高中同步學案優(yōu)化設計GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI6.2.3向量的數(shù)乘運算第六章內(nèi)容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課標闡釋1.通過實例分析,掌握平面向量數(shù)乘運算及運算律,理解其幾何意義.(數(shù)學抽象、直觀想象)2.理解兩個平面向量共線的含義.(數(shù)學抽象、直觀想象)3.了解平面向量的線性運算性質(zhì),能用已知向量表示未知向量.(數(shù)學運算、直觀想象)思維脈絡課前篇自主預習激趣誘思夏季的雷雨天,我們往往先看到閃電,后聽到雷聲,雷聲和閃電發(fā)生于同一點而傳到我們這兒為什么有個時間差?因為聲速與光速的大小不同,光速是聲速的88萬倍.若設光速為v1,聲速為v2,將向量類比于數(shù),則有v1=880000v2.對于880000v2,我們規(guī)定是一個向量,其方向與v2相同,其長度為v2長度的880000倍.這樣實數(shù)與向量的積的運算稱為向量的數(shù)乘.那么向量數(shù)乘的幾何意義及運算律是怎樣規(guī)定的呢?知識點撥知識點一、向量的數(shù)乘運算

定義一般地,我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記作λa長度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向與a的方向相同λ<0λa的方向與a的方向相反規(guī)定當λ=0或a=0時,λa=0名師點析(1)λa的幾何意義就是把向量a沿著與a相同(λ>0)或相反(λ<0)的方向伸長(|λ|>1)或縮短(|λ|<1)到原來的|λ|倍或|λ|.(2)要注意實數(shù)與向量可以求積,但是不能進行加減運算,如:2+a,1-0無意義.微練習(1)若|a|=3,|b|=,則|-2a|=

,|3b|=

.

(2)若a與b是相反向量,則5a與-4b的方向

.

(2)5a與a同向,-4b與b反向,而a與b是相反向量,所以5a與-4b的方向相同.知識點二、數(shù)乘向量的運算律1.數(shù)乘向量的運算律(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=λa+μa;(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地,有(-λ)a=-(λa)=λ(-a);λ(a-b)=λa-λb.2.向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.向量線性運算的結(jié)果仍是向量.對于任意向量a,b,以及任意實數(shù)λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.微練習已知向量a,請通過作圖判斷以下結(jié)論是否成立.(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.答案各式均成立(如圖).(1)3(2a)=6a;(2)(2+3)a=2a+3a;(3)2(a+b)=2a+2b.知識點三、向量共線定理1.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是:存在唯一一個實數(shù)λ,使

b=λa.2.要證明向量a(a≠0),b共線,只需證明存在實數(shù)λ,使得b=λa即可.要點筆記該定理中a≠0的原因(1)若a=b=0,則實數(shù)λ存在,但λ并不唯一,此時定理不成立.(2)若b≠0,a=0,則不存在實數(shù)λ,使b=λa,此時定理也不成立.微練習若向量e1,e2不共線,則下列各組中,向量a,b共線的有

.(填序號)

①a=2e1,b=-2e1;②a=e1-e2,b=-2e1+2e2;④a=e1+e2,b=2e1-2e2.答案①②③解析

①中,a=-b,所以a,b共線;②中,b=-2a,所以a,b共線;③中,a=4b,所以a,b共線;④中,不存在λ∈R,使a=λb,所以a,b不共線.課堂篇探究學習探究一向量的線性運算例1(1)化簡下列各向量表達式:分析(1)根據(jù)向量的線性運算法則求解.(2)運用實數(shù)的二元一次方程組的解法求解.解(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a.②原式=5a-4b+c-6a+4b-2c=-a-c.要點筆記向量數(shù)乘運算的方法向量的數(shù)乘運算類似于多項式的代數(shù)運算,如實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用,但是這里的“同類項”“公因式”指向量,實數(shù)看作是向量的系數(shù).A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示為a=

,b=

.

探究二用已知向量表示未知向量分析先用向量加減法的幾何意義設計好總體思路,然后利用平面圖形的特征和向量的數(shù)乘的幾何意義表示.(1)答案D反思感悟用已知向量表示其他向量的一般步驟

延伸探究本例(1)中,設AC與BD相交于點O,F是線段OD的中點,AF的延長線交DC于點G,試用a,b表示探究三向量共線問題(1)答案A,B,D反思感悟1.證明或判斷三點共線的方法(1)一般來說,要判定A,B,C三點是否共線,只需看是否存在實數(shù)λ,使得2.利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ,使得b=λa(a≠0).而已知向量共線求λ,常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應向量系數(shù)相等求解,利用待定系數(shù)法建立方程,從而解方程求得λ的值.若兩向量不共線,必有向量的系數(shù)為零.(1)求證:A,B,M三點共線;(2)若點B在線段AM上,求實數(shù)λ的取值范圍.素養(yǎng)形成解決三角形的四心問題

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

答案B方法點睛(1)三角形的內(nèi)心:三角形內(nèi)切圓的圓心,三角形三條角平分線的交點,內(nèi)心到三角形三邊的距離相等.(2)三角形的外心:三角形外接圓的圓心,三角形三條邊的中垂線的交點,外心到三角形三個頂點的距離相等.若M是△ABC內(nèi)一點,且滿足(3)三角形的垂心:三角形三條高線的交點.A.外心 B.重心 C.垂心 D.內(nèi)心

答案B當堂檢測1.設a是非零向量,λ是非零實數(shù),則下列結(jié)論正確的是(

)A.a與λa的方向相同 B.a與-λa的方向相反C.a與λ2a的方向相同 D.|λa|=λ|a|答案C解析因為λ≠0,所以λ2>0,于是向量a與λ2a的方向相同.2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(

)A.a-2b B.aC.a-6b D.a-8b答案D解析原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.答案C5.已知兩個非零向量