第二章本章總結(jié)提升知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

易錯(cuò)易混·銜接高考知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一向量的線性運(yùn)算1.向量的線性運(yùn)算包括平面向量及其坐標(biāo)運(yùn)算的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算,以及平面向量基本定理、共線(平行)向量基本定理,主要考查向量的線性運(yùn)算和根據(jù)線性運(yùn)算求參數(shù)問題.2.向量是一個(gè)有“形”的幾何量,因此在研究向量的有關(guān)問題時(shí),一定要結(jié)合圖形進(jìn)行分析判斷求解,特別是平行四邊形法則和三角形法則的應(yīng)用.【例1】

(1)已知向量a=(2,1),b=(-3,4),則2a-b等于(

)A.(7,-2) B.(1,-2) C.(1,-3) D.(7,2)A解析

∵a=(2,1),b=(-3,4),∴2a-b=2(2,1)-(-3,4)=(4,2)-(-3,4)=(7,-2).規(guī)律方法

向量線性運(yùn)算的基本方法(1)類比法:向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,例如,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”是指向量,實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).(2)方程法:向量也可以通過列方程來解,把所求向量當(dāng)作未知數(shù),利用解方程的方法求解,同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察,恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用運(yùn)算律,簡(jiǎn)化運(yùn)算.B專題二向量的數(shù)量積運(yùn)算1.平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容,重點(diǎn)是數(shù)量積的運(yùn)算,利用向量的數(shù)量積判斷兩向量平行、垂直,求兩向量的夾角,計(jì)算向量的長(zhǎng)度等.2.通過向量的數(shù)量積運(yùn)算,有助于提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.規(guī)律方法

(1)向量數(shù)量積的兩種計(jì)算方法①當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí),可利用定義法求解,即a·b=|a||b|cos

θ;②當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.(2)利用向量數(shù)量積可以解決以下問題:①設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0(a,b均為非零向量);②求向量的夾角和模的問題,變式訓(xùn)練2已知平面向量a,b滿足|a|=,|b|=1.(1)若|a-b|=2,試求a與b的夾角的余弦值;(2)若對(duì)一切實(shí)數(shù)x,|a+xb|≥|a+b|恒成立,求a與b的夾角.(2)設(shè)a與b的夾角為φ,φ∈[0,π].由|a+xb|≥|a+b|,得(a+xb)2≥(a+b)2,即x2b2+2xa·b-2a·b-b2≥0,專題三數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”就是借助圖形、符號(hào)和文字所作的示意圖,它能促進(jìn)形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展,溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征,它是解決問題時(shí)常用的方法.在解決平面向量的實(shí)際問題時(shí),結(jié)合題目情景,可將問題抽象出一個(gè)幾何圖形(一般利用三角形、平行四邊形、矩形為主),可以直觀形象地反映問題中的元素和量的關(guān)系,有助于提升學(xué)生的直觀想象的思維能力.【例3】

已知向量a與b不共線,且|a|=|b|≠0,則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.向量a+b與a-b垂直 B.向量a-b與a垂直C.向量a+b與a垂直 D.向量a+b與a-b共線A規(guī)律方法

通過本題可以得出:模相等且不共線的兩向量的和與兩向量的差垂直.以上可以作為結(jié)論記住.變式訓(xùn)練3已知非零向量a,b,且|a|=|b|=|a+b|.求:(1)a與b的夾角;(2)b與a-b的夾角.專題四平面向量在幾何、物理中的應(yīng)用1.向量方法解決平面幾何問題的步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題.(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.2.用向量方法討論物理學(xué)中的相關(guān)問題,一般來說分為四個(gè)步驟:(1)問題轉(zhuǎn)化,即把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(2)建立模型,即建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型.(3)求解參數(shù),即求向量的模、夾角、數(shù)量積等.(4)回答問題,即把所得的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題.【例4】

[2024浙江杭州高二質(zhì)檢]如圖,點(diǎn)P,Q分別是矩形ABCD的邊DC,BC上的點(diǎn),AB=2,AD=.變式訓(xùn)練4一艘船以5km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛,該船實(shí)際航行方向與水流方向成30°角.求水流速度與船的實(shí)際速度.專題五余弦定理、正弦定理與解三角形1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形,判斷三角形的形狀、求三角形的面積以及余弦定理、正弦定理簡(jiǎn)單的綜合應(yīng)用.2.借助解三角形,有助于提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【例5】

在△ABC中,A=60°,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求△ABC的面積.規(guī)律方法

1.通過正弦定理和余弦定理,化邊為角(如a=2Rsin

A,a2+b2-c2=2abcos

C等),利用三角形變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷.此時(shí)注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系,如在△ABC中,sin

A=sin

B?A=B;sin(A-B)=0?A=B;sin

2A=sin

2B?A=B或A+B=等.變式訓(xùn)練5[人教A版教材習(xí)題]已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且acosC+asinC-b-c=0.(1)求A;(2)若a=2,則△ABC的面積為,求b,c.專題六余弦定理、正弦定理的實(shí)際應(yīng)用1.余弦定理和正弦定理在實(shí)際生活中,有著非常廣泛的應(yīng)用,常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解此類問題,關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖,將問題抽象為三角形的模型,然后利用定理求解.注意隱含條件和最后的還原檢驗(yàn).2.將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角形模型,有助于提升邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力.規(guī)律方法

正弦、余弦定理在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)注意的問題(1)分析題意,弄清已知元素和未知元素,根據(jù)題意畫出示意圖.(2)明確題目中的一些名詞、術(shù)語的意義,如仰角、俯角、方向角、方位角等.(3)將實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題,利用學(xué)過的幾何知識(shí),作出輔助線,將已知與未知元素歸結(jié)到同一個(gè)三角形中,然后解此三角形.(4)在選擇關(guān)系時(shí),一是力求簡(jiǎn)便,二是要盡可能使用題目中的原有數(shù)據(jù),盡量減少計(jì)算中誤差的積累.變式訓(xùn)練6某大廈是某市最高的標(biāo)志性建筑.某學(xué)習(xí)小組要完成兩個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè):驗(yàn)證某地圖軟件測(cè)距的正確性及測(cè)算該大廈的高度.如圖1,在一水平路面上有兩點(diǎn)A,B,其中

指向正西方向,首先利用地圖測(cè)距功能測(cè)出AB長(zhǎng)度為2km,接著在另一水平路面上選定可直接測(cè)距的C,D兩點(diǎn),測(cè)得∠BCA=30°,∠ACD=45°,∠BDC=60°,∠ADB=30°,學(xué)習(xí)小組根據(jù)上述條件計(jì)算出CD長(zhǎng)度,并將其與CD的實(shí)際長(zhǎng)度2.84km進(jìn)行比較,若誤差介于-20米~20米之間,則認(rèn)為地圖測(cè)距是正確的.圖1圖2易錯(cuò)易混·銜接高考123451.[2024新高考Ⅰ,3]已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=(

)A.-2 B.-1 C.1 D.2D解析

∵a=(0,1),b=(2,x),∴b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x-4).∵b⊥(b-4a),∴b·(b-4a)=0,即(2,x)·(2,x-4)=4+x(x-4)=0,∴x=2.123452.[2024北京,5]已知向量a,b,則“(a+b)·(a-b)=0”是“a=b或a=-b”的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要的條件A解析

若“a=b或a=-b”,則a+b=0或a-b=0,故“(a+b)(a-b)=0”,必要性成立,反之不一定成立.故選A.123453.[2024新高考Ⅱ,3]已知向量a,b滿足|a|=1,|a+2b|=2,且(b