培優(yōu)課11數(shù)列中的創(chuàng)新問題數(shù)列中的創(chuàng)新問題通常以新定義、新運算、新情境等形式出現(xiàn)，常以壓軸題的形式出現(xiàn)，難度較大.通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設的新問題的情景，解答時要在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設所提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.題型一數(shù)列中的新定義問題(多選)(2025·遼寧大連模擬)如果有限數(shù)列{an}滿足ai=an－i+1i=1，2，…，n，則稱其為“對稱數(shù)列”，設{bn}是項數(shù)為2k－1k∈N+的“對稱數(shù)列”，其中bk，bk+1，…，b2k－1是首項為50，A．若k=10，則b1=10B．若k=10，則{bn}所有項的和為590C．當k=13時，{bn}所有項的和最大D．{bn}所有項的和可能為0答案：BC解析：{bn}的和S2k－1=50k－kk－12×4×2－50=－4k2+104k－50=－4k－132+626，對于A，k=10，則b1=b2k－1－1+1=b20－1=b19=50－4×9=14，故A錯誤；對于B，k=10，則所有項的和為50×10－10×92×4×2－50=590，故B正確；對于C，{bn}的和S2k－1=－4k－132+626，當k=13時，和最大，故C正確；對于D，S2k－1=－4k2解決新定義中的數(shù)列問題的一般流程

第一步：讀懂定義，理解新定義數(shù)列的含義；

第二步：特殊分析，比如對n=1，2，3，…的情況進行討論；

第三步：通過特殊情況尋找新定義數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì)，以及新定義數(shù)列與已知數(shù)列(如等差或等比數(shù)列)的關(guān)系，仔細觀察，探求規(guī)律，注重轉(zhuǎn)化，合理設計解題方案；

第四步：聯(lián)系等差數(shù)列與等比數(shù)列知識，將新定義數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為熟悉的知識進行求解. 對點練1.對任意正整數(shù)n，定義n的豐度指數(shù)I(n)=S(n)n，其中S(n)(1)求I(8)的值；(2)若an=I(2n)，求數(shù)列{nan}的前n項和Tn；(3)對互不相等的質(zhì)數(shù)p，m，n，證明：I(p3mn)=I(p3)I(m)I(n)，并求I(2024)的值.解：(1)因為8的所有正因數(shù)為1，2，4，8，所以S(8)=1+2+4+8=15，得到I(8)=S(8)(2)因為2n共有n+1個正因數(shù)，它們?yōu)?，2，22，…，2n，所以an=I(2n)=1+2+22+…+2n2n=1－2n+11所以Tn=2(1+2+…+n)－12+222+…令Bn=12+222+…+則12Bn=122+223+由①－②得到12Bn=12+122+123+…+所以Bn=2－2+n故Tn=n(n+1)－2+2+n(3)證明：因為p，m，n是互不相等的質(zhì)數(shù)，則p3的正因數(shù)有4個，它們是1，p，p2，p3，m，n的正因數(shù)均為2個，分別為1，m和1，n，p3mn的正因數(shù)有4×2×2=16個，分別為1，p，p2，p3，m，mp，mp2，mp3，n，np，np2，np3，mn，mnp，mnp2，mnp3，所以I(p3)=1+p+p2+p3p3，I(m)=I(p3mn)=1+=(=(=1+p+p2+p3p3·1+mm·1+nn=I因為2024=23×11×23，所以I(2024)=I(23)I(11)I(23)=1+2+4+88×1+1111×1+2323=158×1211題型二數(shù)列中的新運算問題(2024·吉林長春模擬)記集合S={an}|無窮數(shù)列{an}中存在有限項不為零，n∈N+，對任意{an}∈S，設φ({an})=a1+a2x+…+anxn－1+…，x∈R.定義運算?：若{an}，{bn}∈S，則{an}?{bn}∈S，且φ({an}?{bn(1)設{an}?{bn}={dn}，用a1，a2，a3，b1，b2，b3表示d3；(2)若{an}，{bn}，{cn}∈S，證明：({an}?{bn})?{cn}={an}?({bn}?{cn})；(3)若數(shù)列{an}滿足an=(n+1)2+1n(n+1)，1≤n≤100，0，n>100，數(shù)列{bn}滿足bn=12解：(1)因為{an}?{bn}={dn}，所以φ({dn})=φ({an}?{bn})=φ({an})·φ({bn})，所以d1+d2x+d3x2+…=(a1+a2x+a3x2+…)(b1+b2x+b3x2+…)，x∈R，根據(jù)多項式的乘法可得：d3=a1b3+a2b2+a3b1.(2)證明：因為φ({an}?{bn})=φ({an})·φ({bn})，所以φ({an}?{bn})?{cn}=φ({an}?{bn})·φ({cn})=φ({an})又φ{(diào)an}?({bn}?{cn})=φ({an})·φ({bn}?φ{(diào)cn})=φ({an})所以φ({an}?{bn})?{cn}=φ({an}所以({an}?{bn})?{cn}={an}?{b(3)證明：對于{an}，{bn}∈S，因為{an}?{bn}={dn}，所以φ({dn})=φ({an}?{bn})=φ({an})·φ({bn})，所以(a1+a2x+…+anxn－1+…)(b1+b2x+…+bnxn－1+…)=d1+d2x+…+dnxn－1+…，所以dnxn－1=a1(bnxn－1)+…+akxk－1(bn+1－kxn－k)+…+an－1xn－2(b2x)+anxn－1b1，x∈R，所以dn=a1bn+a2bn－1+…+akbn+1－k+…+an－1b2+anb1.所以d200=∑k=1200akb201－k=∑k=1100akb201－k+∑k=101200akb201－k=∑所以d200=∑k=110012∑k=110012k+2所以d200=∑k=1=14－12102+11×=12－1學生用書?第151頁定義新運算問題，應分析新運算的特點，弄清新運算的本質(zhì)，按新運算的要求“照章辦事”，就能夠使問題得以解決.

題型三數(shù)列中的新情境問題角度1數(shù)學文化情境(2022·新高考Ⅱ卷)圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉.圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DD1，CC1，BB1，AA1是舉，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3.已知k1，k2，k3成公差為A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9答案：D解析：如圖，連接OA，延長AA1與x軸交于點A2，設OD1=x，則易得DD1=0.5x，CC1=k1x，BB1=k2x，AA1=k3x，OA2=4x.由OA斜率為0.725可得，AA2OA2=0.5x+k1x+k2x+k3x4x=0.725.因為k1，k2，k3成公差為0.1的等差數(shù)列，所以0.5+3角度2生產(chǎn)生活情境某市抗洪指揮部接到最新雨情預報，未來24h城區(qū)攔洪壩外洪水將超過警戒水位，因此需要緊急抽調(diào)工程機械加高加固攔洪壩.經(jīng)測算，加高加固攔洪壩工程需要調(diào)用20輛某型號翻斗車，平均每輛翻斗車需要工作24h.而抗洪指揮部目前只有一輛翻斗車可立即投入施工，其余翻斗車需要從其他施工現(xiàn)場抽調(diào).若抽調(diào)的翻斗車每隔20min才有一輛到達施工現(xiàn)場投入工作，要在24h內(nèi)完成攔洪壩加高加固工程，指揮部至少還需要抽調(diào)這種型號翻斗車()A．25輛 B．24輛 C．23輛 D．22輛答案：C解析：由題意可知，需要一輛翻斗車20×24=480(h)的工作量才能完成攔洪壩的加高加固工程，設至少需要n輛這種型號的翻斗車才能在24h內(nèi)完成該工程，這n輛翻斗車的工作時間(單位：h)按從大到小排列依次記為a1，a2，…，an，則數(shù)列{an}是公差為－13的等差數(shù)列，所以a1=24，記{an}的前n項和為Sn，則Sn=na1+n(n－1)2×－13，可得Sn=24n－16n(n－1)，當n=23時，Sn≈467.7<480，當n=24時，Sn=484>480，故n的值為24，至少需要定義新情境問題，關(guān)鍵是要從問題情境中尋找“重要信息”，即研究對象的本質(zhì)特征、數(shù)量關(guān)系(數(shù)量化的特征)等，建立數(shù)學模型求解.同時類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏也是一種有效的方法.

對點練2.(多選)某企業(yè)為一個高科技項目注入了啟動資金2000萬元，已知每年可獲利20%，但由于競爭激烈，每年年底需從利潤中取出200萬元資金進行科研、技術(shù)改造與廣告投入，方能保持原有的利潤增長率.設經(jīng)過n年之后，該項目的資金為an萬元.(取lg2≈0.30，lg3≈0.48)，則下列敘述正確的是()A．a(chǎn)1=2200B．數(shù)列{an}的遞推關(guān)系是an+1=an×(1+20%)C．數(shù)列{an－1000}為等比數(shù)列D．至少要經(jīng)過6年，該項目的資金才可以達到或超過翻一番(即為原來的2倍)的目標答案：ACD解析：根據(jù)題意，經(jīng)過1年之后，該項目的資金為a1=2000×(1+20%)－200=2200萬元，故A正確；an+1=an×(1+20%)－200=1.2an－200，故B不正確；an+1=1.2an－200，則an+1－1000=1.2(an－1000)，又a1－1000=1200，所以數(shù)列{an－1000}是首項為1200，公比為1.2的等比數(shù)列，故C正確；an－1000=1200×1.2n－1=1000×1.2n，即an=1000(1.2n+1)，令an=1000(1.2n+1)≥4000，則n≥log1.23=lg32lg2+lg3－1≈6，至少要經(jīng)過6年，該項目的資金才可以達到或超過翻一番(即為原來的2倍)的目標，故D正確.故選對點練3.(多選)在《算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)”，其大致意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，從第二天起因為腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達目的地”，則()A．此人第二天走的路程占全程的1B．此人第三天走了48里路C．此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里D．此人第五天和第六天共走了18里路答案：BD解析：設此人第n天走了an里路，則數(shù)列an是首項為a1，公比為12的等比數(shù)列，因為S6=a11－1261－12=378，解得a1=192，a2=192×12=96，所以此人第二天走了96里路，96378>14，故A錯誤；a3=192×14=48，所以此人第三天走了48里路，故B正確；a4=192×18=24，a1－a4=192－24=168，此人第一天走的路程比第四天走的路程多168里，故C錯誤；a5+a6=192課時測評46數(shù)列中的創(chuàng)新問題對應學生(時間：60分鐘滿分：100分)(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂!)1.(25分)(2024·重慶模擬)對于數(shù)列{an}，定義Δan=an+1－an(n∈N+)，滿足a1=a2=1，Δ(Δan)=m(m∈R)，記f(m，n)=a1m+a2m2+…+anmn，稱f(m，n)為由數(shù)列{an}生成的“m－函數(shù)”.(1)試寫出“2－函數(shù)”f(2，n)，并求f(2，3)的值；(6分)(2)若“1－函數(shù)”f(1，n)≤15，求n的最大值；(8分)(3)記函數(shù)S(x)=x+2x2+…+nxn，其導函數(shù)為S'(x)，證明：“m－函數(shù)”f(m，n)=m22S'(m)－3m2S(m)+(m+1)∑i=1解：(1)由定義及Δ(Δan)=m，知Δ(Δan)=Δan+1－Δan=m，所以{Δan}是公差為m的等差數(shù)列，所以Δan=Δa1+(n－1)m.因為a1=a2=1，所以Δa1=a2－a1=0，所以Δan=(n－1)m，即an+1－an=(n－1)m.當n≥2時，有a3－a2=m，a4－a3=2m，……an－an－1=(n－2)m，所以an－a2=m+2m+…+(n－2)m=(n即an=1+(nn=1時a1=1也滿足上式，故an=1+(n當m=2時，an=1+(n－1)(n－2)=n2－3n+3，所以“2－函數(shù)”f(2，n)=1×2+1×22+…+(n2－3n+3)×2n.當n=3時，f(2，3)=1×2+1×22+3×23=30.(2)當m=1時，an=1+(n－1故“1－函數(shù)”f(1，n)=a1+a2+…+an=1+1+…+n=12－3×1+42+2=12(12+22+…+n2)－32(1+2+…+n)+=n(n+1=n3由f(1，n)≤15，得n3－3n2+8n－90≤0.令g(x)=x3－3x2+8x－90(x≥1)，則g'(x)=3x2－6x+8=3(x－1)2+5>0，所以g(x)=x3－3x2+8x－90在[1，+∞)上單調(diào)遞增.因為g(5)=0，所以當1≤x≤5時，g(x)≤0，所以當1≤n≤5時，f(1，n)≤15，故n的最大值為5.(3)證明：由題意得f(m，n)=a1m+a2m2+…+anmn=m+m2+…+1+(i－1)(i－2=m+m2+…+i2－3i2×m+=m2∑i=1ni2mi－3m2∑i=1nim由S(x)=x+2x2+…+nxn，得S'(x)=1+4x+…+n2xn－1，所以xS'(x)=x+4x2+…+n2xn=∑i=1ni2所以∑i=1ni2mi=mS'(m)，∑i=1nim所以f(m，n)=m22S'(m)－3m2S(m)+(m+1)2.(25分)(2024·甘肅張掖模擬)定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”，例如：數(shù)列1，2，3經(jīng)過第一次“和擴充”后得到數(shù)列1，3，2，5，3；第二次“和擴充”后得到數(shù)列1，4，3，5，2，7，5，8，3.設數(shù)列a，b，c經(jīng)過n次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為Pn，所有項的和為Sn.(1)若a=2，b=3，c=4，求P2，S2；(6分)(2)求不等式Pn≥2024的解集；(8分)(3)是否存在數(shù)列a，b，c(a，b，c∈R)，使得數(shù)列{Sn}為等比數(shù)列?請說明理由.(11分)解：(1)a=2，b=3，c=4，第一次“和擴充”后得到數(shù)列2，5，3，7，4，第二次“和擴充”后得到數(shù)列2，7，5，8，3，10，7，11，4，P2=9，S2=2+7+5+8+3+10+7+11+4=57.(2)數(shù)列經(jīng)每一次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，數(shù)列a，b，c經(jīng)過n次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為Pn，則經(jīng)第(n+1)次“和擴充”后增加的項數(shù)為Pn－1，所以Pn+1=Pn+(Pn－1)=2Pn－1，所以Pn+1－1=2Pn－2=2(Pn－1)，其中數(shù)列a，b，c經(jīng)過1次“和擴充”后，得到a，a+b，b，b+c，c，故P1=5，P1－1=4，故{Pn－1}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以Pn－1=4×2n－1=2n+1，故Pn=2n+1+1，則2n+1+1≥2024，即2n+1≥2023，又n∈N+，解得n≥10.所以Pn≥2024的解集為[10，+∞).(3)存在數(shù)列a，b，c(a，b，c∈R)，使得數(shù)列{Sn}為等比數(shù)列，理由如下：因為S1=a+a+b+b+b+c+c=2a+3b+2c，S2=S1+3(a+2b+c)，S3=S2+32(a+2b+c)，依次類推，Sn=Sn－1+3n－1(a+2b+c)，故Sn=Sn－1+3n－1(a+2b+c)=Sn－2+3n－2(a+2b+c)+3n－1(a+2b+c)=…=S1+(a+2b+c)(3+32+…+3n－1)=2a+3b+2c+(a+2b+c)·3(1－3n－1)若使{Sn}為等比數(shù)列，則a+c3.(25分)(2024·河南新鄉(xiāng)第三次模擬)函數(shù)f(x)=[x]稱為取整函數(shù)，也稱為高斯函數(shù)，其中[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，例如：[3.2]=3，[0.6]=0，[－1.6]=－2.對于任意的實數(shù)x，定義(x)=[x]，x≤[x]+12，[(1)求a13，a2024的值；(10分)(2)設bn=n+an，從全體正整數(shù)中除去所有bn，剩下的正整數(shù)按從小到大的順序排列得到數(shù)列{cn}.(15分)①求{cn}的通項公式；②證明：對任意的n∈N+，都有1c1+1c2+1c3+解：(1)由72<13<4，得[13]=3，則13>[13]+1所以a13=(13)=[13]+1=4；由892<2024<45，得[2024]=44，則2024所以a2024=(2024)=[2024]+(2)①依題意，b1=1+a1=1+(1)=1+1=2，則c1=1，對于給定的n∈N+，存在唯一確定的k∈N+，使得k≤n<k+1，即k2≤n<(k+1)2，而k+122=k2+k+14，則當k2≤n≤k2+k時，an=k，設n=k2+m，m∈{0，1，2，此時bn=n+k，即bn=k2+k+m，m∈{0，1，2，…，k}；當k2+k+1≤n<(k+1)2時，an=k+1，設n=k2+m，m∈{k+1，k+2，…，2k}，此時bn=n+k+1，即bn=k2+k+1+m，m∈{k+1，k+2，…，2k}，因此bn∈{k2+k，k2+k+1，…，k2+2k，k2+2k+2，k2+2k+3，…，k2+3k+1}，恰好跳過k2+2k+1=(k+1)2，即所有正整數(shù)中恰好少了(k+1)2，因為c1=1，所以cn=n2.②證明：由cn=n2>0，得1cn>0，則1c1+1c2+1c3+…+1cn當n≥4時，1cn=1n2<1n則1c1+1c2+1c3+…=4936+1213+所以對任意的n∈N+，都有1c1+1c2+1c3+4.(25分)(2024·湖北武漢五調(diào))混沌現(xiàn)象普遍存在于自然界和數(shù)學模型中，比如天氣預測、種群數(shù)量變化和天體運動等等，