第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年重慶市沙坪壩區(qū)西藏中學高二（下）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知曲線y=f(x)在x=5處的切線方程是y=?2x+8，則f(5)與f′(5)分別為(

)A.3，3 B.3，?1 C.?1，3 D.?2，?22.一個袋子中裝有3個紅球和3個黑球，除顏色外沒有其他差異.現(xiàn)采用有放回的方式從袋中任意摸出兩球，設(shè)A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到紅球”，則A與B的關(guān)系為(

)A.互斥 B.互為對立 C.相互獨立 D.相等3.在二項式(x?2x)5的展開式中，含xA.?10 B.5 C.10 D.404.國慶長假過后學生返校，某學校為了做好防疫工作組織了6個志愿服務小組，分配到4個大門進行行李搬運志愿服務，若每個大門至少分配1個志愿服務小組，每個志愿服務小組只能在1個大門進行服務，則不同的分配方法種數(shù)為(

)A.65 B.125 C.780 D.15605.設(shè)0<a<2，隨機變量X的分布列為X0a2P111當隨機變量X的方差D(X)取得最小值時，a=(

)A.13 B.12 C.236.(x2+1)(x?2)10A.2 B.0 C.?2 D.?47.排球比賽實行“五局三勝制”，根據(jù)此前的若干次比賽數(shù)據(jù)統(tǒng)計可知，在甲、乙兩隊的比賽中，每場比賽甲隊獲勝的概率為23，乙隊獲勝的概率為13，則在這場“五局三勝制”的排球賽中乙隊獲勝的概率為(

)A.1481 B.13 C.17818.對于函數(shù)f(x)=lnxx，下列說法錯誤的是(

)A.f(x)在x=e處取得極大值1eB.f(x)有兩個不同的零點

C.f(2)<f(π)<f(3)D.若f(x)<k?1x在二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下面幾種概率是條件概率的是(

)A.甲、乙兩人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率

B.獵人打獵時，有一獵物在100米處，第一次擊中的概率是50%，在第一次沒有擊中的情況下，獵物逃跑到150米處，第二次擊中的概率

C.一個家庭有兩個小孩，假設(shè)生男生女是等可能的，則這個家庭在有一個小孩是女孩的條件下，另一個是男孩的概率

D.小明上學路上要過四個路口，每個路口遇到紅燈的概率都是2510.下列說法正確的是(

)A.設(shè)隨機變量X等可能取1，2，3，?，n，如果P(X<4)=0.3，則n=10

B.若隨機變量ξ的概率分布為P(ξ=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4)，且a是常數(shù)，則a=34

C.已知An3=11.對于函數(shù)f(x)=2lnxx2，下列說法正確的有A.f(x)在x=e處取得極大值1e

B.f(x)只有一個零點

C.f(π)>f(2)

D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=x3?2lnx，那么f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為

13.在(3x?3x14.已知隨機變量X的分布列為：XmnP1a其中m>0，n>0，若E(X)=1，則1m+四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

有

4名男生和2名女生排成一排，下列各種情況分別有多少種排法？

(Ⅰ)

男生甲不站排頭和排尾．

(Ⅱ)

兩名女生必須相鄰．

(Ⅲ)

甲、乙、丙三名同學兩兩不相鄰．

(Ⅳ)

甲不站排頭，乙不站排尾．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=exx?ax?alnx．

(1)當a=0時，求函數(shù)f(x)在[117.(本小題15分)

在一個盒子中有大小與質(zhì)地相同的10個球，其中5個紅球，5個白球，兩人依次不放回地各摸個1球，求：

(1)在第一個人摸出個紅球的條件下，第二個人摸出個白球的概率；

(2)第一個人摸出個紅球，且第二個人摸出個白球的概率．18.(本小題17分)

某學校對參加“社會實踐活動”的全體志愿者進行學分考核，因該批志愿者表現(xiàn)良好，學校決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個等次，若某志愿者考核我合格，授予1個學分；考核為優(yōu)秀，授予2個學分，假設(shè)該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為45,23,23，他們考核所得的等次相互獨立．

(1)求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ax?1?lnx(a∈R)．

(1)若a=2，求f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值；

(2)若a=1，當x>1時，證明：xlnx>f(x)恒成立；

(3)若函數(shù)f(x)在x=1處的切線與直線l：x=1垂直，且f(x)+xlnx+k>kx?1?lnx對任意的x∈(1,+∞)恒成立，求k答案解析1.【答案】D

【解析】解：由題意得f(5)=?10+8=?2，f′(5)=?2．

故選：D．

利用導數(shù)的幾何意義得到f′(5)等于直線的斜率?2，由切點橫坐標為5，得到縱坐標即f(5)．

本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，采用有放回的方式從袋中任意摸出兩球，設(shè)A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到紅球”，

根據(jù)互斥事件、對立事件的定義可知A與B的關(guān)系不是互斥與對立，

而A與B兩個事件發(fā)生互不影響，故A與B的關(guān)系為相互獨立事件．

故選：C．

根據(jù)相互獨立事件的概念可解．

本題考查相互獨立事件的概念，屬于基礎(chǔ)題．3.【答案】C

【解析】解：由題意，二項式(x?2x)5展開式的通項公式為Tr+1=C5rx5?r(?2)rx?r=(?2)rC5rx5?2r，r=0，1，2，3，4，4.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了排列組合的簡單應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題．

6個人先分成4組再進行排列，最后用分步乘法計數(shù)原理即可求解．【解答】

解：先將6個人分成4組，有兩種方案：“2+2+1+1”，“3+1+1+1”，

故有C62C42C21C11A22A225.【答案】B

【解析】解：將表格數(shù)據(jù)代入期望公式和方差公式可得：E(X)=0×12+a×13+2×16=a+13，

D(X)=(0?a+13)2×12+(a?a+13)2×16.【答案】C

【解析】解：已知(x2+1)(x?2)10=a0(x?1)12+a1(x?1)11+…+a11(x?1)1+a12，

令x=1，得a127.【答案】C

【解析】解：解法一：乙隊獲勝可分為乙隊以3：0或3：1或3：2的比分獲勝．

乙隊以3：0獲勝，即乙隊三場全勝，概率為C33×(13)3=127；

乙隊以3：1獲勝，即乙隊前三場兩勝一負，第四場獲勝，概率為C32×(13)2×23×13=227；

乙隊以3：2獲勝，即乙隊前四場兩勝兩負，第五場獲勝，概率為C42×(13)2×(23)2×8.【答案】B

【解析】解：f′(x)=1?lnxx2，x>0，令f′(x)=0，得x=e，

當0<x<e時，f′(x)>0，當x>e時，f′(x)<0，

所以函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，

所以當x=e時，函數(shù)取得極大值，極大值為f(e)=1e，故A正確；

由f(x)=0，得lnx=0，解得x=1，即函數(shù)f(x)只有一個零點，故B錯誤；

因為f(4)=ln44=ln22=f(2)，f(3)>f(π)>f(4)，故f(2)<f(π)<f(3)成立，故C正確；

若f(x)<k?1x在(0,+∞)上恒成立，則k>lnxx+1x，

設(shè)?(x)=lnxx+1x，x>0，則?′(x)=?lnxx2，

當0<x<1時，?′(x)>0，?(x)單調(diào)遞增，當x>1時，?′(x)<0，?(x)單調(diào)遞減，

所以當x=1時，函數(shù)?(x)取得極大值，同時也是最大值為?(1)=1，

所以k>1，故D正確．

故選：B．

對于A：求導得f′(x)=1?lnxx2，分析f(x)的單調(diào)性，進而可得f(x)的極值，即可判斷A是否正確；

對于B：由f(x)=0，可求得x的值，即可判斷B是否正確；

對于C：根據(jù)題意可得f(2)=f(4)，又f(x)9.【答案】BC

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A，要求計算兩人同時投籃命中這一事件的概率，并沒有涉及到一個事件在另一個事件已經(jīng)發(fā)生的條件下的概率，所以它不是條件概率；

對于B，此概率是在“第一次沒有擊中”這個事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，計算第二次擊中的概率，符合條件概率的定義，所以它是條件概率；

對于C，這是在“有一個小孩是女孩”這個事件已經(jīng)發(fā)生的條件下，去求另一個小孩是男孩的概率，符合條件概率的定義，所以它是條件概率；

對于D，要求計算小明上學遇到紅燈這一普通事件的概率，沒有體現(xiàn)出一個事件在另一個事件已發(fā)生條件下的概率，所以它不是條件概率．

故選：BC．

條件概率是指事件A在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下發(fā)生的概率，我們需要根據(jù)這個定義，對每個選項進行分析，判斷其是否為條件概率．

本題考查條件概率的定義，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ACD

【解析】解：對于A，X所有可能取值為1，2，3，?，n，

所以P(X=i)=1n(i=1,2,?,n)，

P(X<4)=3n=0.3，n=10，A正確；

對于B，ξ的分布為P(ξ=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4)，

則a1×2+a2×3+a3×4+a4×5=a(1?15)=4a5=1，解得a=54，B錯誤；

對于C，因為An3=Cn4，根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式可得n(n?1)(n?2)=n(n?1)(n?2)(n?3)4!，解得n=27，11.【答案】ABC

【解析】解：A，已知f(x)=2lnxx2，因此f′(x)=2?4lnxx3，x∈(0,+∞)，

令f′(x)=2?4lnxx3=0，解得x=e，

當0<x<e時，f′(x)>0，f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，

當x>e時，f′(x)<0，f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減，

f(x)在x=e上取得極大值，極大值f(e)=1e，因此A選項正確；

B，由A選項知，f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，

其中f(1e)=?2e2<0，f(e)=1e>0，

當x>1時，f(x)=2lnxx2>0恒成立，

由零點存在性定理得(1e,e)上存在唯一零點，

因此f(x)只有一個零點，因此B選項正確；

C，因為f(x)在(e,+∞)上單調(diào)遞減，e<π<4，

因此f(π)>f(2)，因此C選項正確；

D，當f(x)<k?1x2在(0,+∞)上恒成立，即2lnx+1x2<k在(0,+∞)上恒成立，

令g(x)=2lnx+1x2，因此12.【答案】x?y=0

【解析】解：函數(shù)f(x)=x3?2lnx的導數(shù)為f′(x)=3x2?2x，

可得f(x)在點(1,1)處的切線的斜率為3?2=1，

切線的方程為y?1=x?1，

即為x?y=0．

故答案為：13.【答案】252

【解析】解：∵在(3x?3x)n的二項式中，所有的二項式系數(shù)之和為256，

∴2n=256，解得n=8，

∴(3x?3x)8中，Tr+1=C8r(3x)8?r(?3x)r=(?3)rC14.【答案】1+2【解析】解：由分布列性質(zhì)可知a=23，

所以E(X)=m3+2n3=1，

所以1m+1n=(1m+1n)(m3+2n3)=1+2n3m+m15.【答案】解：(Ⅰ)∵甲不站排頭也不站排尾，

∴甲要站在除去排頭和排尾的四個位置，

余下的五個位置使五個元素全排列，

根據(jù)分步計數(shù)原理知共有A41A55=480種；

(Ⅱ)

兩名女生必須相鄰，利用捆綁法，有A22A55=240種；

(Ⅲ)∵甲、乙、丙不相鄰，

∴可以采用甲，乙和丙插空法，

首先排列除去甲，乙和丙之外的三個人，有A33種結(jié)果，

再在三個元素形成的四個空中排列3個元素，共有A【解析】(Ⅰ)甲不站排頭也不站排尾，甲要站在除去排頭和排尾的四個位置，余下的五個位置使五個元素全排列，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．

(Ⅱ)

兩名女生必須相鄰，利用捆綁法；

(Ⅲ)甲、乙、丙不相鄰，可以采用甲，乙和丙插空法，首先排列除去甲，乙和丙之外的三個人，有A33種結(jié)果，再在三個元素形成的四個空中排列3個元素，共有A43，根據(jù)分步計數(shù)原理得到結(jié)果．

(Ⅳ)16.【答案】極小值為e，無極大值；

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,ln2)，(1,+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(ln2,1)．

【解析】(1)因為函數(shù)f(x)=exx?ax?alnx，

所以，當a=0時，函數(shù)f(x)=exx，其定義域為[12,2]，則f′(x)=ex(x?1)x2(12≤x≤2)，

令f′(x)=0，解得x=1，

當12<x<1時，f′(x)<0，當1<x<2時，f′(x)>0，

所以f(x)在(12,1)單調(diào)遞減，在(1,2)單調(diào)遞增，

所以f(x)在[12,2]上的極小值為f(1)=e，無極大值；

(2)當a=2時，函數(shù)f(x)=exx?2x?2lnx，其定義域為(0,+∞)，

則f′(x)=(ex?2)(x?1)x2，

令f′(x)=(ex?2)(x?1)x2=0，解得x=ln2或17.【答案】解：(1)設(shè)事件A表示：第一個人摸出紅球，B表示：第二個人摸出白球，

第一個人摸出1個紅球后，盒子中還有9個球，其中4個紅球，5個白球，

故在第一個人摸出1個紅球的條件下，第二個人摸出1個白球的概率P(B|A)=59；

(2)設(shè)事件A表示：第一個人摸出紅球，B表示：第二個人摸出白球，

事件：第一個人摸出1個紅球，且第二個人摸出1個白球即事件AB，

所以P(AB)=【解析】(1)根據(jù)條件概率的定義求解；

(2)利用古典概型的概率公式求解．

本題主要考查了條件概率的定義，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．18.【答案】解：(1)記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，

“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件D．

則P(D)=1?P(A?B?C?)=1?P(A?)P(B?)P(C?)

=1?15×13×13

=4445．

(2)由題意，得XX3456P18416E(X)=3×145【解析】(1)記“甲考核為優(yōu)秀”為事件A，“乙考核為優(yōu)秀”為事件B，“丙考核為優(yōu)秀”為事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核為優(yōu)秀”為事件D.由此利用P(D)=1?P(A?B?C?)，能求出在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率．

(2)由題意，得X的可能取值是3，4，519.【答案】(1)解：當a=2時，f(x)=2x?1?lnx，f′(x)=2x?1x(x>0)，

當x∈(0,12)時，f′(x)<0，f(x)在(0,12)單調(diào)遞減；

當x∈(12,+∞)時，f′(x)>0，f(x)在(12,+∞)單調(diào)遞增；

故f(x)在[1