高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河北省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榧希?，?故選：B.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得，.故選：D3.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為，則“在第二象限”是“在第三象限”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】設(shè)，則.若A在第二象限，則，，則，，所以B在第三象限.反之亦成立，所以“A在第二象限”是“B在第三象限”的充要條件.故選：A.4.如圖，這是古代的一個(gè)青花竹石芭蕉紋玉壺春瓶，忽略花瓶的厚度，該花瓶的軸截面的上半部分對應(yīng)的曲線是雙曲線（焦距為12.3cm）的一部分，且該花瓶的頸部最窄處的直徑為4.1cm，則該雙曲線的離心率為（）A.4 B. C.3 D.2【答案】C【解析】設(shè)雙曲線的焦距為，實(shí)軸長為.依題意可得，，則.故選：C.5.若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，結(jié)合題意作出的大致圖象，如圖所示，由圖可知，不等式的解集為.故選：B.6.若點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向，點(diǎn)在點(diǎn)的南偏西方向，且，則向量表示（）A.從點(diǎn)出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)B.從點(diǎn)出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)C.從點(diǎn)出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)2kmD.從點(diǎn)出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)2km【答案】C【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東方向?yàn)檩S的正方向，正北方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，依題意可得，設(shè)，因?yàn)?，所以四邊形為菱形，則，則為正三角形，所以，故向量表示從點(diǎn)出發(fā)，朝北偏西方向移動(dòng)2km.故選：C7.已知的內(nèi)角的對邊分別為，為邊上一點(diǎn)，且，，當(dāng)在變化時(shí)，點(diǎn)總在橢圓上，則該橢圓的長軸長為（）A.6 B. C. D.3【答案】A【解析】由及余弦定理，得，整理得，即，故該橢圓的長軸長為.故選：A8.在空間中，過點(diǎn)作三條線段，，，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與所成角的正弦值的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】先證：三余弦定理：設(shè)為平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)的斜線在平面上的正投影為直線．為平面內(nèi)的一條直線，記斜線與直線的夾角（即直線與平面所成角）為，直線與直線的夾角為，直線與直線的夾角為，則．三余弦定理描述了線面角是斜線與平面內(nèi)任意直線所成角的最小值，又稱最小角定理．如圖，不妨設(shè)在平面的射影為，則，過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，連接，即為斜線與平面所成角，即為斜線在平面的射影直線與平面內(nèi)的直線所成角，即為斜線與平面內(nèi)的直線所成角，，，，又，，，平面，平面，平面，，根據(jù)幾何關(guān)系可得，，．由題意：直線與所成角的最小值為直線與平面所成的角.設(shè)平分.因?yàn)椋栽谄矫嫔系纳溆盀?，則為直線與平面所成的角.由三余弦定理得：，則，故直線與所成角的正弦值的最小值為.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.現(xiàn)有一組數(shù)據(jù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為B.這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為2C.從這組數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相等的概率為D.用這組數(shù)據(jù)的7個(gè)數(shù)可組成個(gè)不同的七位數(shù)【答案】BCD【解析】對于A，這個(gè)數(shù)的均值為，故A錯(cuò)誤；對于B，這個(gè)數(shù)由小到大的排列為，而，故這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第三個(gè)數(shù)即，故B正確；對于C，從這組數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)數(shù)，總的取法數(shù)為，而從這組數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)數(shù)，兩數(shù)相等，只有，共有種，故從這組數(shù)據(jù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)相等的概率為，故C正確；對于D，先從位數(shù)的的位置中選個(gè)位置給兩個(gè)，有種位置排法，同理兩個(gè)有排法種，余下個(gè)位置排，有種排法，故共有個(gè)不同的七位數(shù)，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，，則（）A.與在上都單調(diào)遞增B.與在上都單調(diào)遞減C.將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象D.將的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的圖象【答案】BC【解析】因?yàn)?，，對于A選項(xiàng)，由，得，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由，得，，則與在上都單調(diào)遞減，B正確；對于C選項(xiàng)，將的圖象向右平移個(gè)單位長度后，得到的圖象，C正確.對于D選項(xiàng)，將的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到的圖象，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.若曲線既關(guān)于軸對稱，又關(guān)于軸對稱，還關(guān)于原點(diǎn)對稱，則稱為全對稱曲線.已知曲線，直線與曲線恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則（）A.曲線對全對稱曲線B.的取值范圍是C.使得為正整數(shù)的共有37個(gè)D.曲線上存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)，使得點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到一條定直線的距離【答案】ABD【解析】對于A，設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，則仍然在曲線上，故曲線關(guān)于關(guān)于軸對稱，又關(guān)于軸對稱，還關(guān)于原點(diǎn)對稱，故曲線對全對稱曲線，故A正確；對于B，因?yàn)榧礊榛颍罢叩慕裹c(diǎn)坐標(biāo)為，后者的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故曲線由兩條拋物線構(gòu)成（如圖所示）：而為過的動(dòng)直線，無論取何值，直線與拋物線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線與無交點(diǎn)，故即無解，故只需，此時(shí)或，故B正確；對于C，由B的討論可得直線與拋物線恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，由得，故，而，故,而，故存在個(gè)，使得為正整數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，因?yàn)榧礊?，取定直線，對于拋物線，由拋物線的定義可知該拋物線上的任意一點(diǎn)，它必定滿足到的距離等于到準(zhǔn)線的距離，故D正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若平面截球所得截面圓的半徑為1，且球心到截面的距離為，則球的表面積為______________.【答案】【解析】因?yàn)槠矫娼厍蛩媒孛鎴A的半徑為1，且球心到截面的距離為，故球的半徑，故球的表面積為，故答案為：.13.函數(shù)的定義域?yàn)開_________，值域?yàn)開_________.【答案】；【解析】因?yàn)?，所以恒成立，由，得，則的定義域?yàn)?，，故的值域?yàn)?故答案為：；14.某校學(xué)生在研究民間剪紙藝術(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)一張正方形紙可以被剪成個(gè)正方形紙片（整張紙都要用完，不能裁剪一部分丟掉）.例如，下面兩個(gè)圖就給出了兩種剪法，分別剪成了4個(gè)正方形紙片和6個(gè)正方形紙片.事實(shí)上，除了可以等于4或6外，還可以等于無數(shù)個(gè)值，在①，②，③，④，⑤這五個(gè)的可能取值中，所有可能取值的序號為__________.【答案】②③④⑤【解析】對于①，若原正方形紙被剪成5個(gè)正方形，則原正方形四個(gè)角分別屬于其中4個(gè)正方形，第5個(gè)正方形無論在邊上還是在內(nèi)部都無法還原成大正方形，所以不可能，故①錯(cuò)誤；對于②，考慮到，所以可以依照圖1的方式來剪紙.對于③，同理，考慮到，所以也可以同圖1的方式來剪紙.對于④，可以依照圖2的方式來剪紙.對于⑤，因?yàn)闉槠椒綌?shù)，一定滿足題意，只需按照題干中的A種剪法即可，邊長剪成45個(gè)小正方形即可，所以可以取到.故這五個(gè)n的可能取值中，所有可能取值的序號為②③④⑤.故答案為：②③④⑤四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.馬球在中國古代叫“擊鞠”，始于漢代，興盛于唐宋時(shí)期.2008年6月7日，馬球經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)列入第二批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.已知某地馬球俱樂部舉行一場馬球比賽，甲、乙兩支馬球隊(duì)參賽，比賽共進(jìn)行三局，每支馬球隊(duì)每局贏的概率均為，沒有平局，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.（1）在甲馬球隊(duì)贏了第一局的前提下，求乙馬球隊(duì)最終贏的局?jǐn)?shù)多于甲馬球隊(duì)的概率.（2）已知馬球俱樂部為本場馬球比賽設(shè)置獎(jiǎng)勵(lì)，共贏得一局的馬球隊(duì)獲得1000元獎(jiǎng)勵(lì)，共贏得兩局的馬球隊(duì)獲得4000元獎(jiǎng)勵(lì)，共贏得三局的馬球隊(duì)獲得10000元獎(jiǎng)勵(lì)，贏得0局的馬球隊(duì)沒有獎(jiǎng)勵(lì).設(shè)甲馬球隊(duì)在這場馬球比賽中獲得的獎(jiǎng)勵(lì)為X元，求X的分布列與期望.解：（1）設(shè)“甲馬球隊(duì)贏得第i局比賽”，則，且，，兩兩相互獨(dú)立，設(shè)“乙馬球隊(duì)最終贏的局?jǐn)?shù)多于甲馬球隊(duì)”.，，所以，即在甲馬球隊(duì)贏了第一局的前提下，乙馬球隊(duì)最終贏的局?jǐn)?shù)多于甲馬球隊(duì)的概率為.（2）的可能取值為0，1000，4000，10000.設(shè)表示三局馬球比賽中甲馬球隊(duì)贏的局?jǐn)?shù)，則.，，，，則X的分布列為X01000400010000故.16.已知曲線.（1）在答題卡中畫出的大致圖形，并說明理由.（2）若是上的動(dòng)點(diǎn)，，，證明：為定值.（3）若直線與的所有交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和大于，求的取值范圍.解：（1）由，得或，所以C由兩條直線與圓組成.故C的圖形如圖所示.（2）因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓上，所以，所以為定值.（3）將代入，得，將代入，得，則.因?yàn)椋圆唤?jīng)過點(diǎn)，（，依題意可得，與圓的所有交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和大于.當(dāng)時(shí)，與C的所有交點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為，所以不符合題意.當(dāng)時(shí)，聯(lián)立消去x，得.因?yàn)閘過定點(diǎn)，且該點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以l與圓總有兩個(gè)交點(diǎn).設(shè)l與圓的交點(diǎn)為，，則，解得，故m的取值范圍為.17.如圖1，已知，，，，將沿邊折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且，如圖2，連接，得到四面體.（1）求四面體的體積；（2）求二面角的余弦值.解：（1）在中，因?yàn)?，所以，則.又，，平面，所以平面.因?yàn)?，，所以，所以四面體的體積為.（2）作，垂足為，作，在上.由（1）知平面，又平面，故.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：在中，，，則，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即令，得，故.易知平面的一個(gè)法向量為，則，顯然二面角為銳角，故二面角的余弦值為.18.已知函數(shù)，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，恒成立.（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（3）證明：且.（參考數(shù)據(jù)：取）解：（1）因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞減，所以.（2）.設(shè).因?yàn)?，所?由（1）知，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.（3）由（2）知，令，得在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.令，可得，則，則.令，可得，同理可得.故.19.若數(shù)列中的每一項(xiàng)均為整數(shù)，且中每一項(xiàng)的相反數(shù)均不為中的項(xiàng)，則稱為“無相反數(shù)列”.（1）若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，試問是否為“無相反數(shù)列”？說明你的理由.（2）若數(shù)列滿足，，求的通項(xiàng)公式，并判斷是否為“無相反數(shù)列”（需要說明理由）.（3）已知數(shù)列共有項(xiàng)，任取正整數(shù)、，若是中的項(xiàng)，則記為可加數(shù)對，設(shè)中的可加數(shù)對總數(shù)量為；若是中的項(xiàng)，則記為可減數(shù)對，設(shè)中的可減數(shù)對總數(shù)量為.已知可加數(shù)對與可減數(shù)對均為有序數(shù)對.（i）若為“無相反數(shù)列”，證明：.（ii）證明：.解：（1）是“無相反數(shù)列”.理由如下：依題意可得，則，則的公差，所以.設(shè)中存在兩項(xiàng)與互為相反數(shù)，則，得，所以中不存在互為相反數(shù)的兩項(xiàng)，故是“無相反數(shù)列”.（2）因?yàn)?，所以，則.因?yàn)?，所以?shù)列是第三項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則.因?yàn)椋?，所以與互為相反數(shù)，所以不是“無相反數(shù)列”.（3）（i）由題意知，對于總項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，其構(gòu)成的有序數(shù)對有個(gè).若為“無相反數(shù)列”，則不可能為中的項(xiàng)，則不是可減數(shù)對，這樣組成的數(shù)對有個(gè).又中每一項(xiàng)的相反數(shù)均不為中的項(xiàng)，所以當(dāng)為可減數(shù)對時(shí)，是中的項(xiàng)，且不是中的項(xiàng)，即必不為可減數(shù)對，從而可減數(shù)對的數(shù)量最多為，即