57.高三備考中外接球問題中的常見解題模型外接球問題是全國卷的超高頻考點，它對考生的直觀想象素養(yǎng)要求很高，是我們復(fù)習(xí)中必須下大力氣備考的考點.★1．球的截面若用一個平面去截半徑為的球，得到的截面是一個圓：（1）若平面過球心，則截面圓是以球心為圓心的圓；（2）若平面不過球心，如圖所示，小圓圓心為，則，記，則.（3）外接圓半徑的計算：常用例1．（2020全國2卷）已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（）A． B． C．1 D．解析：設(shè)球的半徑為,則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：.注：球的截面性質(zhì)是我們處理外接球問題的根本思路!例2．（2020全國1卷）已知為球的球面上的三個點，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（）A． B． C． D．解析：設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面,，球的表面積.故選：.球的截面性質(zhì)告訴我們，在計算多面體的外接球時，我們的思路是從平面到空間，先從該多面體的一個面出發(fā)，找到其外接圓圓心的位置，進一步，球心與該圓心的連線一定垂直于該平面，這樣，就可找到球心和半徑.★2．正方體（長方體）與補形（1）正長體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點.（2）正四面體：由四個全等\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"正三角形圍成的空間\t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"封閉圖形，所有\(zhòng)t"/item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank"棱長都相等.正四面體的外接球：補成正方體進行，假設(shè)正四面體棱長為,其外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則，如圖1所示.（3）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖2所示例3．一個正四面體的棱長為2，則這個正四面體的外接球的體積為（

）A． B． C． D．解析：如圖，四面體是正四面體，棱長，將其補形成正方體，則正方體的棱長，此正方體的體對角線長為，正四面體與正方體有相同的外接球，則正四面體的外接球半徑，所以正四面體的外接球體積為．故選：A例4．在四面體中，若，，，則四面體的外接球的表面積為A． B． C． D．解：如下圖所示，將四面體放在長方體內(nèi)，設(shè)該長方體的長、寬、高分別為、、，則長方體的體對角線長即為長方體的外接球直徑，設(shè)該長方體的外接球半徑為，由勾股定理得，上述三個等式全加得，所以，該四面體的外接球直徑為，因此，四面體的外接球的表面積為，故選：．★3．墻角模型.三棱錐有一條側(cè)棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用構(gòu)造法(構(gòu)造長方體)解決，如下圖．例5．已知是球面上的四個點，平面，，，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．解：因為平面，所以，又，所以，又，所以平面；同理平面，則兩兩互相垂直，將三棱錐補形成以為長寬高的長方體，如下圖所示，又是球面上的四個點，所以球的直徑為該長方體的體對角線，又，，所以該長方體的體對角線長為，即球的直徑，其中是球的半徑；所以球的表面積為.故選:B.★4．直棱柱（圓柱）1.基本定義：棱柱：上下底面平行且全等，側(cè)棱平行且相等的封閉幾何體叫棱柱.直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱.正棱柱：底面是正多邊形的直\t"/item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank"棱柱叫做正棱柱.正棱柱是\t"/item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank"側(cè)棱都垂直于底面，且底面是正多邊形的棱柱.2.外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心連線的中點.正棱柱外接球的球心是上下底面中心連線的中點。3.計算公式：設(shè)底面小圓的半徑為，棱柱高為，則.例6．在直三棱柱中，且，已知該三棱柱的體積為2，則此三棱柱外接球表面積的最小值為______．解析：設(shè)BC的中點為D，的中點為，，由題，得三棱柱外接球的球心在線段的中點O處，由三棱柱的體積為2，得，即，由題，得，所以，外接球表面積．故答案為：例7．已知三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．解析：在三棱錐中，如圖，，則，同理，而平面，因此平面，在等腰中，，則，令的外接圓圓心為，則平面，，有，取中點D，連接OD，則有，又平面，即，從而，四邊形為平行四邊形，，又，因此球O的半徑，所以球的表面積.故選：A★5．等腰四面體.（圓錐）四面體中中，.性質(zhì)1：頂點在底面的投影為底面外接圓圓心.證明：如圖，由于，故根據(jù)勾股定理：，即頂點在底面的投影恰好是底面的外心.既然如此，根據(jù)外接球的性質(zhì)，三棱錐外接球的球心在線段或者線段的延長線上，再次根據(jù)勾股定理，設(shè)外接球的半徑為，的外接圓半徑為，線段的長度為，則有：或.性質(zhì)2：解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（棱錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．例8．若正三棱錐的高為2，，其各頂點都在同一球面上，則該球的半徑為（

）A． B． C． D．3解析：①若球心在正三棱錐內(nèi)部，如圖所示：其中點在底面的投影為點，所以高為，延長交于點，因為三棱錐為正三棱錐，所以為正三角形，點為的重心，為的高，所以，，設(shè)外接球的半徑為，則，在中有：，即，解得：；②若球心在正三棱錐外部，如圖所示：由①知，當(dāng)球心在的延長線上時，在中有：，即，解得：.故選：D.例9．（2022·全國·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上．若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．解析：∵球的體積為，所以球的半徑，設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，，所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，，所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是．故選：C．★6．二面角模型如下圖，所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．如圖，設(shè)、為面與面的外接圓圓心，其半徑分別為、，兩相交面的二面角記為，公共弦為的弦長為，四面體球的半徑.兩圓、的弦心距:；兩圓、的圓心距:，由于四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑，而，則由正弦定理：，于是外接球的半徑可得，進一步整理： ①特別地，當(dāng)時，代入可得：②二．典例分析例10.已知是半徑為的球體表面上的四點，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．解析：解法1.（幾何推導(dǎo)）設(shè)球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，

∵，∴點為中點，則，由為外心，故，則，由題意可得平面，故平面與平面的夾角，即為的余角.在中，，，則由正弦定理可得，由球的半徑為，故，,由平面，平面，可得，則中，,即，故平面與平面的夾角為，故其余弦值為.故選:B.（解法2.二級結(jié)論）由于設(shè)分別為面，面的外接圓半徑，則，代入：，可得：，故平面與平面的夾角為，故其余弦值為.習(xí)題1．分別為菱形的邊的中點，將菱形沿對角線折起，使點不在平面內(nèi)，則在翻折過程中，以下命題正確的是.（寫出所有正確命題的序號）①平面；②異面直線與所成的角為定值；③在二面角逐漸漸變小的過程中，三棱錐的外接球半徑先變小后變大；④若存在某個位程，使得直線與直線垂直，則的取值范圍是.解析：①由分別為菱形的邊的中點，故，平面ABD，故平面；②取中點，連接，由于菱形，所以，可證得平面，故，又，故，異面直線與所成的角為定值.③借助極限狀態(tài)，當(dāng)平面與平面重合時，三棱錐的外接球即為以三角形的外接圓為圓心，半徑為半徑的球，當(dāng)二面角變大時球心離開平面，但球心在平面的投影仍然為三角形的外接圓的圓心，故二面角不為0時，外接球半徑一定大于三角形的外接圓半徑，故三棱錐的外接球半徑不可能先變小后變大.或者，由公式：，顯然錯.④．正確，故答案為：①②④習(xí)題2.在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π解析：當(dāng)三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，取的中點為，連接，則．設(shè)分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且,且平面，平面．平面平面，平面平面，平面，平面，，同理，四邊形為平行四邊形平面，平面，，即四邊形為矩形．，.外接球半徑，外接球的表面積為，選A．（方法2），面，面的外接圓半徑分別為，則，代入公式：，可得：，故外接球的表面積為，選A．★7．垂面模型此模型的解決方法與上一類型相似，只是此時二面角成為直二面角，需要注意的是，垂面模型多出現(xiàn)在面面翻折過程中，當(dāng)體積最大時，會出現(xiàn)面面垂直，這就相當(dāng)于一個90度的二面角，用上一類型的方法即可處理，只是該類題目出現(xiàn)較多，所以單獨整理.例11．在梯形中，，將沿折起，連接，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為__________．此時該三棱錐的外接球的表面積為__________．解析：如圖1,2過點C作，垂足為E，為等腰梯形，，.由余弦定理得，即，，易知，當(dāng)平面平面ABC時，三棱錐體積最大，此時，平面易知，，，記O為外接球球心，半徑為R，平面，，O到平面的距離又的外接圓半徑，，.故答案為：，例12.在邊長為6的菱形ABCD中，，現(xiàn)將沿BD折起到的位置，當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A．60π B．45π C．30π D．20π解析：當(dāng)三棱錐的體積最大值時，平面平面，如圖，取的中點為，連接，則．設(shè)分別為，外接圓的圓心，為三棱錐的外接球的球心，則在上，在上，且,且平面，平面．平面平面，平面平面，平面，平面，，同理，四邊形為平行四邊形平面，平面，，即四邊形為矩形．，.外接球半徑，外接球的表面積為，選A．★8．棱臺模型例13．（2022·全國·高考真題）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．★9．直角三角形共斜邊拼接例14．在矩形中，，沿將矩形折成一個直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．解析：設(shè)矩形對角線的交點為，則由矩形對角線互相平分，可知．∴點到四面體的四個頂點的距離相等，即點為四面體的外接球的球心，如圖所示．∴外接球的半徑．故．選C．例15．已知圓與圓相交于A，B兩點，將四邊形OACB沿對角線OC翻折成直二面角，則所得四面體OACB的外接球體積為（

）A． B． C． D．解析：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，，同理可得，如圖所示大致圖象，取的中點，連接，則，為四面體OACB的外接球的球心，為外接球的半徑，.故選：B.★10．最值問題例16．已知是邊長為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（

）．A． B． C． D．解：球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中，球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為．故選：C．例17．三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上，．若球M的表面積為，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A．24 B． C．27 D．解析：因為三棱錐的頂點都在以PC為直徑的球M的球面上，所以，又，，故面，又，故面，又面，故.球M的表面積為，設(shè)球的半徑為，則，解得，即，所以，，三棱錐的體積為，要使體積最大，即最大，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故體積的最大值為.故選：A.★11．球的截線問題對于定長型動點問題，即空間中動點滿足到某個定點的距離為定值，其實由球的定義可知，動點的軌跡即以定點為球心，定長為半徑的球.另一方面動點會在某個其他平面上運動，所以，這實際就是一個球的截線問題.處理這樣問題的關(guān)鍵點有兩個：第一，找到球在這個面的邊界點（利用已知數(shù)據(jù)計算），第二，找到這個截面的外接圓圓心，其利用球的截面性質(zhì)來算，做到上述兩點，這個問題就基本上能夠解決！當(dāng)然，坐標(biāo)法也是一個不錯的手段，等會例題中將會體現(xiàn).例18.（2020新高考1卷）已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．解析：如圖：解析：取的中點為，的中點為，的中點為，因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，<找到球在這個面的邊界點（利用已知數(shù)據(jù)計算）>.，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因為，所以側(cè)面，設(shè)為側(cè)面與球面的交線上的點，則，因為球的半徑為，，所以，所以側(cè)面與球面的交線上的點到的距離為，因為，所以側(cè)面與球面的交線是扇形的弧，因為，所以，所以根據(jù)弧長公式可得.故答案為：.例19.（24屆成都一診理數(shù)）已知高，底面半徑的圓錐內(nèi)接于球，則經(jīng)過和中點的平面截球所得截面面積的最小值為．解析：設(shè)球的半徑為，線段的中點為，因為，所以，解得，設(shè)經(jīng)過和中點的平面截球所得截面圓的圓心為，半徑為，球心到截面的距離，則，要截面面積最小，則要最小，即要最大，當(dāng)為點到的距離時最大，此時，又，所以，所以，故截面面積的最小值為.故答案為：.★12.外接球為媒介的立幾綜合例20．（湖北省武漢市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年九月調(diào)研考試）已知是半徑為的球體表面上的四點，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．解析：設(shè)球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，

∵，∴點為中點，則，由為外心，故，