第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年黑龍江省牡丹江第二高級(jí)中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z1?i=?2+i，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為7，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為(

)A.8 B.7 C.5 D.33.已知向量a=(1,?1)，b=(2,m)，若a⊥(a+b)，則向量A.(?255,?4554.已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，對(duì)于下列四個(gè)命題：①n//m，n?α?m//α；②若m，n為異面直線，n?α，n//β，m?β，m//α?α//β；③α//β，m?α，n?β?m//n；④m//α，n?α?m//n.其中正確命題的個(gè)數(shù)有(

)A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)5.下列說法正確的是(

)A.數(shù)據(jù)1，8，3，5，6的第60百分位數(shù)是5

B.若一組樣本數(shù)據(jù)4，6，7，8，9，a的平均數(shù)為7，則a=7

C.用分層隨機(jī)抽樣時(shí)，個(gè)體數(shù)最多的層里的個(gè)體被抽到的概率最大

D.若x1，x2，?，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為4，則?2x1+3，?2x26.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP=mAC+12A.62

B.233

7.在△ABC中，點(diǎn)M，N在邊BC上，AM為邊BC上中線，AN為∠A平分線，若∠A=π3，AM=212，△ABC的面積等于A.25 B.235 C.8.如圖所示，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為3，D是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，EA.當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，A，A1，E，D四點(diǎn)共面

B.當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，直線AC1與DE所成角為60°

C.三棱錐D?A1B1C1的體積為定值1

D.9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，c=4且ccosC=2a?bcosBA.C=2π3 B.△ABC的外接圓半徑為433

C.若a=2b，則△ABC的面積為8310.設(shè)A，B易兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)=12,P(B)=1A.若A，B是互斥事件，則P(AB)=16

B.若B?A，則P(A∪B)=56

C.若A，B是相互獨(dú)立事件，則P(A∪B)=23

D.若11.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1(?sinα,?cosα)，P2(sinβ,cosβ)，P3(A.|OP1|=|OP2|=|OP3|=1 B.|三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z=1+ai(a∈R)，且z(2+3i)為純虛數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，則a=______13.將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，則事件“|a?b|≤1”的概率為______．14.在三棱錐P?ABC中，AB⊥BC，點(diǎn)P在底面的投影O為△ABC的外心，若AB=4，BC=3，PO=5，則三棱錐P?ABC的外接球的表面積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC..

(1)求A；

(2)16.(本小題15分)

今年是國家安全法頒布十周年，4月15日迎來了第十個(gè)全民國家安全教育日.某大學(xué)團(tuán)委組織開展了2025年全民國家安全教育知識(shí)競答活動(dòng)，旨在踐行總體國家安全觀，增強(qiáng)全民國家安全意識(shí)和素養(yǎng).該活動(dòng)共有200名學(xué)生參加，現(xiàn)將所有答案卷面成績統(tǒng)計(jì)分成五段，分別為[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]并作出如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中x的值；

(2)根據(jù)頻率分布直方圖，求這200名學(xué)生成績的中位數(shù)和平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(3)已知學(xué)生成績落在[70,80)的平均數(shù)是77，方差是5；落在[80,90)的平均數(shù)是84，方差是5.求這兩組數(shù)據(jù)的總方差．

附：設(shè)兩組數(shù)據(jù)的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：m,x1?,s117.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD，CD=2，AD=3．

(1)求證：PA⊥平面PCD；

(2)求直線AD與平面PAC所成角的余弦值．18.(本小題17分)

已知△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，3bsinC?ccosB=c．

(1)BD是邊AC上的中線，BD=2，且a2+c2=10，求AC的長度．

(2)若△ABC19.(本小題17分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M是PD的中點(diǎn)．

(1)求證：PB//平面MAC；

(2)求二面角M?AC?D的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在點(diǎn)Q使平面BDQ⊥平面MAC成立？如果存在，求出PQQC的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

答案解析1.【答案】C

【解析】解：復(fù)數(shù)z滿足z1?i=?2+i，

則z=(1?i)(?2+i)=?1+3i，

故z?=?1?3i，

故復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(?1,?3)位于第三象限．

故選：C．2.【答案】D

【解析】解：設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，

則另一底面半徑為3r．

由S=π(r+3r)?7=84π，解得r=3．

故選：D．

設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，由圓臺(tái)的側(cè)面積公式可計(jì)算出結(jié)果．3.【答案】C

【解析】解：因?yàn)閍⊥(a+b)，所以a?(a+b)=(1,?1)?(3,m?1)=3?m+1=0，

解得m=4，即b=(2,4)，

所以向量b在a上的投影向量為a?b|a4.【答案】B

【解析】解：對(duì)于①，由題意m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，n/?/m，n?α，可得m/?/α或m?α，故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②，因?yàn)閚?α，n/?/β，記n?γ，γ∩β=l，

則l/?/n，因?yàn)閚?α，l?α，

所以l/?/α，假設(shè)m，l不相交，則m/?/l，

則m/?/n，這與m，n為異面直線，故m，l相交，

又m?β，m/?/α，

所以α/?/β，故②正確；

對(duì)于③，由題意α/?/β，m?α，n?β，可得m/?/n或m，n異面，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由題意m/?/α，n?α，可得m/?/n或m，n異面，故④錯(cuò)誤．

所以正確命題的個(gè)數(shù)有1個(gè)．

故選：B．

根據(jù)線、面位置關(guān)系結(jié)合線、面平行的判定定理分析判斷即可．

本題考查了線、面位置關(guān)系以及線、面平行的判定，屬于中檔題．5.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A，數(shù)據(jù)1，8，3，5，6從小到大為1，3，5，6，8，

5×0.6=3，

∴數(shù)據(jù)1，8，3，5，6的第60百分位數(shù)是12(5+6)=5.5，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，一組樣本數(shù)據(jù)4，6，7，8，9，a的平均數(shù)為7，

∴16(4+6+7+8+9+a)=7，

解得a=8，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，用分層隨機(jī)抽樣時(shí)，個(gè)體數(shù)最多的層里的個(gè)體被抽到的概率與其它層里的個(gè)體被抽到的概率相等，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若x1，x2，?，x10的標(biāo)準(zhǔn)差為4，

則?2x1+3，?2x2+3，?2x3+3，…，?2x10+3的標(biāo)準(zhǔn)差是6.【答案】A

【解析】解：∵△ABC的面積為3，

∴12|AB||AC|sin∠BAC=12|AB||AC|sinπ3=34|AB||AC|=3，

∴|AB||AC|=4，

∴AB?AC=|AB||AC|cos∠BAC=4cosπ3=2，

∵AD=27.【答案】D

【解析】解：∵AM為邊BC上的中線，∴2AM=AB+AC，

若∠A=π3，

即4|AM|2=|AB|2+|AC|2+2AB?AC，即4×214=c2+b2+2cb×12，

即c2+b2+bc=(b+c)2?bc=21，∴(b+c)2=21+bc．

因?yàn)镾△ABC=8.【答案】B

【解析】解：作出圖形如下：

對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)題意易得四邊形CDEC1為平行四邊形，所以CC1//DE，

因?yàn)镃C1/?/AA1，所以AA1//DE，所以A，A1，E，D四點(diǎn)共面，所以A選項(xiàng)正確；

對(duì)B選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知當(dāng)D為BC中點(diǎn)時(shí)，CC1//DE，所以∠AC1C為直線AC1與DE所成角，

在△ACC1中，∠ACC1=90°,AC=2,CC1=3，所以tan∠AC1C=ACCC1=23≠3，

所以∠AC1C≠60°，所以直線AC1與DE所成角不為60°，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)锽C/?/B1C1，BC?平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1，所以BC‖平面A1B1C9.【答案】BC

【解析】解：A：由題意可得ccosB=2acosC?bcosC，

所以sinCcosB=2sinAcosC?sinBcosC，

可得sin(C+B)=sinA=2sinAcosC，

因?yàn)閟inA≠0，

可得cosC=12，易得C=π3，A錯(cuò)誤；

B：由正弦定理可得2R=csinC=833，則△ABC的外接圓半徑為433，B正確；

C：若a=2b，由余弦定理c2=a2+b2?2abcosC，代入c=4，a=2b，cosC=12，

可得16=(2b)2+b2?2?2b?b?12=3b2，解得b=433，可得a=833，

可得三角形面積S=12absinC=110.【答案】CD

【解析】解：若A，B是互斥事件，不可能同時(shí)發(fā)生，P(AB)=0，故A錯(cuò)誤；

若B?A，則A∪B=A，則P(A∪B)=P(A)=12，故B錯(cuò)誤；

若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)=12×13=16，

所以P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=12+13?16=23，故C正確；

由A=(AB)∪(AB?)，且事件AB,AB?互斥，則P(A)=P(AB)+P(AB?)，

若P(AB?)=11.【答案】ACD

【解析】解：選項(xiàng)A，已知O(0,0)，P1(?sinα,?cosα)，P2(sinβ,cosβ)，P3(sin(α+β),cos(α+β))，

所以O(shè)P1=(?sinα,?cosα)，OP2=(sinβ,cosβ)，OP3=(sin(α+β),cos(α+β))，

則|OP1|=(?sinα)2+(?cosα)2=1，|OP2|=sin2β+cos2β=1，

|OP3|=sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，

所以|OP1|=|OP2|=|OP3|，故A正確．

選項(xiàng)B，由P1P2=1(sinβ+sinα,cosβ+cosα)，

可得|P1P2|2=(sinβ+sinα)2+(cosβ+cosα)2

=sin2β+sin2α+2sinβsinα+cos12.【答案】23【解析】解：依題意，z(2+3i)=(1+ai)(2+3i)=(2?3a)+(2a+3)i為純虛數(shù)，

所以2?3a=02a+3≠0，解得a=23．

故答案為：23．

根據(jù)z(2+3i)為純虛數(shù)列方程來求得13.【答案】49【解析】解：將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲2次，向上的點(diǎn)數(shù)分別記為a，b，

基本事件總數(shù)n=6×6=36，

事件“|a?b|≤1”包含的基本事件(a,b)有15個(gè)，分別為：

(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，

則事件“|a?b|≤1”的概率為P=1636=49．

故答案為：49．

基本事件總數(shù)n=6×6=36，利用列舉法求出事件“|a?b|≤1”包含的基本事件(a,b)有14.【答案】62516【解析】解：如圖，

因?yàn)锳B=4，BC=3，AB⊥BC，所以AC=32+42=5，

所以Rt△ABC的外心為斜邊AC的中點(diǎn)，且△ABC的外接圓的半徑r=12AC=52，

因?yàn)镻O⊥平面ABC，所以三棱錐P?ABC外接球的球心在PO上，

設(shè)球心為G，外接球的半徑為R，連接AG，則PG=GA=R，

所以(5?R)2+(52)2=R2，解得R=258，

所以三棱錐P?ABC的外接球的表面積S=4πR2=4π×(2515.【答案】解：(1)∵sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC．

∴由正弦定理可得：a2=b2+c2+bc．

∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2?a22bc=?bc2bc=?12，

∵A∈(0,π)【解析】(1)由已知利用正弦定理可得：a2=b2+c2+bc.由余弦定理可得：cosA=?12，結(jié)合范圍A∈(0,π)，可求A=16.【答案】0.015；

76.25，75；

17．

【解析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖，有10(x+0.01+0.04+2x+0.005)=1，

解得x=0.015；

(2)因?yàn)?.15+0.1=0.25<0.5，0.15+0.1+0.4=0.65>0.5，

所以中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，

可得中位數(shù)為70+10×0.50?0.250.40=76.25，

學(xué)生成績的平均數(shù)為0.15×55+0.10×65+0.40×75+0.30×85+0.05×95=75；

(3)這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為0.400.40+0.30×77+0.300.40+0.30×84=80，

這兩組數(shù)據(jù)的總方差為

0.400.30+0.40×[5+(77?80)217.【答案】證明過程請(qǐng)見解答；

63【解析】(1)證明：取PC的中點(diǎn)N，連接DN，

因?yàn)椤鱌CD為等邊三角形，所以DN⊥PC，

又平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD=PC，DN?平面PCD，

所以DN⊥平面PAC，

因?yàn)镻A?平面PAC，所以DN⊥PA，

又PA⊥CD，DN∩CD=D，DN，CD?面PCD，

所以PA⊥平面PCD．

(2)解：連接AN，

由(1)得DN⊥平面PAC，

所以∠NAD即為直線AD與平面PAC所成的角，

因?yàn)椤鱌CD是等邊三角形，且CD=2，N是PC的中點(diǎn)，

所以DN=3，

在Rt△AND中，AN=AD2?DN2=6，

所以cos∠NAD=ANAD=63，

即直線AD與平面PAC所成角的余弦值為63．

(1)18.【答案】解：(1)因?yàn)?bsinC?ccosB=c，由正弦定理得：3sinBsinC?sinCcosB=sinC，

在△ABC中，sinC>0，

可得3sinB?cosB=1，即sin(B?π6)=12，

由B∈(0,π)，

所以B?π6=π6，

解得B=π3；

因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，BD=2，且a2+c2=10，

則2BD=BA+BC，

兩邊平方可得4BD2=BA2+BC2+2BA?BC=c2+a2+2cacosB，

即4×4=10+ac，【解析】(1)由正弦定理及兩角差的正弦公式可得sin(B?π6)=12，再由角B的范圍，可得角B的大??；再由BD為中線，由向量的運(yùn)算性質(zhì)可得ac的值，再由余弦定理可得AC的值；

(2)由正弦定理可得19.【