65.空間向量應(yīng)用中的存在性問(wèn)題存在性問(wèn)題.存在性問(wèn)題突破的關(guān)鍵就是表示出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，一般利用定比分點(diǎn)的形式寫出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，最后把欲求量表示成動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù).例1．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)．（1）求證：平面平面PAD；（2）若G為PD的中點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：（1）證明：連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，所以是正三角形，是的中點(diǎn)，，又，平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量，則即令，得平面的一個(gè)法向量．設(shè)與平面所成的角為，則，解得或，即存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．例2．如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點(diǎn)O，．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)F，使得與平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由．解析：（1）∵，，∴，又O是中點(diǎn)∴∵平面平面，平面平面，平面，∴平面（2）∵底面是菱形，∴，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．又，所以，∴，設(shè)平面的法向量是，∴，令，則，假設(shè)線段上存在點(diǎn)F，且，∴，∴，∴，平方整理得：，∴或（舍）.∴時(shí)，即存在點(diǎn)F是中點(diǎn)時(shí)，與平面所成角的正弦值是．例3．如圖所示，正方形ABCD所在平面與梯形ABMN所在平面垂直，，，，.（1）證明：平面；（2）在線段CM（不含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)E，使得二面角的余弦值為.若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）證明：正方形中，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，，且，又，，又，，，又，，又平面，平面；（2）如圖，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)點(diǎn)，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令，顯然，平面的法向量為，，即，即即，解得或（舍），所以存在一點(diǎn)，且.習(xí)題1．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

（1）證明：平面；（2）若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．解析：（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面?/p>

（2）假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，以為原點(diǎn)，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即取，，，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)樵诰€段上（不含端點(diǎn)），所以可設(shè)，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即，取，，，所以為平面的一個(gè)法向量，，又，由已知可得解得或（舍去），所以，存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)是上靠近的三等分點(diǎn)．

習(xí)題2．在梯形中，，，，P為的中點(diǎn)，線段與交于O點(diǎn)（如圖1）.將沿折起到位置，使得平面平面（如圖2）.

（1）求二面角的余弦值；（2）線段上是否存在點(diǎn)Q，使得與平面所成角的正弦值為?若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：（1）因?yàn)樵谔菪沃?，，，，為的中點(diǎn)，所以，，，所以是正三角形，四邊形為菱形，可得，，而平面平面，平面平面，平面，，平面，所以，，兩兩互相垂直，如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，，，，所以二面