第五章3.1復(fù)數(shù)的三角表示式3.2復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的幾何意義基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)復(fù)數(shù)的幾何意義,了解復(fù)數(shù)的三角表示.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式之間的關(guān)系.3.了解復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)一

復(fù)數(shù)的三角表示式

這個(gè)式子稱為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的

,簡(jiǎn)稱三角形式.為了與三角形式區(qū)分,a+bi稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式,簡(jiǎn)稱代數(shù)形式.

當(dāng)z=r(cosθ+isinθ)≠0時(shí),z的輻角有無(wú)窮多個(gè)值,這些值相差2π的整數(shù)倍.三角表示式

為確定起見,將滿足條件0≤θ<2π的輻角值,稱為

,記作argz,即0≤argz<2π.每一個(gè)非零復(fù)數(shù)有唯一的模與輻角的主值,并且可由它的模與輻角的主值唯一確定.因此,兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.如果z=0,那么與它對(duì)應(yīng)的向量

縮成一個(gè)點(diǎn)(零向量),它的方向是任意的,所以復(fù)數(shù)0的輻角也是任意的.

非零復(fù)數(shù)的輻角不唯一,輻角的主值唯一輻角的主值

名師點(diǎn)睛1.復(fù)數(shù)的三角形式的特征:(1)模r≥0.(2)括號(hào)內(nèi)需滿足:前余弦,后正弦,角相同.(3)cos

θ與isin

θ之間用加號(hào)連結(jié).簡(jiǎn)單地說(shuō),復(fù)數(shù)三角形式的結(jié)構(gòu)特征是:模非負(fù),角相同,余弦前,加號(hào)連.不符合條件的都不是三角形式.2.在復(fù)數(shù)的三角形式中,幅角θ的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z).但為了簡(jiǎn)單起見,復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式時(shí),一般將θ寫成主值.思考辨析1.復(fù)數(shù)0的輻角是多少,輻角主值是多少?

2.把一個(gè)復(fù)數(shù)表示成三角形式時(shí),輻角θ一定要取主值嗎?提示

0的輻角是任意角,輻角主值是[0,2π)內(nèi)任一角.過(guò)關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)×××××2.[人教A版教材習(xí)題]將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式:解(1)6=6(cos

0+isin

0).知識(shí)點(diǎn)二

復(fù)數(shù)三角形式的乘法法則與幾何意義1.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘,積的模等于它們的模的

,積的輻角等于它們輻角的

.

簡(jiǎn)單地說(shuō),兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為:模數(shù)相乘,輻角相加.積

和

2.復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的幾何意義

θ2>0,逆時(shí)針;θ2<0,順時(shí)針

思考辨析一個(gè)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量無(wú)論順時(shí)針旋轉(zhuǎn),還是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)一致嗎?提示

不一致,根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義可知,所得到的向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)與旋轉(zhuǎn)方向有關(guān).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(2)若argz1=α,argz2=β,則arg(z1·z2)=α+β.(

)√×2.把復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量繞原點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為(

)

A.a-bi B.-a+biC.b-ai D.-b+aiC解析

按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,即將復(fù)數(shù)與cos(-90°)+isin(-90°)相乘,∴所求復(fù)數(shù)為(a+bi)·(-i)=b-ai.知識(shí)點(diǎn)三

復(fù)數(shù)三角形式的除法法則與幾何意義1.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的三角表示兩個(gè)復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的

.

簡(jiǎn)單地說(shuō),兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式相除的法則為:模數(shù)相除,輻角相減.差

2.復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的幾何意義

θ2>0,順時(shí)針;θ2<0,逆時(shí)針

自主診斷判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)√×重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一復(fù)數(shù)的三角形式【例1】

將下列復(fù)數(shù)表示成三角形式(輻角取主值).(1)5i;(2)8;(3)-3-3i;(4)-1+i.(2)因?yàn)閞=8,cos

θ=1,sin

θ=0,所以θ=0,所以8=8(cos

0+isin

0).規(guī)律方法

復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi化為復(fù)數(shù)三角形式的一般步驟(2)由tan

θ=及點(diǎn)(a,b)所在象限求出復(fù)數(shù)的一個(gè)輻角(一般情況下,只需求出復(fù)數(shù)的輻角主值即可);(3)寫出復(fù)數(shù)的三角形式.變式訓(xùn)練1將下列復(fù)數(shù)中代數(shù)形式的表示成三角形式(輻角取主值),三角形式的表示成代數(shù)形式.(1)-1;解

(1)因?yàn)閞=1,cos

θ=-1,sin

θ=0,所以θ=π,于是-1=cos

π+isin

π.探究點(diǎn)二復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算【例2】

計(jì)算下列各式:(3)(cos36°+isin36°)5.解

(1)原式=21(cos

π+isin

π)=-21.(3)原式=cos(5×36°)+isin(5×36°)=cos

180°+isin

180°=-1.規(guī)律方法

兩個(gè)復(fù)數(shù)三角形式乘法的法則可簡(jiǎn)記為,模數(shù)相乘,輻角相加,并且可以作以下推廣:(1)有限個(gè)復(fù)數(shù)相乘,結(jié)論亦成立.即z1·z2·…·zn=r1(cos

θ1+isin

θ1)·r2(cos

θ2+isin

θ2)·…·rn(cos

θn+isin

θn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)].(2)當(dāng)z1=z2=…=zn=z時(shí),即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ,有zn=[r(cos

θ+isin

θ)]n=rn(cos

nθ+isin

nθ),這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則,即:模數(shù)乘方,輻角n倍.變式訓(xùn)練2計(jì)算下列各式:(2)3(cos18°+isin18°)·2(cos54°+isin54°)·5(cos108°+isin108°);(2)原式=3×2×5[cos(18°+54°+108°)+isin(18°+54°+108°)]=30(cos

180°+isin

180°)=-30.探究點(diǎn)三復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算解

原式=9[cos(270°+90°)+isin(270°+90°)]=9(cos

360°+isin

360°)=9.規(guī)律方法

進(jìn)行兩個(gè)復(fù)數(shù)的三角形式除法運(yùn)算時(shí),將模對(duì)應(yīng)相除等于商的模,用被除數(shù)輻角減去除數(shù)的輻角等于商的輻角,即可得兩個(gè)復(fù)數(shù)的除法結(jié)果.探究點(diǎn)四復(fù)數(shù)乘除法運(yùn)算的幾何意義【例4】

已知復(fù)數(shù)乘法(x+yi)(cosθ+isinθ)(x,y∈R,i為虛數(shù)單位)的幾何意義是將復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角,則將點(diǎn)(6,4)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為

.

解析

復(fù)數(shù)乘法(x+yi)(cos

θ+isin

θ)(x,y∈R,i為虛數(shù)單位)的幾何意義是將復(fù)數(shù)x+yi在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ角,則將點(diǎn)(6,4)繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

得到的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為變式探究若將條件“逆時(shí)針?lè)较颉备臑椤绊槙r(shí)針?lè)较颉?其結(jié)果如何?規(guī)律方法

逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與復(fù)數(shù)的乘法的幾何意義相對(duì)應(yīng);順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)與復(fù)數(shù)的除法的幾何意義相對(duì)應(yīng).可簡(jiǎn)記為“逆乘順除”四個(gè)字.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)復(fù)數(shù)的三角形式及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化;(2)復(fù)數(shù)在三角形式下的乘法、除法運(yùn)算;(3)復(fù)數(shù)在三角形式下的乘法、除法運(yùn)算的幾何意義.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)輻角和輻角主值容易混淆;(2)若arg

z1=α,arg

z2=β,則arg(z1·z2)不一定為α+β,arg()不一定為α-β.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1231.復(fù)數(shù)z=-sin100°+icos100°的輻角主值是