2026《高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)微專題106講》含答案49.數(shù)列放縮的六大技巧49.解決數(shù)列放縮問題的六大技巧本篇主要目標(biāo)是聚焦于數(shù)列放縮，常見的方法有六種，具體我將在文中以實例詳細說明.類型1.利用單調(diào)性放縮例1．已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）證明：．解析：（1）∵，則，即，又∵，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列，∴，故的通項公式為.（2）由（1）知，即是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴，又∵數(shù)列單調(diào)遞增，∴，故.類型2.先求和再放縮先求和再放松實質(zhì)上是一類很常見的題目，這類放縮實質(zhì)在考察數(shù)列求和，放縮的結(jié)果也很松，下面通過兩個例子簡單說明即可，分別是利用裂項相消求和與錯位相減求和后放縮.例2.記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為的等差數(shù)列．（1）求得通項公式；（2）證明：．解析：（1），所以，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以．當(dāng)時，，所以，即（）；累積法可得：（），又滿足該式，所以得通項公式為．（2）．注：，則：.可以看到，裂項后一定可以得到一個估計.例3．已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為，證明：．解析：（1）由題意，，解得或，因為等比數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，所以.由（1）知數(shù)列的前n項和為：①，②，兩式相減可得：，所以，又因為，所以，所以.類型3.先放縮通項再求和（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）這一類是數(shù)列放縮問題的?？碱愋?，相較于類型2而言，這一部分對放縮對象的處理需要一定的技巧，因而對很多學(xué)生來說具有挑戰(zhàn)性，是數(shù)列放縮中的難點.此節(jié)中，我將分為如下幾個點展開：第一，將通項放縮為可裂項的結(jié)構(gòu)，然后裂項求和；第二，將通項放縮為等比結(jié)構(gòu)（等差比結(jié)構(gòu)）然后錯位相減求和，總之，處理的基本原則就是將不可求和放縮成可求和再求和放縮.當(dāng)然，下面的這些常見的裂項公式與放縮公式需要注意.1．常見的裂項公式：（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）例如：或者等2.一個重要的指數(shù)恒等式：次方差公式這樣的話，可得：，就放縮出一個等比數(shù)列.3.糖水不等式：設(shè)，則.下面來看上面這些基本的放縮結(jié)構(gòu)的應(yīng)用.例4.（2013年廣東）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知,,.（1）求的值；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）證明:對一切正整數(shù),有.解析：（2）當(dāng)時,,兩式相減得整理得,即,又故數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列,所以,所以.（公眾號：凌晨講數(shù)學(xué)）（3）當(dāng)時,；當(dāng)時,；當(dāng)時,,此時，綜上,對一切正整數(shù),有下面我們再看將通項放縮成等比（等差比數(shù)列）再求和完成放縮證明.例5.（2014全國2卷）已知數(shù)列滿足=1，.（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）證明：.解析：（1）證明：由得，又，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列，，因此的通項公式為（2）由（1）知，因為當(dāng)時，，所以于是.所以.注：此處便是利用了重要的恒等式：次方差公式：當(dāng)然，利用糖水不等式亦可放縮：，請讀者自行嘗試.類型4.基于遞推結(jié)構(gòu)的放縮1.型：取倒數(shù)加配方法.例6．（2021浙江卷）已知數(shù)列滿足.記數(shù)列的前n項和為，則（

）A． B． C． D．解析：由，即根據(jù)累加法可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，.一方面：.另一方面，由累乘法可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，由裂項求和法得：所以，即．故選：A．2.二次遞推型：.，然后裂項即可完成放縮，我們以2015浙江卷為例予以說明.例7.（2015浙江卷）已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的項和為,證明（）.分析：，累加，則可證得.解析：（1）由題意得，即，故.由得，由得，即.（2）由題意得,所以 ①,由和得所以，因此②由①②得：.類型5.數(shù)列中的恒成立例8．已知數(shù)列中，，滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項和，若不等式對任意正整數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解析：(1)，所以是以為首項，公比為的等比數(shù)列，所以，所以.(2)，若對于恒成立，即，可得即對于任意正整數(shù)恒成立，所以，令，則，所以，可得，所以，所以的取值范圍為.類型6.利用導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生數(shù)列放縮1.由不等式可得：.例9.（2017全國3卷）已知函數(shù)．（1）若，求的值；（2）設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)，，求的最小值．解析：（2）由（1）知當(dāng)時，，令得，從而.故,而，所以的最小值為3．三．習(xí)題演練1．設(shè)正項數(shù)列的前項和為，且成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.【詳解】（1）由題意得，所以數(shù)列是以4為首項，4為公差的等差數(shù)列，所以．又，所以，所以．當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，所以的通項公式為．（2）由（1）知，所以，所以．，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，．所以．2．已知數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為2，且滿足（1）求和的通項公式（2）記集合，若集合的元素個數(shù)為2，求實數(shù)的取值范圍．（3）設(shè)，證明：．【詳解】（1）由可得：時，，相減可得，故，當(dāng)時，也符合上式，故，由可得，所以數(shù)列為公差為0的等差數(shù)列，且首項為2，所以，則.（2）由和可得，記，則，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，而，由于集合M的元素個數(shù)為2，所以，故.（3）由得，，由于，因此.3．已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.數(shù)列滿足：（）.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：是等比數(shù)列；（3）證明：.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，則，所以，又.（2）所以，所以，且，所以數(shù)列是首項為8，公比為的等比數(shù)列；（3）由題意知，，所以，所以，設(shè)，則，兩式相減得，所以，所以.50.處理奇偶項數(shù)列的四大類型類型1.相鄰項和（積）為等差（等比）數(shù)列類型2.鄰項等差（等比）類型3.擺動數(shù)列類型4.含三角式的數(shù)列★類型1.相鄰項和（積）為等差（等比）數(shù)列1.在等差數(shù)列中，有一類比較特殊的遞推類型，即，它可以得到兩個子數(shù)列分別是公差為的等差數(shù)列.若,則當(dāng)時,,兩式相減得,即數(shù)列與數(shù)列均是公差為的等差數(shù)列.2.在等比數(shù)列中，有一類比較特殊的遞推類型，即，它可以得到兩個子數(shù)列分別是公差為的等比數(shù)列.若,則,兩式相除得,即數(shù)列與數(shù)列均是公比為的等比數(shù)列.3.通項公式：（1）若，則（2），則4.前n項和方法1.由3解得通項后并項求和（具體見案例）方法2.對于隔項等差的前n項和，可直接由相鄰兩項的關(guān)系解得，即由若為偶數(shù)：若為奇數(shù)：例1已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式.解析:由題意可得，，兩式相減可得.所以,數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,且.當(dāng)為奇數(shù)時,;當(dāng)為偶數(shù)時,.因此,.例2．已知數(shù)列的前n項和為，且，，則使得成立的n的最小值為（

）A．32 B．33 C．44 D．45解析：①，當(dāng)時，②，兩式相減得，當(dāng)為奇數(shù)時，為等差數(shù)列，首項為4，公差為4，所以，中，令得，故.故當(dāng)為偶數(shù)時，為等差數(shù)列，首項為2，公差為4，所以，所以當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，令，解得，當(dāng)為偶數(shù)時，令，解得，所以成立的n的最小值為.故選：D例3．若數(shù)列的前項和為，且滿足，，則（

）A．61 B．253 C．1021 D．4092解析：由題意，，在數(shù)列中，前項和為，，，∴，即，∴數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，∴即，∴，故選：B.注：當(dāng)遞推關(guān)系時,求其通項公式可以利用分解變量構(gòu)造等比數(shù)列,將已知的遞推關(guān)系分離變量,得到(為常數(shù)),再利用等比數(shù)列的通項公式求解.★類型2.奇偶分段數(shù)列類型1.，由于數(shù)列通項均已知，求和時只需分奇偶求和即可.類型2.，由于數(shù)列通項在奇數(shù)時為遞推關(guān)系，所以需要先利用遞推關(guān)系求得奇數(shù)時每項的特征，在求和時往往需將奇數(shù)項的計算轉(zhuǎn)化為已知通項的偶數(shù)項進行.類型3.這一類問題需要先求出各段的通項，再分段求和，由于涉及奇偶討論，所以去構(gòu)造隔項之間的遞推關(guān)系從而求得具體通項形式.例4．設(shè)數(shù)列滿足：是的等比中項.（1）求的值；（2）求數(shù)列的前20項的和.解析：（1）由已知，，又是的比例中項，所以，即，顯然且，故解得；（2）是奇數(shù)時，，，，而，所以數(shù)列是等比數(shù)列，．例5．已知等差數(shù)列中，，，數(shù)列的前n項和為，且，．（1）求數(shù)列，的通項公式．（2），為的前n項和，若恒成立，求λ的最大值．解析：（1）因為為等差數(shù)列，所以，得．由，得．所以數(shù)列的公差，所以．對于，①，當(dāng)時，②，①-②得，，即，由題意可得，所以，所以對任意成立，所以是首項為1、公比為2的等比數(shù)列，所以，．（2）由（1）得．恒成立，等價于恒成立，化簡得恒成立，即．設(shè)數(shù)列的通項公式為，令，得，所以，又，，所以，，所以，所以λ的最大值為10．例6．已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式;（2）若，求數(shù)列的前項和．解析：（1）由，得，所以數(shù)列為等差數(shù)列．所以，得．所以公差．所以．（2）當(dāng)為奇數(shù)時，．當(dāng)為偶數(shù)時．所以例7．設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知．（1）求的通項公式；（2）設(shè)且，求數(shù)列的前n項和為．解析：（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則.（2）由題設(shè)知：，，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上，，.★類型3.含有型擺動數(shù)列例8．已知數(shù)列滿足：.則的前60項的和為（

）A．1240 B．1830 C．2520 D．2760解析：由，故，，，，….故，，，….從第一項開始，依次取2個相鄰奇數(shù)項的和都等于3；，，，….從第二項開始，依次取2個相鄰偶數(shù)項的和構(gòu)成以13為首項，以24為公差的等差數(shù)列.故.故選：D.例9．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解析：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，①，，當(dāng)時，有，當(dāng)時，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．例10.（2014年湖南文科）已知數(shù)列的前項和.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.解析：（1）當(dāng)時，；當(dāng)時，，故數(shù)列的通向公式為：.（2）由（1）知，，記數(shù)列的前項和為，則,進一步，若記，，分別求和可得：，，故數(shù)列的前項和為.注：此處是一個分段形式：，分組求和是處理分段形式的數(shù)列求和的一把利器！★類型4.含三角的通項例11.設(shè)數(shù)列滿足,,則數(shù)列的前20項的和_________.解析：由遞推關(guān)系可知,若是正奇數(shù),則是以為首項,2為公差的等差數(shù)列;若是正偶數(shù),則,是以為首項,2為公比的等比數(shù)列.所以,,,可得.三．習(xí)題演練1．已知數(shù)列滿足是數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．解析：由題設(shè)，且，所以，即，當(dāng)且時，是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，則；當(dāng)且時，是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，則；.故選：B2．已知是數(shù)列的前項和，，，則（

）A． B． C． D．解析：由可得，當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，.故當(dāng)為奇數(shù)時，，，則，當(dāng)為偶數(shù)時，，，則.故對任意的，.所以，數(shù)列中的奇數(shù)項成以為公比的等比數(shù)列，偶數(shù)項也成以公比的等比數(shù)列，因為，則，所以，.故選：D.3．在數(shù)列中，已知且，則其前項和的值為（

）A． B． C． D．解析：.故選：C4.（2021年新高考1卷）已知數(shù)列滿足，（1）記，寫出，，并求數(shù)列的通項公式；（2）求的前20項和.解析：（1）由題設(shè)可得