b,判斷直線a,b的位置關(guān)系,并證明.解:直線a,b的位置關(guān)系是平行.證明如下:連接DD'(圖略).∵平面ABC∥平面A'B'C',平面A'D'B∩平面ABC=a,平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D',∴A'D'∥a.同理可證AD∥b.又D是BC的中點,D'是B'C'的中點,∴DD'

BB'.又BB'

AA',∴DD'

AA'.∴四邊形AA'D'D為平行四邊形.∴A'D'∥AD.∴a∥b.|思|維|建|模|利用面面平行的性質(zhì)定理判定兩直線平行的步驟(1)先找兩個平面,使這兩個平面分別經(jīng)過這兩條直線中的一條;(2)判定這兩個平面平行(此條件有時題目會直接給出);(3)再找一個平面,使這兩條直線都在這個平面內(nèi);(4)由定理得出結(jié)論.針對訓(xùn)練

√3.如圖,平面四邊形ABCD的四個頂點A,B,C,D均在?A'B'C'D'所確定的平面α外,且AA',BB',CC',DD'互相平行.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.證明:在?A'B'C'D'中,A'B'∥C'D',∵A'B'?平面C'D'DC,C'D'?平面C'D'DC,∴A'B'∥平面C'D'DC.同理可得A'A∥平面C'D'DC.又A'A∩A'B'=A',A'A?平面A'B'BA,A'B'?平面A'B'BA,∴平面A'B'BA∥平面C'D'DC.∵平面ABCD∩平面A'B'BA=AB,平面ABCD∩平面C'D'DC=CD,∴AB∥CD.同理可得AD∥BC.∴四邊形ABCD是平行四邊形.題型(三)平行關(guān)系的綜合問題

②當(dāng)AB,CD異面時,作AH∥CD交β于點H,連接BH,如圖所示.

|思|維|建|模|(1)在遇到線面平行問題時,常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面,以便運(yùn)用線面平行的性質(zhì).(2)線線平行、線面平行和面面平行可以相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化.在解決立體幾何中的平行問題時,一般都要用到平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.利用轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題最有效的方法.針對訓(xùn)練4.如圖甲,在四邊形PBCD中,PD∥BC,BC=PA=AD.現(xiàn)將△ABP沿AB折起得圖乙,點M是PD的中點,點N是BC的中點.(1)求證:MN∥平面PAB;解:證明:取AD的中點F,分別連接NF,MF,因為M,F分別為PD,AD的中點,所以MF∥PA.又因為MF?平面PAB,PA?平面PAB,所以MF∥平面PAB.因為F,N分別為AD,BC的中點,所以NF∥AB.又因為NF?平面PAB,AB?平面PAB,所以NF∥平面PAB.又因為MF∩NF=F,且MF,NF?平面MNF,所以平面MNF∥平面PAB.又因為MN?平面MNF,所以MN∥平面PAB.(2)在圖乙中,過直線MN作一平面,與平面PAB平行,且分別交PC,AD于點E,F,注明E,F的位置,并證明.解:證明:當(dāng)E,F分別為PC,AD的中點時,此時平面EMFN∥平面PAB.證明如下:取PC的中點E,分別連接ME,NE,在△PCD中,因為M,E為PD,PC的中點,所以ME∥CD.又因為F,N分別為AD,BC的中點,所以NF∥AB.所以ME∥NF.所以點E,M,F,N四點共面.即過直線MN作一平面,與平面PAB平行,且分別交PC,AD于點E,F,此時E,F分別為PC和AD的中點.課時跟蹤檢測134567891011121314152A級——達(dá)標(biāo)評價1.如果平面α∥平面β,夾在α和β間的兩條線段相等,那么這兩條線段所在直線的位置關(guān)系是(

)A.平行 B.相交C.異面 D.平行、相交或異面解析:在正方體ABCD?A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1=BB1且AA1∥BB1,A1D=A1B且A1D∩A1B=A1,AD1=A1B且AD1與A1B是異面直線.√1567891011121314152342.若三條直線a,b,c滿足a∥b∥c,且a?α,b?β,c?β,則兩個平面α,β的位置關(guān)系是

(

)A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不能確定解析:由題意可知b,c在平面β內(nèi),但不相交,因為a∥b∥c,所以a所在的平面α與平面β有可能平行,也有可能相交.√1567891011121314153423.設(shè)α,β是兩個不重合的平面,下列選項中,是“α∥β”的充要條件的是

(

)A.α內(nèi)存在無數(shù)條直線與β平行B.存在直線l與α,β的夾角相等C.存在平面γ,滿足γ∥α且γ∥βD.α內(nèi)存在不共線的三個點到β的距離相等√156789101112131415342解析:對于A,如果α∩β=l,在α內(nèi)與l平行的直線有無數(shù)條,但此時α不平行于β,A錯誤;對于B,如果α∩β=m,在空間必存在直線l與m平行,此時l也與兩個平面平行,即直線l與α,β的夾角都等于0°,故B錯誤;對于C,如果α∥β,則一定存在平面γ,滿足γ∥α且γ∥β;若γ∥α且γ∥β,則也一定有α∥β,則“α∥β”的充要條件是存在平面γ,滿足γ∥α且γ∥β,C正確;對于D,當(dāng)α∥β時,α內(nèi)必存在不共線的三個點到β的距離相等,但當(dāng)α∩β時,同樣可以在α內(nèi)找到不共線的三點到β的距離相等,D錯誤.故選C.1567891011121314153424.(多選)在正方體ABCD?A1B1C1D1中,下列直線或平面與平面ACD1平行的有

(

)A.直線A1B B.直線BB1C.平面A1DC1 D.平面A1BC1√√156789101112131415342解析:如圖,對于A,由于A1B∥D1C,且A1B?平面ACD1,可得直線A1B∥平面ACD1;對于B,由于B1B∥D1D,且D1D∩平面ACD1=D1,可得直線B1B與平面ACD1不平行;對于C,由于A1D與AD1相交,A1D?平面A1DC1,可得平面A1DC1與平面ACD1不平行;對于D,由于A1B∥D1C,C1B∥D1A,A1B?平面A1BC1,C1B?平面A1BC1,且A1B∩C1B=B,可得平面A1BC1∥平面ACD1.1567891011121314153425.(多選)如圖所示,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,點E,F,M,N分別為所在棱上的中點,下列判斷不正確的是

(

)A.直線AD∥平面MNEB.直線FC1∥平面MNEC.平面A1BC∥平面MNED.平面AB1D1∥平面MNE√√√156789101112131415342解析:過點M,N,E的截面如圖所示(H,I,J均為所在棱上的中點),所以直線AD與截面MNE交于點H,故A錯誤.直線FC1與直線IJ在平面BCC1B1必定相交,故B錯誤.直線A1B與直線EI相交,故平面A1BC與平面MNE不平行,故C錯誤.156789101112131415342因為E,I分別為AB,BB1的中點,所以AB1∥EI.因為AB1?平面MNE,EI?平面MNE,所以AB1∥平面MNE.同理可證B1D1∥平面MNE.因為AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1?平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面MNE,故D正確.故選ABC.1567891011121314153426.過正方體ABCD?A1B1C1D1的三個頂點A1,C1,B的平面與平面ABCD的交線為l,則l與A1C1的位置關(guān)系是

.解析:因為平面A1B1C1D1∥平面ABCD,且平面A1C1B∩平面A1B1C1D1=A1C1,平面A1C1B∩平面ABCD=l,所以l∥A1C1.平行1567891011121314153427.如圖,已知平面α∥平面β,△ABC,△A'B'C'分別在α,β內(nèi),線段AA',BB',CC'共點于O,O在α,β之間.若AB=2,AC=1,∠BAC=60°,OA∶OA'=3∶2,則△A'B'C'的面積為

.

156789101112131415342

1567891011121314153428.如圖所示的是正方體的平面展開圖.有下列四個命題:①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.其中,正確命題的序號是

.①②③④156789101112131415342解析:展開圖可以折成如圖(1)所示的正方體.在正方體中,連接AN,如圖(2)所示,因為AB∥MN,且AB=MN,所以四邊形ABMN是平行四邊形.所以BM∥AN.因為AN?平面DE,BM?平面DE,所以BM∥平面DE.同理可證CN∥平面AF,所以①②正確.如圖(3)所示,可以證明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,進(jìn)而得到平面BDM∥平面AFN,同理可證平面BDE∥平面NCF,所以③④正確.1567891011121314153429.(10分)如圖所示,四邊形ABCD所在的平面與平面α平行,且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形,求證:四邊形ABCD是平行四邊形.證明:因為平面ABCD∥平面α,平面ABCD∩平面AA1B1B=AB,平面AA1B1B∩平面α=A1B1,所以AB∥A1B1.同理,CD∥C1D1.因為四邊形A1B1C1D1是平行四邊形,所以A1B1∥C1D1.所以AB∥CD.同理可證BC∥AD,所以四邊形ABCD是平行四邊形.15678910111213141534210.(12分)如圖,在三棱柱BCF?ADE中,若G,H分別是線段AC,DF的中點.(1)求證:GH∥BF;解:證明:連接BD,∵四邊形ABCD為平行四邊形,由題意可得G是線段BD的中點,∴G,H分別是線段BD,DF的中點,故GH∥BF.156789101112131415342(2)在線段CD上是否存在一點P,使得平面GHP∥平面BCF,若存在,指出P的具體位置并證明;若不存在,請說明理由.解:存在,P是線段CD的中點,理由如下:由(1)可知GH∥BF,GH?平面GHP,BF?平面GHP,∴BF∥平面GHP.連接PG,PH,∵P,H分別是線段CD,DF的中點,156789101112131415342則HP∥CF,HP?平面GHP,CF?平面GHP,∴CF∥平面GHP,又BF∩CF=F,BF,CF?平面BCF,故平面GHP∥平面BCF.156789101112131415342B級——重點培優(yōu)11.(多選)在三棱柱ABC?A1B1C1中,E,F,G分別為線段AB,A1B1,AA1的中點,下列說法正確的是(

)A.平面AC1F∥平面B1CEB.直線FG∥平面B1CEC.直線CG與BF異面D.直線C1F∥平面CGE√√√156789101112131415342解析:對于A,在三棱柱ABC?A1B1C1中,E,F,G分別為線段AB,A1B1,AA1的中點,所以B1E∥AF,CE∥C1F,易得B1E∥平面AC1F,CE∥平面AC1F,又B1E?平面B1CE,CE?平面B1CE,B1E∩CE=E,所以平面AC1F∥平面B1CE,所以A正確;對于B,因為F,G分別是線段A1B1,AA1的中點,所以FG∥AB1,AB1∩B1E=B1,所以FG與B1E相交,所以直線FG與平面B1CE相交,所以B錯誤;對于C,因為CG∩平面ABB1A1=G,BF?平面ABB1A1,且點G?BF,所以CG與BF是異面直線,所以C正確;對于D,因為CE∥C1F,CE?平面CGE,C1F?平面CGE,所以直線C1F∥平面CGE,所以D正確.15678910111213141534212.如圖,在三棱臺A1B1C1?ABC中,點D在A1B1上,且AA1∥BD,點M是△A1B1C1內(nèi)的一個動點,且有平面BDM∥平面A1C1CA.則動點M的軌跡是

(

)A.平面B.直線C.線段,但只含1個端點D.圓√156789101112131415342解析:因為平面BDM∥平面A1C1CA,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C1CA∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,過D作DE∥A1C1交B1C1于E,則點M的軌跡是線段DE(不包括點D).故選C.15678910111213141534213.如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動,則M滿足

時,有MN∥平面B1BDD1.M∈FH156789101112131415342解析:連接FH,HN,NF(圖略).易證HN∥BD,FH∥D1D,又HN∩FH=H,BD∩D1D=D,HN?平面FHN,FH?平面FHN,BD?平面BDD1B1,DD1?平面BDD1B1,∴平面FHN∥平面BDD1B1.又點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動,FH?平面EFGH,∴當(dāng)M∈FH時,MN∥平面B1BDD1.15678910111213141534214.(13分)如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,試找出體對角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點E,F,并證明:A1E=EF=FC.解:如圖,連接A1C1交B1D1于點O1,連接AO1與A1C交于點E.又因為AO1?平面AB1D1,所以點E在平面AB1D1內(nèi),所以點E就是A1C與平面AB1D1的交點;同理,連接AC交BD于點O,連接C1O與A1C交于點F,則點F就是A1C與平面C1BD的交點.下面證明A1E=EF=FC.156789101112131415342因為在正方體ABCD?A1B1C1D1中,AD

B1C1,所以四邊形AB1C1D是平行四邊形,所以AB1∥C1D.又因為C1D?平面C1BD,AB1?平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.同理B1D1∥平面C1BD.又因為AB1∩B1D1=B1,AB1?平面AB1D1,B1D1?平面AB