第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年甘肅省天水市秦安一中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若z=1?i1+i，其中i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的虛部為(

)A.1 B.i C.?1 D.?i2.在2025年6月21日天水市公祭伏羲活動(dòng)期間，有人提出了這樣一個(gè)問題：伏羲八卦中每一卦由三個(gè)爻組成(“”為陽(yáng)爻，“”為陰爻).從八卦中隨機(jī)抽取一卦，那么抽到恰好含有兩個(gè)陽(yáng)爻的卦的概率是(

)

A.12 B.38 C.143.已知向量a=(1,0),b=(?1,?3)，若(ka+A.?10 B.?2 C.2 D.104.如圖，四邊形ABCD的斜二測(cè)畫法的直觀圖為等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′=4，C′D′=2，則下列說法正確的是(

)A.AB=2

B.A′D′=22

C.四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4+22+235.擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記事件A=“第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件B=“第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，則(

)A.A與B互為對(duì)立事件 B.A與B互斥

C.P(A)=P(B) D.A=B6.在△ABC中，A=60°，b=1，其面積為3，則a+b+csinA+sinB+sinC等于(

)A.33 B.2393 7.一個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為5，上、下底面的半徑分別為2，5，則圓臺(tái)的體積為(

)A.64π B.56π C.48π D.52π8.已知0<α<π，cosα2=5A.210 B.25 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知a，b為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，下列四個(gè)命題中正確的是(

)A.若a⊥α，b⊥α，則a//b B.若a//α，b//α，則a//b

C.若a⊥α，a⊥β，則α//β D.若b//α，b//β，則α//β10.甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為12和13，甲、乙兩人各射擊一次，下列說法正確的是(

)A.目標(biāo)恰好被命中一次的概率為12+13 B.目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為12×1311.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，N為底面ABCD的中心，P為線段A1D1上的動(dòng)點(diǎn)(不A.CM與PN是異面直線

B.存在P點(diǎn)使得PN//平面CC1D1D

C.平面PAN⊥平面BDD1B1

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某種開關(guān)在電路中閉合的概率為p，現(xiàn)將3只這種開關(guān)并聯(lián)在某電路中，若該電路為不通電的概率為827，則p=______．13.已知單位向量a,b滿足a?b=0，若向量c=14.一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長(zhǎng)為a，則此球的表面積等于______．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，E為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：EF//平面PAB；

(2)求異面直線EF與PC所成角的余弦值．16.(本小題12分)

同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)如圖所示的兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為x，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為y．

(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)；

(2)“x+y=5”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？“x<3且y>1”呢？

(3)“xy=4”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？“x=y”呢？17.(本小題12分)

一副三角板如圖所示的方式拼接，將△BCD折起，使得二面角A?BC?D為直二面角，BC=23．

(1)求證：CD⊥平面ABC；

(2)求點(diǎn)B到平面ACD的距離．18.(本小題12分)

已知f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12．

(1)求φ的值；

(2)設(shè)g(x)=f(x)+f(x?19.(本小題12分)

如圖，在三棱錐A?BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O為BD的中點(diǎn)．

(1)證明：OA⊥CD；

(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E?BC?D的大小為45°，求三棱錐A?BCD的體積．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：z=1?i1+i=(1?i)2(1+i)(1?i)=?i，

因此可得復(fù)數(shù)z的虛部為?1．

故選：2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，從八卦中隨機(jī)抽取一卦，有8種情況，

其中抽到恰好含有兩個(gè)陽(yáng)爻的情況有3種，

所以要求概率P=38．

故選：B．

根據(jù)古典概率的公式計(jì)算即可．3.【答案】D

【解析】解：向量a=(1,0),b=(?1,?3)，

則ka+b=(k?1,?3)，

因?yàn)?ka+b)⊥b，所以4.【答案】D

【解析】解：如圖過D′作DE⊥O′B′，

由等腰梯形A′B′C′D′可得：△A′D′E是等腰直角三角形，

即A′D′=2A′E=12×(4?2)×2=2，即B錯(cuò)誤；

還原平面圖為下圖，

即AB=4=2CD,AD=22，即A錯(cuò)誤；

過C作CF⊥AB，由勾股定理得CB=23，

故四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：4+2+22+23=6+25.【答案】C

【解析】解：記事件A=“第一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，事件B=“第二枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，

因?yàn)槭录嗀，B可以同時(shí)發(fā)生，所以A與B不是互斥事件，不是對(duì)立事件．

因?yàn)槭录嗀，B包含的基本事件不一樣，所以事件A，B不相等．

因?yàn)镻(A)=36=12，P(B)=36=12，所以P(A)=P(B)．

故選：C．

根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可判斷A、B，根據(jù)獨(dú)立事件的概率可判斷6.【答案】B

【解析】解：在△ABC中，A=60°，b=1，其面積為3，

則12bcsinA=3，

即c=4，

由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA可得：a2=13，

即a=7.【答案】D

【解析】解：由題意圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為5，上、下底面的半徑分別為2，5，

可得圓臺(tái)的高為?=52?(5?2)2=4，

∴圓臺(tái)的體積V=138.【答案】D

【解析】解：因?yàn)?<α<π，cosα2=55，

所以0<α2<π2，所以sinα2=1?cos2(α2)=25>22=sinπ9.【答案】AC

【解析】解：若a⊥α，b⊥α，則a/?/b，故A正確；

若a/?/α，b/?/α，則a與b可能平行，也可能相交或異面，故B錯(cuò)誤；

若a⊥α，a⊥β，由線面垂直的位置關(guān)系得α/?/β，故C正確；

若b/?/α，b/?/β，則α，β可能平行，也可能相交，故D錯(cuò)誤，

故選：AC．

根據(jù)線線，線面，面面的位置關(guān)系逐選項(xiàng)判斷即可

本題考查空間中各要素的位置關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10.【答案】BD

【解析】解：甲、乙兩人練習(xí)射擊，命中目標(biāo)的概率分別為12和13，甲、乙兩人各射擊一次，

在A中，目標(biāo)恰好被命中一次的概率為P=12×(1?13)+(1?12)×13，故A錯(cuò)誤；

在B中，由相互獨(dú)立事件概率乘法公式得：

目標(biāo)恰好被命中兩次的概率為12×13，故B正確；

在C中，目標(biāo)被命中的概率為P=1?(1?12)(1?13)，故11.【答案】BCD

【解析】解：對(duì)于A，因?yàn)镃，N，A共線，又CN，PM交于點(diǎn)A，即P，M，N，C共面，因此CM與PN共面，故選項(xiàng)A不正確；

對(duì)于B，當(dāng)P為A1D1的中點(diǎn)時(shí)，PN/?/平面CC1D1D，故選項(xiàng)B正確；

對(duì)于C，∵AN⊥BD，AN⊥BB1，BD?BB1=B，BD，BB1?平面BDD1B1，

∴AN⊥平面BDD1B1，AN?平面PAN，

∴平面PAN⊥平面BDD1B1，故選項(xiàng)C正確；

對(duì)于D，過P，A，C三點(diǎn)的正方體的截面與C1D1相交于點(diǎn)Q，則AC/?/PQ，且PQ<AC，因此一定是等腰梯形，故選項(xiàng)D正確．

故選：BCD．

利用平面公理得到P，12.【答案】13【解析】解：根據(jù)題意，若該電路不通電，則三只開關(guān)均未閉合，

則有(1?p)3=827，解得：p=13．

13.【答案】7【解析】解：由題意，|a|=|b|=1，a?b=0，

由向量c=7a+2b，

可得a?14.【答案】πa【解析】解：設(shè)題中正四面體為ABCD，將它放置于正方體內(nèi)，使AC、BD位于上、下底面的異面的面對(duì)角線處，

如圖所示．可得該正方體的內(nèi)切球恰好與正四面體的六條棱都相切，

設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為x，

∵正四面體的棱長(zhǎng)為a，∴2x=a，解得x=22a，

可得正方體的內(nèi)接球直徑2r=22a，得r=24a，

因此正方體的內(nèi)接球表面積S=4πr215.【答案】證明見解析；

155【解析】(1)證明：如圖，

取PA中點(diǎn)G，連接EG、BG，

因E為PD中點(diǎn)，G為PA中點(diǎn)，故EG為△PAD中位線，得EG/?/AD且EG=12AD，

又底面ABCD是正方形，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，故BF/?/AD且BF=12AD，

所以EG/?/BF且EG=BF，所以四邊形EGBF為平行四邊形，故EF//BG，

又BG?平面PAB，EF?平面PAB，故EF/?/平面PAB；

(2)如圖，

取CD的中點(diǎn)Q，連接EQ，EQ為△PDC的中位線，所以EQ//PC，EQ=12PC，

故∠QEF(或其補(bǔ)角)為異面直線EF與PC所成角，

在正方形ABCD中，AB=AD=2，PA=2且PA⊥底面ABCD，故△PAC、△PAB為直角三角形，

PC為Rt△PAC的斜邊，AC=AB2+AD2=22，

故PC=PA2+AC2=23，所以EQ=3，

G為PA中點(diǎn)，得PG=AG=1,BG=AB2+AG2=22+12=516.【答案】答案見解析；

答案見解析；

答案見解析．

【解析】(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．

(2)“x+y=5”包含的樣本點(diǎn)有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；“x<3且y>1”包含的樣本點(diǎn)有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．

(3)“xy=4”包含的樣本點(diǎn)有(1,4)，(2,2)，(4,1)；“x=y”包含的樣本點(diǎn)有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．

用列舉法求解(1)(2)(3)．

本題考查樣本空間、樣本點(diǎn)的求法，考查樣本空間、樣本點(diǎn)的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．17.【答案】證明見解析；

6．【解析】(1)證明：由題意可得平面ABC⊥平面BCD，

平面ABC∩平面BCD=BC，又∵在△BCD中，∠BCD=90°，∴BC⊥CD，

又CD?平面BCD，∴CD⊥平面ABC．

(2)解：如圖，記點(diǎn)B到平面ACD的距離為?，取BC的中點(diǎn)為P，連接AP，

∵AB=AC，∴AP⊥BC.同(1)可得AP⊥平面BCD，

由(1)CD⊥平面ABC，AC?平面ABC得，CD⊥AC，即△ACD為直角三角形．

又∵△ABC和△BCD是直角三角形，∠BAC=∠BCD=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∠CBD=30°,BC=23，則AB=AC=6，CD=33BC=2,BD=2CD=4，AP=12BC=3．

∴S△BCD=12BC?CD=12×23×2=23,S△ACD=12AC?CD=12×618.【答案】π3；

值域：[?3,3【解析】f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)，且f(0)=12，

(1)由已知得f(0)=cosφ=12，結(jié)合0≤φ<π，

所以φ=π3；

(2)由(1)知：f(x)=cos(2x+π3)，所以f(x?π6)=cos2x，

所以g(x)=

f(x)+f(x?π6)=cos2xcosπ3?sin2xsinπ3+cos2x

=32cos2x?32sin2x=3[cos2xcosπ6?sin2xsinπ6]

=3cos(2x+π6)，19.【答案】解：(1)證明：因?yàn)锳B=AD，O為BD的中點(diǎn)，所以AO⊥BD，

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO?平面ABD，

所以AO⊥平面BCD，又CD?平面BCD，

所以AO⊥CD；

(2)方法一：

取OD的中點(diǎn)F，因?yàn)椤鱋CD為正三角形，所以CF⊥OD，

過O作OM/?/CF與BC交于點(diǎn)M，則OM⊥OD，

所以O(shè)M，OD，OA兩兩垂直，

以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)M，OD，OA所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則B(0,?1,0)，C(32,12,0)，D(0,1,0)，

設(shè)A(0,0,t)(t>0)，則E(0,13,2t3)，

因?yàn)镺A⊥平面BCD，故平面BCD的一個(gè)法向量為OA=(0,0,t)，

設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z)，

又BC=(32,32,0),BE=(0,43,2t3)，

所以由n?BC=0n?BE=0，得32x+32y=043y+2t3z=0，

令x=3，則y=?1，z=2t，故n=(3,?1,2t)，

因?yàn)槎娼荅?BC?D的大小為45°，

所以|cos<n,OA>|=|n?OA||n||OA|=2t4+4t2=22，

解得t=1，所以O(shè)A=1，

又S△OCD=12×1×1×32=34，所以S△BCD=32，

故VA?