一.概述

地圖制圖數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)模型與地圖制圖模型相結(jié)合的一門邊緣學(xué)科。它用數(shù)學(xué)方法模擬制圖物體的分布規(guī)律，建立制圖物體分布的數(shù)學(xué)模型及地圖要素（現(xiàn)象）的分類分級數(shù)學(xué)模型，為數(shù)字環(huán)境下的地圖制圖綜合，地圖設(shè)計和地理信息系統(tǒng)中地理數(shù)據(jù)分析處理并輸出地圖奠定基礎(chǔ)。地圖制圖數(shù)學(xué)模型不僅用于進(jìn)行制圖綜合的研究，在專題地圖制圖數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用也很廣泛，主要體現(xiàn)在要素分級數(shù)據(jù)處理和多維統(tǒng)計數(shù)據(jù)的聚類分析等方面。1.地圖制圖數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用范圍a.用于研究制圖綜合的數(shù)學(xué)模型

i)確定選取指標(biāo)的數(shù)學(xué)模型

ii)結(jié)構(gòu)選取的數(shù)學(xué)模型

iii)圖形化簡的數(shù)學(xué)模型

b.用于研究地圖要素分級的數(shù)學(xué)模型

c.用于研究地圖制圖中多維變量分類的數(shù)學(xué)模型2.建立地圖制圖數(shù)學(xué)模型的過程和方法i)數(shù)據(jù)采集

ii)數(shù)據(jù)處理

iii)數(shù)學(xué)模型的選擇和設(shè)計

ix)制圖模型的設(shè)計和建立二.地圖制圖回歸模型1.定義：

回歸模型就是從一組地圖制圖要素的數(shù)據(jù)出發(fā)，確定這些要素之間的定量表述形式。在回歸模型中，被回歸的變量用y表示，稱為因變量；影響y的其他變量用x表示，稱為自變量。2.分類：a.一元回歸b.多元回歸a.一元回歸模型一元線性回歸模型兩個變量x和y之間是線性關(guān)系，叫一元線性回歸。關(guān)系：誤差：對a,b求偏導(dǎo):ii)一元非線性回歸模型

如果x和y之間的關(guān)系表現(xiàn)為非線性的，通過簡單的數(shù)學(xué)變換，使其化為線性的，這樣就可以利用線性回歸的方法來解決非線性的問題。

關(guān)系：檢驗：*當(dāng)x,y存在冪函數(shù)的關(guān)系時b.多元回歸模型i)多元線性回歸模型關(guān)系：檢驗：ii)多元非線性模型關(guān)系：復(fù)相關(guān)指數(shù)：檢驗：3.地圖制圖中的回歸模型a.一元回歸模型地圖制圖中的一元回歸模型指圖上選取數(shù)量或選取百分比的值隨實(shí)地某一指標(biāo)的變化而變化，有時是指地圖上某一現(xiàn)象隨另一種現(xiàn)象的變化而變化。i)確定居名地選取指標(biāo)的一元回歸模型根據(jù)制圖綜合原理，資料圖上居名地密度越大，新編地圖上居名地選取程度越低。居名地選取程度同居民地密度之間存在著相關(guān)關(guān)系。關(guān)系：ii)確定河流密度的一元回歸模型河網(wǎng)密度是確定河流選取標(biāo)準(zhǔn)的基本依據(jù)。關(guān)系：

L----河流總長度

p----河流流域面積b.多元回歸模型

多元回歸模型是指因變量y隨多個自變量x的變化而變化。在制圖綜合數(shù)學(xué)模型中，一般要用到兩個變量。i)確定居名地選取指標(biāo)的多元回歸模型確定居名地選取指標(biāo)的多元回歸模型采用居名地密度，人口密度和選取程度（或選取數(shù)量）三個因子之間的關(guān)系，進(jìn)行多元回歸分析。關(guān)系：

—居名地密度（實(shí)地密度為個/100k㎡，資料圖上密度為個/d㎡）

—人口密度（人/k㎡）

—待定參數(shù)ii)確定河流選取指標(biāo)的多元回歸模型

以往確定河流的選取標(biāo)準(zhǔn)時，通常是根據(jù)該地區(qū)的河網(wǎng)密度K確定基本的選取標(biāo)準(zhǔn)。事實(shí)上，河流的選取還與單位面積河流的條數(shù)有關(guān)。關(guān)系：

三.地圖制圖中的方根模型1.定義：新編圖與資料圖上某類制圖物體數(shù)量之比同兩種地圖比例尺分母之比的開方根有著密切的關(guān)系，故稱為方根模型。2.分類：a.方根選取規(guī)律的基本模型b.方根選取規(guī)律的通用模型a.基本模型*公式：

—資料圖上的物體數(shù)量

—新編圖上選取物體數(shù)量

—資料圖比例尺分母

—新編圖比例尺分母*意義：新編圖選取的物體個數(shù)，可由資料圖上的物體個數(shù)乘以資料圖與新編圖比例尺分母之比的平方根來確定。i)在測量及制圖實(shí)踐中，等高距Z可用測圖比例尺的分母M來表示。

關(guān)系：一般形式:ii)實(shí)地尺度規(guī)律線狀物體的地圖尺度規(guī)律面狀制圖物體的地圖尺度規(guī)律iii)單個物體的情況:n----地圖上物體的數(shù)量d----地圖上物體的間隔l----地圖上相應(yīng)于L的距離b.通用模型在基本選取模型中增加符號尺度系數(shù)和物體重要性系數(shù)。關(guān)系：

—符號尺度系數(shù)

—物體重要性系數(shù)★i)符號尺度系數(shù)的確定（1）當(dāng)符號尺度符合方根規(guī)律時，地圖符號按比例尺分母的比率縮小，（2）符號尺度不符合方根規(guī)律，又不相等時，要分線狀和面狀兩種情況考慮?！艟€狀物體的尺度系數(shù)符號尺度符合方根規(guī)律符號尺度不符合方根規(guī)律◆面狀物體的尺度系數(shù)（3）新編圖和資料圖上符號尺度相等時也分為兩種情況◆線狀物體尺度系數(shù)◆面狀物體尺度系數(shù)ii)物體的重要性系數(shù)物體重要性系數(shù)為（1）重要物體的重要性系數(shù)在*式中，令x=1，

重要物體的重要性系數(shù)大于1（2）一般物體的重要性系數(shù)在*式中，令x=0，

一般物體選取時，可以不考慮重要性系數(shù)（3）次要物體的重要性系數(shù)在*式中，令x=-1，

次要物體的重要性系數(shù)小于13.選取系數(shù)和選取級在★式中，令k=,則有式中，k為選取系數(shù)。影響k的因素有三個：地圖比例尺，物體的重要性，符號尺度。關(guān)系：

k=線狀物體：面狀物體：4.開方根模型在地圖制圖中的應(yīng)用開方根模型為制圖綜合提供較為客觀而簡單易行的數(shù)字標(biāo)準(zhǔn)。開方根模型的適應(yīng)性非常強(qiáng)，可以用于地圖各要素的制圖綜合。a.獨(dú)立地物的選?。篵.河流的選?。篶.居名地的選?。?/p>

四.地圖制圖分級模型

在地圖制圖中，對要素空間分步的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行分析后建立分級模型，采用等值線法或分級統(tǒng)計圖表法編制成地圖，用于反映要素在空間分布的規(guī)律性和一定的定性質(zhì)量差異。要素數(shù)據(jù)的分級主要包括兩個方面，即分級數(shù)的確定和分級界限的確定。1.等差分級模型*分類：a.界限等差分級模型相臨分級界限相差一個常數(shù)kb.間隔遞增等差分級模型相臨分級之間隔遞增一個常數(shù)ka.界限等差分級b.間隔遞增等差分級模型2.等比分級模型等比分級模型也分為兩種：

a.界限等比分級模型

b.間隔等比分級模型a.界限等比分級模型i)分級不從0開始ii)分級從0開始b.間隔等比分級模型i)當(dāng)q=0時,=L+H-L=H,無意義,所以q≠0ii)當(dāng)0<q<1時,按上式計算得分級間隔會出現(xiàn)間隔很大,向高值越接近,間隔值越小的情況。iii)當(dāng)q=1時,根據(jù)上式有界限等差分級可以看作間隔等比分級的特例。ix)當(dāng)q>1時，向高值越接近間隔值越大，同時q的取值越大，則間隔之間的差異越大，一般q不宜取得過大。*小結(jié)：等差分級模型和等比分級模型的優(yōu)點(diǎn)是分級界限嚴(yán)格按照數(shù)學(xué)法則確定。3.統(tǒng)計分級模型

在統(tǒng)計分級模型中，分級界限的確定以一些統(tǒng)計量為基礎(chǔ)。這類分級模型確定的分級界限能較好的反映數(shù)據(jù)的分布特征。a.面積相等分級模型此模型的特點(diǎn)是各個等級在圖上占有相等的面積。先作面積對統(tǒng)計值的累加頻率曲線，對代表面積百分?jǐn)?shù)的縱軸進(jìn)行等分，橫軸上相應(yīng)點(diǎn)即為分級界限。此法適用于統(tǒng)計單元全部與面積有關(guān)的情況，它的前提是各統(tǒng)計單元的面積必須已知。b.正態(tài)分布分級模型在地圖上表示與區(qū)域面積分布有關(guān)的現(xiàn)象分級時，往往最大和最小數(shù)據(jù)值的級別所占面積較小，而越向中間級別靠近數(shù)據(jù)所占面積越大，基本上具有正態(tài)分布函數(shù)的特征。五.地圖制圖分類模型

在地圖制圖中，經(jīng)常會遇到多維變量的分類問題，一般采用聚類分析方法。聚類分析又稱為群分析，是研究樣本或變量指標(biāo)分類問題的一種多元統(tǒng)計方法。首先認(rèn)為所研究的樣本或指標(biāo)之間存在著不同程度的相似性，根據(jù)各樣本的多個觀測指標(biāo)找出一些能度量樣本或指標(biāo)之間相似程度的統(tǒng)計量，作為劃分類型的依據(jù)，將相似程度較大的樣本聚合為類。對呈地域分布的地理現(xiàn)象，能相應(yīng)的編制出類型圖或區(qū)劃圖。根據(jù)分類對象的不同有Q型聚類分析（對樣本分類）和R型聚類分析（對變量分類）兩種。

設(shè)有N個樣本,每個樣本測得M項指標(biāo).將每個樣本看作M維空間中的一個向量:

變量數(shù)據(jù)矩陣為:1.Q型聚類分析常用的統(tǒng)計量

a.距離系數(shù)

b.相似系數(shù)a.距離系數(shù)對樣本進(jìn)行分類時，個體之間上午相似性程度往往用“距離”來度量。地圖制圖數(shù)據(jù)處理中常用的距離是：馬氏距離

歐氏距離b.相似系數(shù)為了對樣本進(jìn)行分類，可以用某些數(shù)值的相似性變量來表示樣本之間的相互關(guān)系。相似系數(shù)是表示樣本間關(guān)系的常用方法。相似系數(shù)一般有夾角余弦和相關(guān)系數(shù)。i)夾角余弦ii)相關(guān)系數(shù)2.R型聚類分析常用的統(tǒng)計量

a.距離系數(shù)

b.相似系數(shù)a.距離系數(shù)

距離系數(shù)是最常用的分類統(tǒng)計量。b.相似系數(shù)

i)夾角余弦ii)相關(guān)系數(shù)3.地圖制圖數(shù)據(jù)類型劃分的系統(tǒng)聚類模型

a.基本原理

b.聚類方法

c.應(yīng)用舉例a.基本原理系統(tǒng)聚類法是應(yīng)用地最多的一種句類方法。這種方法的基本思想是：先將n個樣本各自歸為一類，計算它們之間的距離，選擇距離最小的兩個樣本歸為一個新類；計算新類和其它樣本的距離，選擇距離最小的兩個樣本和新類歸為另一個新類，每次合并縮小為一個類，一直到所有樣本劃為所需分類的數(shù)目為止。b.聚類方法i)最短距離法ii)最長距離法iii)重心法ix)離差平方和法c.應(yīng)用舉例4.變量平均值逐步代替模型（貝利模型）該模型同樣是根據(jù)某種相似性統(tǒng)計量進(jìn)行分類。該模型的特點(diǎn)是，在每依次合并后，需要根據(jù)合并樣圖各指標(biāo)的平均值重新計算新的距離系數(shù)，此時距離系數(shù)矩陣為｛（n-1)×(n-1)｝，再在新的距離系數(shù)矩陣中進(jìn)行聚類。如此逐步計算和合并直到達(dá)到所需分類的數(shù)目。5.樹狀圖表分類模型