92.圓錐曲線第二定義與應(yīng)用一．基本原理1.橢圓第二定義已知點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比是常數(shù)，求點(diǎn)的軌跡.解析：化簡(jiǎn)得令，上述方程就可化為2.雙曲線第二定義類(lèi)似地，我們可以得到:當(dāng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是常數(shù)時(shí)，這個(gè)點(diǎn)的軌跡是雙曲線，方程為(其中)，這個(gè)常數(shù)就是雙曲線的離心率.解析：設(shè)是動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)為，定直線為，常數(shù)，由上述可得：，化簡(jiǎn)得到．其中．3.拋物線的定義是眾所周知的，不再贅述.4.圓錐曲線第二定義這樣，圓錐曲線可以統(tǒng)一定義為:平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線不在上)的距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)時(shí)，它是橢圓；當(dāng)時(shí)，它是雙曲線；當(dāng)時(shí)，它是拋物線.其中是圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線是圓雉曲線的準(zhǔn)線.二．典例應(yīng)用例1.圓錐曲線焦半徑：橢圓，，分別為其左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，那么該橢圓左準(zhǔn)線為，右準(zhǔn)線為，根據(jù)橢圓第二定義：橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與它到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離之比等于離心率則，．同理對(duì)于雙曲線有相似的結(jié)論成立：為雙曲線上的一點(diǎn)，，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，則，．例2.（2018全國(guó)三卷）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．解：（1）設(shè)，則.兩式相減，并由得.由題設(shè)知，于是.①由題設(shè)得，故.（2）由題意得，設(shè)，則.由（1）及題設(shè)得.又點(diǎn)P在C上，所以，從而，.于是.同理.所以.故，即成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d，則.②，將代入①得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得：.故，代入②解得.所以該數(shù)列的公差為或.例3.已知直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點(diǎn)，與雙曲線的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為右焦點(diǎn)，若，，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________.解析：記、在右準(zhǔn)線上的射影分別為點(diǎn)、，由及雙曲線第二定義知：，又，所以，從而，則.例4.證明：角度形式焦半徑：上加下減，即證明：設(shè)橢圓的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).設(shè)，過(guò)兩點(diǎn)向準(zhǔn)線引垂線，垂足記為點(diǎn).根據(jù)橢圓第二定義，,.過(guò)兩點(diǎn)再向軸引垂線，垂足記為點(diǎn).顯然，再代入可得，整理化簡(jiǎn)：同理可得：類(lèi)似地，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F，P為雙曲線上任意一點(diǎn)，設(shè)，則雙曲線的焦半徑，若直線交雙曲線于另一點(diǎn)Q，則雙曲線的焦點(diǎn)弦.（焦半徑公式中取“+”還是取“－”由P和F是否位于y軸同側(cè)決定，同正異負(fù)）例5.已知橢圓，左焦點(diǎn)為，在橢圓上取三個(gè)不同點(diǎn)、、，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．解析：在橢圓中，，，，如下圖所示：橢圓的左準(zhǔn)線為，以為頂點(diǎn)，軸的正方向?yàn)槭歼叺姆较颍瑸榻堑慕K邊，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)、，易知四邊形為矩形，則，由橢圓第二定義可得，則，又因?yàn)檩S，則，所以，，所以，，因?yàn)?，即，所以，，同理可知，?dāng)為任意角時(shí)，等式仍然成立，同理可得，，因此，，故的最小值為.故選：B.例6．（1）設(shè)橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為F1?c,0，，左、右準(zhǔn)線方程分別為：，：.如圖，由橢圓上的動(dòng)點(diǎn)Px0,y0向，分別作垂線，垂足分別為，.橢圓的第二定義指出如下性質(zhì)：橢圓的離心率（，）.請(qǐng)利用橢圓的第二定義證明：焦半徑公式，.（2）借助（1）中焦半徑公式解決問(wèn)題：已知為橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，，若線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，求.解析：（1）由，得，，又，，所以，，即，.（2）由題意，在橢圓中，，，，.設(shè)Ax1,y1，Bx則由焦半徑公式，得，所以，所以線段的中點(diǎn)為.設(shè).由題意知，直線與坐標(biāo)軸不平行，且直線的斜率，所以線段的垂直平分線的斜率為，則線段的垂直平分線方程為.代入，得，解得，所以.三．習(xí)題演練1.如圖，中心在原點(diǎn)O的橢圓的右焦點(diǎn)為，右準(zhǔn)線l的方程為：．(1)求橢圓的方程；(2)在橢圓上任取三個(gè)不同點(diǎn)，使，證明：為定值，并求此定值．解析：（1）設(shè)橢圓方程為．因焦點(diǎn)為，故半焦距，又右準(zhǔn)線的方程為，從而由已知，因此，，故所求橢圓方程為.（2）記橢圓的右頂點(diǎn)為A，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，假設(shè)，且，．又設(shè)點(diǎn)在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有

．解得．因此，而，故為定值．綜上，橢圓方程為；.2.橢圓、雙曲線、拋物線三種圓錐曲線有許多相似性質(zhì)．比如三種曲線都可以用如下方式定義（又稱(chēng)圓錐曲線第二定義）：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡為圓錐曲線．當(dāng)為橢圓，當(dāng)為拋物線，當(dāng)為雙曲線．定點(diǎn)為焦點(diǎn)，定直線為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，常數(shù)e為圓錐曲線的離心率．依據(jù)上述表述解答下列問(wèn)題．已知點(diǎn)，直線動(dòng)點(diǎn)滿足到點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離之比為(1)求曲線的軌跡方程；(2)在拋物線中有如下性質(zhì)：如圖，在拋物線中，O為拋物線頂點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線與A，B兩點(diǎn)，連接，并延長(zhǎng)交準(zhǔn)線l與D，C，則以為直徑的圓與相切于點(diǎn)F，以為直徑的圓與相切于中點(diǎn)．那么如圖在曲線E中是否具有相同的性質(zhì)？若有，證明它們成立；若沒(méi)有，說(shuō)明理由．解析：（1）由題知，曲線的軌跡為焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，所以所以橢圓E的軌跡方程為（2）以為直徑的圓與不相切．理由如下：當(dāng)焦點(diǎn)弦的最大值為長(zhǎng)軸長(zhǎng)，此時(shí)圓方程為，圓與直線相離；當(dāng)