第二章1.1位移、速度、力與向量的概念1.2向量的基本關(guān)系基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解位移、速度和力等向量的實際背景,初步認(rèn)識現(xiàn)實生活中向量和數(shù)量的區(qū)別.2.理解平面向量的概念,掌握向量的模、零向量、單位向量、相等向量、平行(共線)向量、相反向量等概念.3.掌握平面向量的表示方法.4.了解向量的夾角.基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過1.向量的背景及向量的概念(1)位移、速度和力這些物理量都是既有大小又有方向的量.(2)向量:既有大小又有方向的量統(tǒng)稱為向量.

向量可平移,為自由向量(3)數(shù)量:那些只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量(如年齡、長度、體重、面積、體積等).(4)有向線段:在物理學(xué)中,位移、速度和力通常用一條帶箭頭的線段表示,箭頭表示這些量的方向,線段長度表示這些量的大小.在數(shù)學(xué)中,這種具有方向和長度的線段稱為

.(如圖)以A為起點,B為終點的有向線段,記作

.線段AB的長度稱為有向線段

的長度,記作

.

有向線段

2.向量的表示方法(1)幾何表示:向量可以用有向線段表示,其中有向線段的長度表示向量的大小,箭頭所指的方向表示向量的方向.(2)字母表示:向量也可以用黑斜體小寫字母如a,b,c,…或,…(書寫)來表示.3.有關(guān)概念(1)向量a的大小,記作|a|,又稱作

.

(2)長度為0的向量稱為

,記作0或

.任何方向都可以作為零向量的方向.

(3)模等于1個單位長度的向量稱為

.

向量的模

零向量

單位向量

名師點睛1.由于向量不僅有大小,而且有方向,故向量不能比較大小,向量的模是一個非負(fù)實數(shù),因此向量的?？梢员容^大小.2.零向量的長度為零,但方向不確定,是任意的.由于零向量的特殊性,解答問題時,要看清是零向量還是非零向量.思考辨析1.有向線段就是向量,向量就是有向線段嗎?

2.兩個單位向量的方向相同嗎?提示

有向線段是一個幾何圖形,是向量的直觀表示.因此,有向線段與向量是完全不同的兩個概念.提示

兩個單位向量的方向不一定相同.自主診斷

[人教A版教材習(xí)題]指出圖中各向量的長度.(規(guī)定小方格的邊長為0.5)2.有向線段就是向量,向量就是有向線段嗎?提示

有向線段是一個幾何圖形,是向量的直觀表示.因此,有向線段與向量是完全不同的兩個概念.3.兩個單位向量的方向相同嗎?提示

兩個單位向量的方向不一定相同.知識點二

相等向量與共線向量1.相等向量是指它們的長度相等且方向相同.向量a與b相等,記作a=b.2.共線向量:若兩個非零向量a,b的方向相同或相反,則稱這兩個向量為共線向量或平行向量,也稱這兩個向量共線或平行,記作a∥b.

兩種說法是一樣的兩個向量共線或平行,是指表示這兩個向量的有向線段所在的直線重合或平行.3.相反向量:若兩個向量的長度相等、方向相反,則稱它們互為相反向量.相反向量是共線向量.若其中一個向量為a,則它的相反向量記作-a.4.規(guī)定零向量與任一向量共線,即對于任意的向量a,都有0∥a.零向量的相反向量仍是零向量.名師點睛1.共線向量(1)向量共線時,向量所在的直線平行或重合.(2)向量共線中的“共線”的含義不是平面幾何中的“共線”的含義,共線向量有四種情況:方向相同且模相等;方向相同但模不相等;方向相反且模相等;方向相反但模不相等.(3)如果兩個向量所在的直線平行或重合,則這兩個向量是共線向量.(4)任一向量都與它本身是共線向量.2.相等向量(1)兩個向量只有當(dāng)它們的模相等,且方向相同時,才能稱它們相等,例如a=b就意味著|a|=|b|,且a與b的方向相同.(2)任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段表示,并且與有向線段的起點無關(guān),只有大小和方向兩個要素.(3)向量是可以平行移動的,用有向線段表示向量時,可任意選擇起點,即任意一組平行向量都可以移到同一條直線上.(4)在平面內(nèi),相等的向量有無數(shù)多個,它們的方向相同且長度相等.相等向量是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.思考辨析1.單位向量是相等向量嗎?

2.若,則點A,B,C,D有何位置關(guān)系?提示

方向相同的單位向量是相等向量;方向不相同的單位向量不是相等向量.提示

A,B,C,D可能共線也可能AB∥CD.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)若a=b,b=c,則a=c.(

)(2)若非零向量,那么AB∥CD.(

)√×2.如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點,四邊形BCGF是平行四邊形,試分別寫出與

共線及相等的向量.知識點三

向量的夾角1.定義:已知兩個非零向量a和b,如圖,在平面內(nèi)選一點O,作

,則θ=∠AOB(0°≤θ≤180°)稱為向量a與b的夾角.

兩個向量同起點當(dāng)θ=0°時,a與b同向;當(dāng)θ=180°時,a與b反向;當(dāng)θ=90°時,a與b垂直,記作a⊥b.2.規(guī)定零向量可與任一向量垂直,即對于任意的向量a,都有0⊥a.

名師點睛對向量的夾角的理解(1)向量夾角的幾何表示.依據(jù)向量夾角的定義,兩非零向量的夾角是將兩個向量的起點移到同一點,這樣它們所成的角才是兩個向量的夾角.如圖①②③④⑤,已知兩向量a,b,作

,則∠AOB為a與b的夾角.(2)注意事項.①向量的夾角是針對非零向量定義的;②向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的,它們分別是[0,π]和[0,].自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)兩個向量的夾角為銳角或直角.(

)(2)在△ABC中,角B為向量

的夾角.(

)(3)零向量與任一向量既平行又垂直.(

)××√2.試指出圖中向量的夾角.θ0°180°θ重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一向量的有關(guān)概念【例1】

給出以下說法:①若|a|=0,則a為零向量;②單位向量都相等;③若a與b共線,則a與b的方向相同或相反;④向量的模一定是正數(shù);⑤起點不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量;⑥向量

是共線向量,則A,B,C,D四點必在同一直線上.其中正確說法的序號是

.

①⑤

解析

①正確,模等于0的向量是零向量;②錯誤,單位向量模都相等,但方向不一定相同,因此,單位向量不一定相等;③錯誤,由于零向量與任一向量共線,且方向是任意的,因此,當(dāng)a與b共線且其中有一個零向量時,它們的方向不一定相同或相反;④錯誤,向量的模是非負(fù)實數(shù),可能是零;⑤正確,對于一個向量只要不改變其模的大小和方向,是可以任意移動的,因此相等向量可以起點不同;⑥錯誤,共線向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求兩個向量必須在同一直線上.規(guī)律方法

向量及其相關(guān)概念的注意事項(1)區(qū)分向量與數(shù)量.向量既強調(diào)大小,又強調(diào)方向,而數(shù)量只與大小有關(guān).(2)明確向量與有向線段的區(qū)別.有向線段有三要素,即起點、方向、長度,只要起點不同,另外兩個要素相同也不是同一條有向線段;但決定向量的要素只有大小和方向,與表示向量的有向線段的起點無關(guān).(3)零向量和單位向量都是通過模的大小來規(guī)定的.(4)平行向量也叫共線向量,當(dāng)兩個共線向量的方向相同且模相等時,兩個向量為相等向量.變式訓(xùn)練1下列說法正確的是(

)A.數(shù)量可以比較大小,向量也可以比較大小B.向量的?？梢员容^大小C.模為1的向量都是相等向量D.由于零向量的方向不確定,因此零向量不能與任意向量平行B解析

向量不能比較大小,故A錯誤;向量的模是一個數(shù)量,可以比較大小,故B正確;相等向量不但模相等,方向也相同,故C錯誤;規(guī)定零向量與任意向量平行,故D錯誤.探究點二向量的表示【例2】

一輛汽車從點A出發(fā)向正西方向行駛了100km到達(dá)點B,然后又改變方向向北偏西40°行駛了200km到達(dá)點C,最后又改變方向,向正東行駛了100km到達(dá)點D.解

(1)所作向量如圖所示.規(guī)律方法

1.作平面向量時既要考慮向量的大小,又要考慮其方向和起點,必要時可以建立坐標(biāo)系輔助作圖.2.準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點,再確定向量的方向,然后根據(jù)向量的模的大小確定向量的終點.變式訓(xùn)練2在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格的邊長均為1),用直尺畫出下列向量:探究點三相等向量與共線(平行)向量【例3】

(1)如圖,D,E,F分別是△ABC各邊上的中點,四邊形BCMF是平行四邊形,則與向量

模相等且共線的向量的個數(shù)是

.

7(2)O是正方形ABCD對角線的交點,四邊形OAED,OCFB都是正方形,在如圖所示的向量中:規(guī)律方法

相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量:先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是與已知向量方向相同的向量.(2)尋找共線向量:先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向與反向的向量,注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點,起點為終點的向量.變式訓(xùn)練3(1)如圖,D,E,F分別是正三角形ABC各邊的中點.(2)如圖,已知四邊形ABCD中,M,N分別是BC,AD的中點,.求證:CNMA.所以AN=MC,且AN∥MC,所以四邊形AMCN是平行四邊形,從而CN=MA,且CN∥MA,即CNMA.探究點四向量的夾角90°30°解析

如圖,顯然AE⊥EC,AE平分∠BAC,規(guī)律方法

求兩個向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合,作兩個向量的夾角,按照“一作二證三算”的步驟求出.A.30°

B.60°

C.120°

D.150°C探究點五用向量關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)【例5】

規(guī)律方法

利用向量關(guān)系證明或判斷線段平行或相等的方法(1)證明或判斷線段相等,只需證明或判斷相應(yīng)向量的長度(模)相等.(2)證明線段平行,先證明相應(yīng)的向量共線,再說明線段不重合.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)向量的概念及表示;(2)向量的相關(guān)概念:零向量、單位向量、相等向量、共線向量(平行向量),向量的夾角.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):零向量和單位向量的方向容易混淆;容易忽視兩個向量夾角定義中的同起點.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12341.下列說法正確的是(

)A.若|a|=|b|,則a=bC.若a∥b