平面向量基本定理的教學設計一、內容和內容解析內容平面向量基本定理.2.內容解析本節(jié)內容是繼平面向量的概念、運算之后的又一重點內容，它是共線向量定理的推廣，是平面向量正交分解的基礎，是將向量運算轉化為代數(shù)(坐標)運算的基礎，具有承前啟后的作用。平面向量基本定理揭示了平面向量之間的基本關系，是利用向量解決問題的基本手段，有著廣泛的應用.由平面向量基本定理，可以進一步實現(xiàn)向量的坐標表示，即實現(xiàn)向量的代數(shù)表示，從而實現(xiàn)向量運算完全代數(shù)化，進而體現(xiàn)向量的工具作用.平面向量基本定理中蘊含著豐富的數(shù)學思想，如轉化思想、數(shù)形結合思想等.本節(jié)課的學習過程，能很好地體現(xiàn)數(shù)學地思考問題的方法：以簡馭繁，實現(xiàn)將無限多個平面向量有序表達的目的，有助于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算等數(shù)學學科核心素養(yǎng).基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點：平面向量基本定理，定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程。二、目標和目標解析1.目標(1)理解平面向量基本定理及其意義；(2)會運用平面向量基本定理解決簡單平面幾何問題.2.目標解析達成上述目標的標志是：(1)經(jīng)歷平面向量基本定理的探索過程，體會由力的分解到向量的分解的過程，感悟數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學思想的作用；通過證明平面向量基本定理理解定理，體會定理的重要性及其意義，增強對數(shù)學思維方法的理解.(2)通過選擇基底表示平面內的一些向量，解決一些平面幾何問題，體會向量法在解決平面幾何問題中的作用和基本步驟.三、教學問題診斷分析雖然本節(jié)課之前學生已經(jīng)學習了平面向量的概念、平面向量的線性運算、數(shù)量積，但學生對向量之間關系的認識還只是停留在“一維”層面，包括“相等向量”“相反向量”“共線向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二維”層面的平面向量之間的關系，要實現(xiàn)這種認識層級的躍遷，對學生有一定難度.另外，如果說由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么,由向量的分解想到任意一個向量都可以用一對不共線的向量，經(jīng)過線性運算加以表示是第二次抽象，也是認識上的一種飛躍，這都會給學生造成認知上的困難.再有，平面向量基本定理中的“不共線”“任一”“有且只有”等數(shù)學專用語對一些學生會構成理解障礙.由此可以確定本節(jié)課的教學難點是平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程及對定理的證明.平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)過程的教學，對學生數(shù)學抽象、邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)至關重要.為克服以上教學難點，教學中不要簡單地告訴定理，再加以證明.而應注意引導學生積極參與定理形成的探索過程，通過多舉實例，如從力的分解等學生熟悉的背景，帶領學生去歸納、發(fā)現(xiàn)定理；利用信息技術工具等具體形象的教學手段進行直觀闡釋、辨析，幫助學生理解定理.引導學生從事觀察、思考、歸納、類比、交流等數(shù)學活動，經(jīng)歷從具體到抽象，從特殊到一般的思維過程，并從中反思定理獲得過程中數(shù)學思考的方式與方法.四、教學過程設計(一)創(chuàng)設情境，明確問題引言：向量數(shù)乘運算刻畫了共線向量間的關系，也反映了數(shù)與形的結合，共線向量定理給我們研究向量共線帶來了極大的方便.那么,共線向量定理能不能推廣到平面上呢?也就是說，平面內任一向量是否可以由同一平面內的兩個不共線向量表示呢?在物理中，我們知道，已知兩個力可以求出它們的合力；反過來，一個力可以分解為兩個力，這種分解通常不是唯一的.事實上，這種力的分解，就反映具體的平面向量間的關系.本節(jié)課，我們就從力的分解的例子出發(fā)，研究和刻畫平面向量之間的關系.問題1:如圖1,我們可以通過作平行四邊形，將力F分解為多組大小、方向不同的分力.受力的分解的啟發(fā)，我們能否通過作平行四邊形，將向量a分解為兩個向量，使向量a是這兩個向量的和呢?師生活動：學生回憶、觀察，教師啟發(fā)學生以力的分解為設計意圖：從學生熟悉的物理背景引入向量的分解，激發(fā)學生學習的主動性.(二)動手操作，探究新知問題2:如圖2,設e?,e2是同一平面內兩個不共線的向量，a是這一平面內與e?,e2都不共線的向量.在平面內任取一點O,作OA=e?,OB=e?,OC=a.(1)將a按e?,e?的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)?(2)如果向量a是這一平面內與e?,e?中的某一個向量共線的非零向量，你能用e?,e?表示a嗎?a是零向量呢?師生活動：學生觀察、思考、操作、嘗試、探究，教師巡視、指導.請學生代表展示交流：(1)因為e?,e?不共線，若a與e?,e?都不共線，過點C分別作與OA,OB平行的直線，結合向量的加法與數(shù)乘運算可知，存在實數(shù)λ,λ2,使a=λ?e?+λ?e?.(2)若a與e?共線，存在λ1,λ2,且λ?=0,使a=λ?e?+λ?e?;若a與e?共線，存在λ1,λ2,且λ?=0,使a=λie?+λ?e?;特別地，若a=0,存在λ?=λ?=0,使0=λ?e?+λ?e?.綜上所述，當e?,e?不共線時，平面內任一向量a都能用向量λ?e?+λ?e?表示.教師要關注學生思維的縝密性，在學生充分交流的基礎上，完善學生的思維，明確給定兩個不共線的向量e?,e?,平面內的任一向量設計意圖：讓學生思考、操作、交流，探究平面上向量的關系.追問(1):給定兩個不共線的向量e?,e?,平面內的任一向量a都可以用形如λ?e?+λzez的師生活動：學生思考、交流.如果學生有困難，教師可引導：假設這種表示形式不唯一，即證明λ=μ1,λ?=μ2.在教師引導下，讓學生嘗試證明.最后師生歸納總結得出平面向量基本定理.追問(2):由物理中力的分解引出向量的分解，類比共線向量基本定理，得到了平面向量基本定理.請你思考一下，為什么把這個定理冠以“基本”二字?談談你的體會.師生活動：學生獨立思考，相互交流，教師引導：一般地，越是基本的東西，統(tǒng)領性越運用越廣泛，大家可以從定理中“任意性”和“唯一性”等角度思考定理的“基本”性特點.最后師生共同認識平面向量基本定理的本質：在平面內，一旦基底確定，則每個向量的分解都是唯一的.從表面上看，定理的本質就是向量的分解.換個角度來看，一個確定的基底能構造出平面內的所有向量以至于整個平面，這才是定理的本質.這樣，所有的向量都可以由同一個基底聯(lián)系在一起，使得問題的研究更加簡便.而前面所學向量的線性運算均蘊含其中，所以平面向量基本定理是向量走向代數(shù)化的基本出發(fā)點，這也是稱其為基本定理的原因所在.設計意圖：通過設置幾個逐步遞進的問題串，使研究的問題越來越明確，讓學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)平面向量基本定理、證明定理的全過程，并使學生從中感悟聯(lián)想、類比、抽象、概括等重要的數(shù)學學習方式，體會數(shù)學抽象、邏輯推理對數(shù)學知識產(chǎn)生發(fā)展的重要作用，揭示平面向量基本質及“基本”二字的含義.(三)鞏固新知例1如圖3,OA,OB不共線，且AP=tAB(t∈R),用OA,行反饋交流，教師給出規(guī)范的解答.指導學生將{OA,OB)看成基底，根據(jù)向量的有關運算將相關向量用基底表示，這是解決本題的關鍵環(huán)節(jié).追問：觀察OP=(1-t)OA+LOB,你有什么發(fā)現(xiàn)?圖3師生活動：教師引導學生結合圖形直觀，結合結論的代數(shù)特征，得到進一步的結論：實際上，這也是證明三點共線的一種方法，即如果OP=mOA+nOB,則P,A,B三點共線的充要條件為m十n=1.(不對全體學生要求會證明)設計意圖：本題是教科書中的例題，通過例題教學，鞏固平面向量基本定理.例2如圖4,CD是△ABC的中線，,用向量方法證明△ABC是直角三角形.師生活動：學生獨立思考，探尋解決問題的思路.對有困難的學生，教師可以將問題進行分解：(1)要證明△ABC是直角三角形，從圖4圖中觀察，易發(fā)現(xiàn)應證明AC⊥BC;(2)用向量表征，即證CA·CB=0;(3)依據(jù)平面向量基本定理可知，任一向量都可以由同一個基底表示，由于,因而本題中可取(CD,DA)為基底，用它表示CA,CB(如圖5所示).再證明CA·CB=0,從而證得△ABC是直角三角形.學生寫出證明過程，師生共同完善、規(guī)范書寫.設計意圖：通過本例題，引導學生借助向量表征相關的幾何元素，從而轉化成向量運算解決問題，初步讓學生體會用向量方法解決幾何問題的基本思路.(四)課堂練習教科書第27頁練習第1,2,3題.(五)回顧總結教師引導學生回顧本節(jié)課的學習內容，并回答下列問題：(1)回顧并敘述得出平面向量基本定理的研究思路和大致過程，并說說研究方法.反思在這個過程中自己的貢獻和收獲是什么,還有哪些困惑.(2)敘述并證明平面向量基本定理.(3)說說平面向量基本定理與共線向量基本定理有怎樣的關系.(4)說說平面向量基本定理的作用.師生活動：給學生充分的回顧、思考、整理、歸納、總結的時間.由學生代表交流表達自己的想法，展示自己的答案.教師要仔細傾聽學生的想法，關注學生對平面向量基本定理的研究過程的表述，關注學生的表達是否有條理，并適當概括和優(yōu)化學生的回答，達到突出重點的目的.設計意圖：以提綱的形式幫助學生梳理本節(jié)課最重要的基本知識——平面向量基本定理，感悟數(shù)形結合、數(shù)學抽象、邏輯推理等基本數(shù)學思想在研究問題中的作用，積累數(shù)學思考的經(jīng)驗，提高發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學問題的能力，同時也幫助學生養(yǎng)成反思總結的良好學習習慣.(六)布置作業(yè)教科書習題6.3第1,11題(第1題)五、目標檢設計(第1題)AD分別表示向量AP,BP.設計意圖：考查學生運用平面向