高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省佛山市H7聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.三個(gè)不同的盒子中分別裝有3張不同的白色卡牌?2張不同的黑色卡牌?2張不同的綠色卡牌，某人從這三個(gè)盒子中任意取出1張卡牌，則不同的取法有（）A.3種 B.7種 C.10種 D.12種【答案】B【解析】根據(jù)題意，不同的取法有種，故選：B..2.質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律做直線運(yùn)動(dòng)（位移單位：，時(shí)間單位：），則質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是其在時(shí)的瞬時(shí)速度的（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意，函數(shù)，可得，則，，所以，即質(zhì)點(diǎn)在時(shí)的瞬時(shí)速度是其在時(shí)的瞬時(shí)速度的.故選：A.3已知數(shù)列滿足，且，則（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】由題可得，猜測(cè)是周期為3數(shù)列，下證周期為3.因?yàn)?，?故是周期數(shù)列且周期為3.故.故選：A.4.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，?故選：C.5.在公差大于的等差數(shù)列中，，，則該數(shù)列的公差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，得，所以，即，又，解得.故選：D.6.現(xiàn)需要給一個(gè)四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)涂色，有四種不同的顏色可供選擇，要求相鄰頂（在同一條棱上的兩個(gè)頂點(diǎn)）不能涂同一種顏色，則不同的涂色方案種數(shù)為（）A.48 B.72 C.96 D.144【答案】B【解析】若用四種顏色，則同色或同色，則涂色方案有種；若用三種顏色，則同色且同色，則涂色方案有種.綜上，不同的涂色方案有種.故選：B7.函數(shù)的大致圖象如圖所示，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】即為或，故或，由圖可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的解為；的解為，所以的解集為.故選：D.8.從中任選4個(gè)不同的數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，若這個(gè)四位數(shù)是偶數(shù)，則個(gè)位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若個(gè)位上的數(shù)字是0，則這樣的四位偶數(shù)有個(gè)；若個(gè)位上的數(shù)字不是0，則這樣的四位偶數(shù)有個(gè).故四位數(shù)是偶數(shù)的有156個(gè).下面考慮這個(gè)四位數(shù)既滿足是偶數(shù)，又滿足個(gè)位?十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況：若個(gè)位?十位和百位上的數(shù)字都是偶數(shù)，則這樣的四位數(shù)有個(gè)；若個(gè)位?十位和百位上數(shù)字是1個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)，則當(dāng)這個(gè)偶數(shù)是0時(shí)，這樣的四位數(shù)有個(gè)，當(dāng)這個(gè)偶數(shù)不是0時(shí)，這樣的四位數(shù)有個(gè).綜上，滿足這兩個(gè)條件的四位數(shù)有60個(gè).故所求的概率為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則（）247A. B.C. D.【答案】BC【解析】由離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可得，解得，故A錯(cuò)誤，B正確;由期望公式可得，故C正確;錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知函數(shù)在處取得極值0，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，D.過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有一條【答案】ACD【解析】求導(dǎo)得，則，解得，，此時(shí)，由于，，，，所以滿足在處取得極大值，則，故A正確；則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則，故C正確；設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，又點(diǎn)在切線上，所以，整理得：，解得，所以過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且只有一條，故D正確.故選：ACD11.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.C.數(shù)列是等比數(shù)列D.若恒成立，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由題可知，則，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，，B正確；對(duì)于C，，所以，則，故不是等比數(shù)列，C錯(cuò)誤.對(duì)于D，由題可知易知當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，單調(diào)遞增且；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，單調(diào)遞減，且；若恒成立，則當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以.綜上，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】的展開式的通項(xiàng)公式，令，所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：13.將本不同的書（包括本數(shù)學(xué)書和本英語(yǔ)書）平均分給甲?乙?丙三人，其中數(shù)學(xué)書和英語(yǔ)書不能分給同一個(gè)人，則不同的分配方法種數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】方法一：先從甲?乙?丙三人中選一人，這個(gè)人既不分?jǐn)?shù)學(xué)書，又不分英語(yǔ)書，有種分配方法，再將數(shù)學(xué)書和英語(yǔ)書分給剩下兩人一人一本，最后把其余本書平均分給這兩個(gè)人，有種分配方法，綜上，不同的分配方法種數(shù)是.方法二：各選兩本書與數(shù)學(xué)書?英語(yǔ)書組成一組，然后再分配給三人，則不同分配方法種數(shù)是.故答案為：14.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即在上恒成立，所以在上恒成立，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）證明：.解：（1）由題可知，則，解得.又，所以點(diǎn)在切線上，故.（2）由（1）知，定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增.所以，故.16.已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.由，可得，兩式相減可得：，所以，兩式相減可得：，即.當(dāng)時(shí)，，解得，所以，故通項(xiàng)公式為.（2），則，則，①①得，②①②得，故.17.已知.（1）求的值；（2）求的值；（3）證明：能被3整除.解：（1）由的展開式中的系數(shù)為，所以，即解得.（2）由，令，得，令，得，兩式相減得.（3）證明：當(dāng)，可得，，所以能被3整除.18.甲?乙兩人參加某答題挑戰(zhàn)賽，規(guī)則如下：每次由其中一人答題，若答對(duì)了，則此人繼續(xù)答題，若未答對(duì)，則換對(duì)方答題，每次答題系統(tǒng)都會(huì)隨機(jī)地給出一道文學(xué)題或科學(xué)題，給出文學(xué)題的概率為，給出科學(xué)題的概率為.已知甲答對(duì)文學(xué)題與科學(xué)題的概率分別為，，乙答對(duì)文學(xué)題與科學(xué)題的概率均為，且各輪答題正確與否相互獨(dú)立.由抽簽確定第1次答題的人選，第1次答題的人是甲?乙的概率各為.（1）已知第1次甲答題，求甲答對(duì)題目的概率；（2）求第2次答題的人是乙的概率；（3）求第次答題的人是甲的概率.解：（1）甲答對(duì)題目的概率為.（2）乙答對(duì)題目的概率為.記“第次答題的人是甲”為事件，“第次答題的人是乙”為事件，所以.（3）設(shè)，依題可知，，則，即.設(shè)，解得，則.又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即.19.己知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是的零點(diǎn)，若在上，恒成立，則稱是上的“好函數(shù)”.（1）若函數(shù)是上的“好函數(shù)”，求整數(shù)的值.（2）已知函數(shù).（i）討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（ii）已知是的零點(diǎn)，證明：是上的“好函數(shù)”.（1）解：易知在上單調(diào)遞增，且，則是唯一的零點(diǎn).因?yàn)槭巧系摹昂煤瘮?shù)”，且，所以在上恒成立，即.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，所以整數(shù).（2）解：（i）因?yàn)?，且，所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，又，所以結(jié)合的單調(diào)性可知，在和上各恰有一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn).（ii）證明：①若，由（i）可知，在上沒(méi)有零點(diǎn)，且