數(shù)學(xué)考研試題答案網(wǎng)

一、單項選擇題(每題2分,共10題)1.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是(）A.1B.2C.3D.42.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$()A.0B.1C.-1D.不存在3.若矩陣$A$的秩為$r$,則以下說法正確的是()A.$A$的所有$r$階子式不為0B.$A$至少有一個$r$階子式不為0C.$A$的所有$r+1$階子式不為0D.$A$的所有$r-1$階子式不為04.設(shè)$y=e^{2x}$,則$y^\prime=$()A.$e^{2x}$B.$2e^{2x}$C.$e^x$D.$2e^x$5.曲線$y=x^3-3x$的拐點是()A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.$(2,2)$6.齊次線性方程組$Ax=0$($A$為$m\timesn$矩陣)只有零解的充分必要條件是()A.$r(A)\ltn$B.$r(A)=n$C.$r(A)\gtn$D.$r(A)=m$7.設(shè)隨機變量$X$服從正態(tài)分布$N(0,1)$,則$P(X\leq0)=$()A.0.25B.0.5C.0.75D.18.函數(shù)$f(x,y)=x^2+y^2$在點$(1,1)$處沿向量$\vec{a}=(1,1)$方向的方向?qū)?shù)為()A.$2\sqrt{2}$B.$\sqrt{2}$C.2D.49.級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$是()A.發(fā)散的B.條件收斂的C.絕對收斂的D.不確定10.已知向量組$\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0),\vec{\alpha}_3=(0,0,1)$,則向量組的秩為()A.1B.2C.3D.0二、多項選擇題(每題2分,共10題)1.下列函數(shù)中,在定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=\sqrt{x}$D.$y=e^x$2.下列矩陣運算中,正確的有()A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$(當(dāng)$AB=BA$時)C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$D.$A^0=E$($A$可逆時)3.以下哪些是求函數(shù)極值的方法(）A.第一充分條件B.第二充分條件C.拉格朗日乘數(shù)法D.牛頓迭代法4.設(shè)$A$、$B$為$n$階方陣,且$AB=0$,則以下說法正確的有()A.$r(A)+r(B)\leqn$B.若$r(A)=n$,則$B=0$C.若$A\neq0$,則$B=0$D.若$r(B)=n$,則$A=0$5.下列級數(shù)中,收斂的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$6.設(shè)隨機變量$X$服從二項分布$B(n,p)$,則以下正確的有()A.$E(X)=np$B.$D(X)=np(1-p)$C.$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$D.$X$只能取非負(fù)整數(shù)7.對于多元函數(shù)$z=f(x,y)$,以下說法正確的有()A.若偏導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)一定連續(xù)B.若函數(shù)可微,則偏導(dǎo)數(shù)一定存在C.若偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),則函數(shù)可微D.函數(shù)連續(xù),則偏導(dǎo)數(shù)一定存在8.下列向量組中,線性相關(guān)的有（）A.$\vec{\alpha}_1=(1,1,1),\vec{\alpha}_2=(2,2,2)$B.$\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0),\vec{\alpha}_3=(1,1,0)$C.$\vec{\alpha}_1=(1,2,3),\vec{\alpha}_2=(4,5,6),\vec{\alpha}_3=(7,8,9)$D.$\vec{\alpha}_1=(1,0,0),\vec{\alpha}_2=(0,1,0),\vec{\alpha}_3=(0,0,1)$9.以下哪些是線性代數(shù)中的二次型相關(guān)概念()A.二次型矩陣B.標(biāo)準(zhǔn)形C.規(guī)范形D.正定二次型10.設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上可積,則以下正確的有()A.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$($k$為常數(shù))D.$\int_{a}^f(x)dx=f(c)(b-a)$（$c\in[a,b]$,根據(jù)積分中值定理）三、判斷題(每題2分,共10題)1.若函數(shù)$f(x)$在點$x_0$處可導(dǎo),則$f(x)$在點$x_0$處一定連續(xù)。（)2.方陣$A$可逆的充要條件是$|A|\neq0$。()3.若級數(shù)$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收斂,則$\lim_{n\to\infty}a_n=0$。（)4.函數(shù)$y=\tanx$的定義域為$R$。()5.對于任意矩陣$A$和$B$,都有$(AB)^2=A^2B^2$。(）6.若隨機變量$X$和$Y$相互獨立,則$E(XY)=E(X)E(Y)$。（)7.二元函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處的偏導(dǎo)數(shù)$f_x(x_0,y_0)$表示函數(shù)在該點沿$x$軸方向的變化率。()8.向量組中向量個數(shù)大于向量維數(shù)時,向量組一定線性相關(guān)。()9.若矩陣$A$的特征值都不為0,則$A$可逆。(）10.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān),與積分變量用什么字母表示無關(guān)。（）四、簡答題(每題5分,共4題)1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的單調(diào)區(qū)間。答案:對$f(x)$求導(dǎo)得$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)\gt0$,解得$x\lt0$或$x\gt2$,此為單調(diào)遞增區(qū)間;令$f^\prime(x)\lt0$,解得$0\ltx\lt2$,此為單調(diào)遞減區(qū)間。2.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$,求其逆矩陣。答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$,則$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。3.求極限$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$。答案:根據(jù)等價無窮小,當(dāng)$x\to0$時,$e^x-1\simx$,所以$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1$。4.簡述判斷級數(shù)斂散性的比較判別法。答案:設(shè)$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$為正項級數(shù),且$0\lequ_n\leqv_n$。若$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$收斂,則$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$收斂;若$\sum_{n=1}^{\infty}u_n$發(fā)散,則$\sum_{n=1}^{\infty}v_n$發(fā)散。五、討論題(每題5分,共4題)1.討論線性方程組解的情況與系數(shù)矩陣、增廣矩陣秩的關(guān)系。答案:設(shè)線性方程組$Ax=b$,$A$為系數(shù)矩陣,$\overline{A}$為增廣矩陣。若$r(A)=r(\overline{A})=n$($n$為未知數(shù)個數(shù)),有唯一解;若$r(A)=r(\overline{A})\ltn$,有無窮多解;若$r(A)\ltr(\overline{A})$,無解。2.探討多元函數(shù)可微、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)之間的關(guān)系。答案:可微能推出偏導(dǎo)數(shù)存在且函數(shù)連續(xù);偏導(dǎo)數(shù)存在不一定可微也不一定連續(xù);函數(shù)連續(xù)不能推出偏導(dǎo)數(shù)存在,也不能推出可微。即可微要求最高,偏導(dǎo)數(shù)存在和連續(xù)相對較弱且相互不能直接推導(dǎo)。3.談?wù)勗趯嶋H問題中如何運用拉格朗日乘數(shù)法求函數(shù)的最值。答案:首先明確目標(biāo)函