高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省信陽市商城縣各高中2025屆高三下學(xué)期聯(lián)考模擬（二）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合A=2,3,4,B=3,4,5，則A∩B=A．2,3 B．3,4 C．4,5 D．2,3,4,5【答案】B【解析】因?yàn)锳=2,3,4,B=3,4,5故選：B.2．已知復(fù)數(shù)z=1+3ii，則z-A．-2i B．2 C．0 D．【答案】A【解析】因?yàn)閦=1+3所以z=3+所以z-z故選：A3．若雙曲線x2a2-yA．12 B．55 C．2 D【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線x2a2所以ba=2，所以雙曲線的離心率為故選：D.4．已知cosα+β=-12,A．-5 B．-15 C．15【答案】A【解析】由cosα+β=-12,兩式相加可得：2cosαcos兩式相減可得：2sinαsin故tanα故選：A.5．已知向量a=2,1,b=1,2，則A．85,45 B．45,【答案】A【解析】因?yàn)閍=所以a?b=4則b在a上的投影向量的坐標(biāo)為a?故選：A.6．已知等比數(shù)列an的公比q≠1，前n項(xiàng)和為Sn，若S3=14，3aA．2×3n-1 B．3n C．2×【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1a由題意可得S3所以an故選：C7．P是圓x-a22+y-a2=1上的動(dòng)點(diǎn)，QA．2-1 B．2 C．728【答案】A【解析】由題意得，圓x-a22+y-a因?yàn)?a,a)到直線y=x+2的距離d=2所以直線與該圓相離，所以|PQ|的最小值為d-r=2故選：A.8．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足a=5,b=8,c=7，若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則PAA．44 B．49 C．88 D．98【答案】B【解析】cosB=25+49-642×5×7所以S由面積公式可知，12所以PA?PB+PB?PC+PA?PC=40，由余弦定理可知，PA2PA2故選：B二、多選題9．已知函數(shù)fx=1A．fx是奇函數(shù) B．fC．fx有三個(gè)零點(diǎn) D．f【答案】ABC【解析】因?yàn)閒x=1且f-x=-13x因?yàn)閒'x=x2-4，所以x<-2或x>2時(shí)，f'(x)>0，當(dāng)-2<x<2時(shí)，所以2,-2分別為極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，故B正確；因?yàn)閒-4根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，可知fx有三個(gè)零點(diǎn)，故C由B選項(xiàng)中推理可知，fx在定義域上不是單調(diào)函數(shù)，故D錯(cuò)誤故選：ABC10．有甲，乙兩個(gè)袋子，甲袋中有大小和質(zhì)地相同的2個(gè)紅球，2個(gè)黑球，乙袋中有大小和質(zhì)地相同的2個(gè)紅球、1個(gè)黑球．現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)袋子中各隨機(jī)一次取出2個(gè)球，設(shè)事件A1=“甲袋中取出2個(gè)紅球”，A2=“甲袋中取出1個(gè)紅球、1個(gè)黑球”，B1=“乙袋中取出2個(gè)紅球”，B2=“乙袋中取出1個(gè)紅球、1個(gè)黑球”，C=“甲、乙兩個(gè)袋子中取出A．事件A1與A2是對(duì)立事件 B．事件B1C．事件A2與C相互獨(dú)立 D．事件B2與【答案】BC【解析】PA1=PB1=C=“甲、乙兩個(gè)袋子中取出3個(gè)紅球、1個(gè)黑球”，所以C包含的基本事件為：甲袋中取出2個(gè)紅球，乙袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黑球或甲袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，乙袋中取出2個(gè)紅球，PC對(duì)于A，甲袋中取球可能為2個(gè)紅球，1個(gè)紅球、1個(gè)黑球或2個(gè)黑球，所以事件A1與A2不是對(duì)立事件，故對(duì)于B，乙袋中取球可能為2個(gè)紅球，1個(gè)紅球、1個(gè)黑球，因此B1∪B2為必然事件，所以事件B1對(duì)于C，事件A2C表示甲袋中取出1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，乙袋中取出所以PA2C=C29=23×13故C正確.對(duì)于D，事件B2C表示甲袋中取出2個(gè)紅球，乙袋中取出1個(gè)紅球，1所以PB2C=C19≠23×13所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，P，Q為底面ABCD內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PA=2PB．設(shè)PDA．P的軌跡是圓（部分） B．θ的最大值為πC．S0=33 D．【答案】ABD【解析】以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC，BA，BB1所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x,y,0)，則A(0,2,0)，因?yàn)閨PA|=2|PB|，所以(x-0)2即x2所以點(diǎn)P的軌跡為以點(diǎn)E0,-23,0為圓心，要使得PD1與底面ABCD所成的角最大，則此時(shí)DP=DE-4從而tanθ=DD1DP=1，所以S0=S設(shè)點(diǎn)Q到D1P的距離為因?yàn)镾△所以點(diǎn)Q在以D1P為軸，半徑為2的圓柱與底面又圓柱的軸D1P與底面ABCD的夾角為所以點(diǎn)Q的軌跡是橢圓（部分）.故選：ABD.三、填空題12．已知函數(shù)f(x)=sin2x+3cos2x【答案】π【解析】∵f∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=故答案為π.13．甲、乙兩人進(jìn)行射擊比賽，每次由其中一人射擊，規(guī)則如下：若擊中則此人繼續(xù)射擊，若未擊中則換對(duì)方射擊．無論之前射擊情況如何，甲每次射擊的命中率均為56，乙每次射擊的命中率均34，第一次射擊的人是甲、乙的概率各為12【答案】163【解析】記“第i次射擊的人是甲”為事件Ai，“第i次射擊的人是乙”為事件B設(shè)PAi=則PA即pi+1設(shè)pi+1+λ=712p又p1=12，則p1-3即pi-3則第i次射擊的人是甲的概率為-1當(dāng)i=3時(shí)，-故答案為：16328814．已知矩形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)分別為A0,0,Ba,0,ca,b,D0,ba>0,b>0，一質(zhì)點(diǎn)從線段AB上某一點(diǎn)M處（不包含端點(diǎn)），沿與AB夾角為60°的方向射到邊BC上，再依次反射到邊CD，【答案】3【詳析】如圖所示，質(zhì)點(diǎn)由Q1出發(fā)依次經(jīng)BC，CD，DA反射后到達(dá)線段AB，相當(dāng)于直線Q1Q2又因?yàn)镸3a,2b,N2a,2b即2b2a<3故答案為：32四、解答題15．已知函數(shù)fx（1）求曲線y=fx在0,f（2）若a=e2,x∈解：（1）由函數(shù)fx=x2可得f0=0，且所以切線的斜率為k=0，切點(diǎn)為0,-2，則所求切線方程為y=-2．（2）由（1）得，當(dāng)a=e2時(shí)，可得當(dāng)x∈1,2時(shí)，f'x<0，函數(shù)當(dāng)x∈2,3時(shí)，f'x>0，函數(shù)而f1所以函數(shù)fx的值域?yàn)?216．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，AB=2,∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．（1）求證：平面ABCD⊥平面BDEF；（2）求四面體ADEF的體積；（3）求直線AD與平面ABF所成角的余弦值．（1）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接FO．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點(diǎn)，F(xiàn)A=FC，所以AC⊥FO．又FO∩BD=O,FO,BD?平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF．又AC?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面BDEF．（2）解：由題知DB=DF=BF=2,AO⊥平面BDEF，VA-DEF（3）解：連接DF，因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF為等邊三角形．因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以FO⊥BD．又AC⊥FO,AC∩BD=O，AC，BD?平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD．故OA，OB，OF兩兩垂直，所以建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示，因?yàn)锳B=2，四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，所以BD=2,AC=23．因?yàn)椤鱀BF所以O(shè)F=3．所以A所以AD=設(shè)平面ABF的法向量為n=x,y,z令x=1，解得n=設(shè)AD與平面ABF所成角為θ，則AD與平面ABF所成角的正弦值為sinθ=cosθ=所以AD與平面ABF所成角的余弦值為10517．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．（1）若△ABC為銳角三角形，C=2A,a=2，求c的取值范圍；（2）若a2+1（1）解：根據(jù)正弦定理得asin因?yàn)镃=2A，化簡(jiǎn)得asin即2sinA=因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，C為銳角，2A=C<πB為銳角，所以π–A-C<π2，由C=2A從而解得π6<A<π因?yàn)閏=4cosA，所以（2）證明：因?yàn)閍2所以12所以32b=2ccos即3acos由正弦定理得3sin所以A,C都不為直角，即tanC=318．某企業(yè)生產(chǎn)的系列玻璃器皿產(chǎn)品成功入選“一帶一路十周年·國禮品牌”．其中某型號(hào)高腳杯的軸截面為拋物線C，如圖1所示．往高腳杯中緩慢倒水，當(dāng)杯中的水深為1cm時(shí)，水面寬度為4cm，如圖2所示．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，P，Q是拋物線C上異于點(diǎn)O的兩點(diǎn)，且滿足OP?（1）求拋物線C的方程；（2）求證：直線PQ過定點(diǎn)；（3）過點(diǎn)O作PQ的垂線，垂足為H．是否存在一個(gè)定點(diǎn)到點(diǎn)H的距離為定值?如果存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．（1）解：設(shè)拋物線的方程為x2由題知A1,2，代入拋物線方程，可得2解得p=2，所以，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2（2）證明：設(shè)直線PQ的方程為y=mx+b，Px聯(lián)立y=mx+bx2=4y，得xx1x2=-4b，因?yàn)閥1因?yàn)镺P?OQ=0，所以x1x因?yàn)镻Q不經(jīng)過點(diǎn)O，所以b=0舍去．所以直線PQ的方程為y=mx+b=mx+4，所以直線PQ過定點(diǎn)0,4．（3）解：存在定點(diǎn)，理由如下：由（2）得直線PQ過定點(diǎn)0,4，過點(diǎn)O作PQ的垂線，垂足為H．所以O(shè)H⊥PQ，定點(diǎn)G0,4在PQ上，即OH⊥GH故點(diǎn)H在以O(shè)G為直徑的圓周上，圓心為OG的中點(diǎn)．因?yàn)?0,0,C0,4，所以O(shè)G因?yàn)閳A心0,2到圓周上的點(diǎn)H的距離等于半徑1，故存在點(diǎn)0,2到點(diǎn)H的距離是定值．19．已知數(shù)列an滿足a（1）求證：數(shù)列an-1為等比數(shù)列，并求數(shù)列（2）為慶祝“五一”國際勞動(dòng)節(jié)，立德中學(xué)各班將要舉辦“致敬勞動(dòng)者，禮贊新時(shí)代”的主題活動(dòng)，要求有一些含學(xué)科元素的游戲或節(jié)目．某班想用（1）中的數(shù)列an組織如下游戲：讓參與的同學(xué)在數(shù)列an中隨機(jī)抽取10項(xiàng)，如果在這10項(xiàng)中，至少有k項(xiàng)的值能被（?。┰O(shè)隨機(jī)變量X表示抽取項(xiàng)中能被2025整除的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求EX（ⅱ）本著開心迎五一的原則，若要求中獎(jiǎng)概率大于90%，那么規(guī)定k=3是否符合要求