第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年甘肅省慶陽市華池一中高一（下）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.高一(1)班計劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數(shù)為(

)A.5 B.10 C.15 D.202.已知復數(shù)z=1+i(a+bi)，其中a，b∈R.若z為純虛數(shù)，則(

)A.a≠0，b=?l B.a=0，b=?1 C.a≠0，b=1 D.a=0，b=13.sin400°cos20°?cos40°cos110°=(

)A.12 B.?12 C.4.設x，y∈R，向量a=(x,1)，b=(1,y)，c=(2,?4)，且a⊥c，b/?/A.5 B.10 C.25.投壺是從先秦延續(xù)至清末的漢民族傳統(tǒng)禮儀和宴飲游戲，在春秋戰(zhàn)國時期較為盛行.如圖為一幅唐朝的投壺圖，假設甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，且甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壺1次，則這3人中至少有2人投中的概率為(

)A.12 B.38 C.236.設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，有下列四個命題：其中正確命題的序號是(

)

①若m?β，α⊥β則m⊥α；

②若m?β，α//β，則m//α；

③若m⊥α，m⊥β，n⊥α，則n⊥β；

④若m//α，m//β，n//α，則n//β．A.③④ B.①② C.②④ D.②③7.猜燈謎是中國元宵節(jié)特色活動之一.已知甲、乙、丙三人每人寫一個燈謎，分別放入三個完全相同的小球，三人約定每人隨機選一個球(不放回)，猜出自己所選球內的燈謎者獲勝.若他們每人必能猜對自己寫的燈謎，并有12的概率猜對其他人寫的燈謎，則甲獨自獲勝的概率為(

)A.124 B.118 C.1128.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為a，E是棱AB的中點，F(xiàn)是側面AA1D1D內一點，若EF//平面A.7

B.6

C.5

D.3二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.在△ABC中，已知AB=2，AC=3，AD是角A的平分線，則AD的長度可能為(

)A.2.1 B.2.2 C.2.3 D.2.410.已知事件A，B，且P(A)=0.5，P(B)=0.2，P(C)=0.15，則下列結論正確的是(

)A.如果B?A，那么P(A∪B)=0.5，P(AB)=0.2

B.如果A與B互斥，那么P(A∪B)=0.7，P(AB)=0

C.如果A與B相互獨立，那么P(A?B?)=0.9

D.如果A、11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，點M是側面BBA.若A，B，M，D1四點共面，則點M的運動軌跡長度為4

B.若AM⊥BD1，則點M的運動軌跡長度為42

C.若AM=25，則點M的運動軌跡長度為2π

D.若直線AM與D1C1所成的角為45°，則點M的運動軌跡長度為12.設i是虛數(shù)單位，在復平面內復數(shù)i1?i的共軛復數(shù)對應的點位于第______象限．13.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，點E為正方形ABB1A1的中心，點14.已知α∈(3π2,2π)，且cosα=35四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復數(shù)z1=3?m2+(m?3)i,z2=μ+sinθ+(cosθ?3)i，其中i是虛數(shù)單位，m，μ，θ∈R．

(1)16.(本小題15分)

記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cosB=13．

(1)求cos2B2+tan2A+C217.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=cosxcos(x?π6)+3sin2x?334．

(1)求f(x)的最小正周期T；

18.(本小題17分)

年級教師元旦晚會時，教師甲、乙、丙三人參加一項趣味問答活動.該活動共有兩個問題，如果參加者兩個問題都回答正確，則可得到一只“紅雙喜乒乓球拍”獎品.已知在第一個問題中甲回答正確的概率為23，甲和乙兩人都回答錯誤的概率為215，乙和丙兩人都回答正確的概率為310，在第二個問題中甲、乙和丙回答正確的概率依次為34，23，45，且所有的問答中回答正確與否相互之間沒有任何影響．

(1)在第一個問題中，分別求出乙和丙回答正確的概率；

19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐E?ABCD中，AB//CD，BC⊥AB，CD⊥CE，∠ADC=∠EDC=45°，AB=12CD，AD=2，BE=3．

(1)求證：平面BCE⊥平面ABCD；

(2)若M為AE上一點，且

答案解析1.【答案】B

【解析】解：從A，B，C，D，E五人中選兩人，

不同的選法有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(C,D)，(C,E)，(D,E)，

所以樣本空間中樣本點的個數(shù)為10．

故選：B．

根據(jù)題意結合列舉法運算求解．

本題主要考查了樣本空間和樣本點的定義，屬于基礎題．2.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查復數(shù)的運算、純虛數(shù)的定義，屬于基礎題．

先復數(shù)的乘法運算化簡，再由純虛數(shù)的定義，求得a、b的值，可得結論．【解答】

解：∵復數(shù)z=1+i(a+bi)=1?b+ai，其中a，b∈R，

若z為純虛數(shù)，則1?b=0，且a≠0，即b=1，且a≠0

故選：C．3.【答案】C

【解析】解：sin400°cos20°?cos40°cos110°=sin40°cos20°+cos40°sin20°=sin60°=32．

故選：C．

4.【答案】B

【解析】【分析】本題給出向量互相平行與垂直，求向量a+b的模．著重考查了向量平行、垂直的充要條件和向量模的公式等知識，屬于基礎題．

由向量平行與垂直的充要條件建立關于x、y的等式，解出x、y的值求出向量a、【解答】

解：∵a=(x,1),c=(2,?4)，且a⊥c，

∴x·2+1·?4=0，解得x=2．

又∵b=(1,y),c=(2,?4)，且b/?/c，

∴1·?4=y·2，解之得y=?2，5.【答案】A

【解析】解：甲、乙、丙是唐朝的三位投壺游戲參與者，

甲、乙、丙每次投壺時，投中與不投中是等可能的，甲、乙、丙各投壺1次，

記甲、乙、丙投中分別即為事件A1，A2，A3，

由題知P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A1?)=P(A2?)=P(A3?)=6.【答案】D

【解析】解：①不對，也可能m/?/α；

根據(jù)兩個平面平行的性質可得②正確；

若m⊥α，m⊥β，則α/?/β；再根據(jù)n⊥α，可得n⊥β，故③正確；

④不正確，由條件知，也可能n?β，

故選：D．

通過舉反例可得①④不正確，利用兩個平面平行的性質可得②正確，利用兩個平面平行的判定、平行平面的性質可得③正確，從而得出結論．

本題主要考查空間兩條直線的位置關系，直線和平面的位置關系，通過舉反例，來說明某個結論不正確，是一種簡單有效的方法，屬于基礎題．7.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，若甲獨自獲勝，分2種情況討論：

①甲抽到自己的燈謎，而乙、丙都沒有抽到自己的燈謎，

甲乙丙三人每人隨機選一個球，有A33=6種抽取方法，

若只有甲抽到自己的燈謎，有1種抽取方法，

故只有甲抽到自己的燈謎的概率為16，

則此時甲獨自獲勝的概率P1=16×(1?12)×(1?12)=124，

②甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎，

甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎，甲有2種可能，乙、丙只有1種可能，則有2×1=2種可能，

故甲乙丙都沒有抽到自己的燈謎的概率為26，8.【答案】B

【解析】解：如圖，過點F作HG/?/DD1，交AD于點G，交A1D1于點H，則HG⊥底面ABCD．

連接EG、AF，∵HG⊥平面ABCD，EG?平面ABCD，∴HG⊥EG，

所以，EF2=EG2+FG2=AE2+AG2+FG2=AE2+AF2．

∵HG//DD1，HG?平面BDD1B1，DD1?平面BDD1B1，∴HG//平面BDD1B1，

∵EF/?/平面BDD1B1，F(xiàn)G//平面BDD1B1，EF∩FG=F，∴平面EFG/?/平面BDD1B1，

又GE?平面EFG，∴GE/?/平面BDD1B1，

∵平面ABCD∩平面BDD1B1=BD，GE?平面ABCD，∴GE//BD．9.【答案】ABC

【解析】解：過C作CE/?/AB交AD延長線于E，

又AD是角A的平分線，得∠CAE=∠BAE=∠E，故AC=EC=3，

而△ADB∽△EDC，則ADED=ABEC=23，

令AD=2x，則AE=5x，

在△ACE中，cos∠ACE=AC2+EC2?AE22AC?EC=18?25x218∈(?1,1)，

可得0<x<65，則AD=2x∈(0,125)，故A、B、C滿足要求．

故選：ABC．10.【答案】ABD

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，如果B?A，那么P(A∪B)=P(A)=0.5，P(AB)=P(B)=0.2，故A正確；

對于B，如果A與B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.7，P(AB)=0，故B正確；

對于C，如果A與B相互獨立，那么P(A?B?)=P(A?)P(B?)=[1?P(A)][1?P(B)]=0.5×0.8=0.4，故C錯誤；

對于D，如果A、B與C兩兩互斥，那么P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8511.【答案】BD

【解析】解：因為AB/?/C1D1，所以A、B、C1、D1確定一個平面，

而不共線的三點A，B，D1在這個平面內，

所以A、B、M、D1確定的平面為平面ABC1D1，可知點M在BC1上，

因此，點M的軌跡為BC1,BC1=42，可知A選項錯誤；

連接AB1、B1C、AC，

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，BC⊥平面ABB1A1，

結合AB1?平面ABB1A1，可得BC⊥AB1，

因為AB1⊥A1B，BC∩A1B=B，所以AB1⊥平面A1BCD1，

結合BD1?平面A1BCD1，可得AB1⊥BD1，同理可證AC⊥BD1，

因為AB1∩AC=A，AB1、AC?平面AB1C，所以BD1⊥平面AB1C，

因此，當AM⊥BD1時，點M在B1C上，可知點M的軌跡為B1C,B1C=42，故B選項正確；

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB⊥平面BCC1B1，且BM?平面BCC1B1，

所以AB⊥BM，可得BM=AM2?AB212.【答案】三

【解析】解：由i1?i=i(1+i)(1?i)(1+i)=?12+12i，得z?=?1213.【答案】2

【解析】解：根據(jù)題意，取A1B1中點G，連接FG、EG、BG，

在正三棱柱ABC?A1B1C1中，點E為正方形ABB1A1的中心，

所以EG/?/BB1，且EG=12BB1，

結合BB1//CC1，且BB1=CC1，可得EG//CC1，EG=12CC1，

因為F為棱CC1的中點，

所以EG/?/CF，EG=CF，四邊形CFGE是平行四邊形，可得FG//CE，

所以∠BFG(或其補角)就是異面直線BF與CE的所成角，

根據(jù)正三棱柱ABC?A1B1C1所有棱長都相等，設其棱長為2，

則BF=22+12=514.【答案】5【解析】解：∵α∈(3π2,2π)，cosα=35，∴sinα=?1?cos2α=?45，

∴sin2(α2+π4)=12[1?cos15.【答案】解：(1)∵z1為純虛數(shù)，∴3?m2=0m?3≠0，∴m=?3．

(2)∵z1=z2，∴【解析】(1)由復數(shù)的概念列出關于m的關系式即可；

(2)由復數(shù)相等列出方程組求得μ=?cos2θ?sinθ+316.【答案】解：(1)因為cosB=13，

所以cos2B2+tan2A+C2

=1+cosB2+sin2A+C2cos2A+C2

=1+cosB2+1?cos(A+C)1+cos(A+C)

=1+cosB2+1+cosB1?cosB

=1+132+1+131?【解析】(1)由已知利用二倍角公式，誘導公式化簡所求即可得解；

(2)利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sinB的值，利用三角形的面積公式可求ac=6，進而利用余弦定理即可求解c的值．

本題考查了二倍角公式，誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式，三角形的面積公式以及余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．17.【答案】解：(1)f(x)=cosxcos(x?π6)+3sin2x?334，

=cosx(32cosx+12sinx)+31?cos2x2?334，

=32cos2x+12sinxcosx?32cos2x?34，

=32?1+cos2x2+14sin2x?32cosx?34，

=14sin2x?34cos2x，

=12【解析】(1)化簡f(x)=12sin(2x?π3)?最小正周期T=2π2=π；(2)當x∈[?π4,π4]時，5π18.【答案】乙回答正確的概率為35，丙回答正確的概率為12；

甲獲得獎品的概率為12，乙獲得獎品的概率為25，丙獲得獎品的概率為25，

三人最終一共獲得【解析】(1)根據(jù)題意，在第一個問題中，設乙回答正確的概率為x，丙回答正確的概率y，

則有(1?23)(1?x)=215且xy=310，

解可得：x=35，y=12；

(2)根據(jù)題意，設A=“甲獲得