第六章6.1柱、錐、臺(tái)的側(cè)面展開與面積基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過對(duì)具體柱體、錐體、臺(tái)體結(jié)構(gòu)的分析,能探索出用展開的思想方法來研究其側(cè)面積.2.理解柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積和表面積計(jì)算公式及其使用范圍.3.能運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積和表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一

側(cè)面積的概念

不沿著母線剪開展開的平面圖形不易研究其側(cè)面積把柱、錐、臺(tái)的側(cè)面沿著它們的一條母線剪開后展開在一個(gè)平面上,

的面積就是它們的側(cè)面積.

名師點(diǎn)睛一個(gè)幾何體的表面積是指幾何體所有面的面積的和,也可以理解成幾何體的側(cè)面積與其底面積的面積之和,也稱為全面積.展開圖

思考辨析通過動(dòng)手折疊幾何體,能得出直棱柱的側(cè)面展開圖是什么圖形?如果直棱柱底面周長為c,側(cè)棱長為l,那么棱柱的側(cè)面積如何表示?提示

直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形,所以側(cè)面積為cl.自主診斷判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和.(

)(2)只有側(cè)面是平面的幾何體才能求其側(cè)面積.(

)(3)幾何體的平面展開方法可能不同,但其表面積唯一確定.(

)√×√知識(shí)點(diǎn)二

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積

幾何體側(cè)面展開圖形狀展開圖度量與幾何體度量的關(guān)系側(cè)面積公式圓柱

矩形的一邊長為母線長,另一邊長是圓柱底面周長S圓柱側(cè)=2πrlr:底面半徑,l:母線長圓錐

扇形的半徑為母線長,扇形的弧長為圓錐底面周長S圓錐側(cè)=πrlr:底面半徑,l:母線長幾何體側(cè)面展開圖形狀展開圖度量與幾何體度量的關(guān)系側(cè)面積公式圓臺(tái)

扇環(huán)的較短的弧長為圓臺(tái)上底面周長,較長的弧長為圓臺(tái)下底面周長S圓臺(tái)側(cè)=π(r1+r2)lr1,r2分別為圓臺(tái)上、下底面半徑,l為母線長名師點(diǎn)睛圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征比較結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺(tái)底面形狀兩個(gè)底面是平行且半徑相等的圓只有一個(gè)底面,且底面是圓兩個(gè)底面是平行但半徑不相等的圓側(cè)面展開圖形狀矩形扇形扇環(huán)母線平行且相等相交于頂點(diǎn)延長線交于一點(diǎn)平行于底面的截面形狀是與兩個(gè)底面平行且半徑相等的圓平行于底面且半徑不相等的圓是與兩個(gè)底面平行且半徑不相等的圓軸截面形狀矩形等腰三角形等腰梯形思考辨析圓柱、圓錐、圓臺(tái)三者的表面積公式之間有什么關(guān)系?提示

如圖所示.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(

)(2)若圓錐的母線長為l,底面圓的半徑為r,則一定有S圓錐側(cè)=πrl.(

)(3)圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖中的所有弧線都與相應(yīng)底面的周長有關(guān).(

)×√√2.

正四棱臺(tái)的上、下底面邊長分別為2cm,3cm,側(cè)棱長為cm,則棱臺(tái)的側(cè)面積為(

)B3.已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是多少?知識(shí)點(diǎn)三

直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積

幾何體側(cè)面展開圖的構(gòu)成側(cè)面積公式直棱柱矩形S直棱柱側(cè)=ch,

斜棱柱側(cè)面展開不是矩形,不能套用這個(gè)公式c是底面周長,h是高正棱錐由全等的等腰三角形拼接而成S正棱錐側(cè)=ch',c是底面周長,h'為斜高正棱臺(tái)由全等的等腰梯形拼接而成S正棱臺(tái)側(cè)=(c+c')h',c,c'分別為上、下底面周長,h'為斜高

名師點(diǎn)睛1.對(duì)于直棱柱,其側(cè)面積可以用公式計(jì)算,也可以將其每一個(gè)側(cè)面的面積分別計(jì)算,然后相加;對(duì)于正棱錐和正棱臺(tái),其側(cè)面積可以由其一個(gè)側(cè)面的面積乘以側(cè)面的個(gè)數(shù)來計(jì)算,因?yàn)樗鼈兊膫?cè)面都是全等的三角形或梯形.2.對(duì)于正棱錐和正棱臺(tái)來說,其斜高是指其側(cè)面等腰三角形或等腰梯形的高,它與正棱錐、正棱臺(tái)的高是不同的.思考辨析直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積公式之間有何聯(lián)系?提示

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)(1)側(cè)面積公式S棱柱側(cè)=cl(其中c為底面周長,l為棱柱側(cè)棱長)僅適用于正棱柱.(

)(2)正棱錐側(cè)面積公式S正棱錐側(cè)=ch'中c為底面周長,而h'為正棱錐的高.(

)××2.正三棱柱的底面邊長為1,側(cè)棱長為2,則它的側(cè)面積為

,表面積為

.

6重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一簡單旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積【例1】

(1)若一個(gè)圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為3的等邊三角形,則該圓錐的表面積是(

)D(2)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是3和4,母線長為6,則其表面積等于(

)A.72 B.42πC.67π D.72πC解析

S圓臺(tái)表=S圓臺(tái)側(cè)+S上底+S下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.規(guī)律方法

旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積和表面積的求解策略(1)簡單旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積與表面積計(jì)算的關(guān)鍵是熟記公式,靈活套用.要弄清圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖的形狀以及展開圖中各線段長(弧長)與原幾何體有關(guān)量的關(guān)系.(2)求圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積和表面積,關(guān)鍵是求出它們的底面半徑以及母線長.通常借助它們的軸截面來求底面半徑及母線長,其中圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面分別是矩形、等腰三角形、等腰梯形.變式訓(xùn)練1一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖恰好是一個(gè)半徑為1的半圓,則該圓錐的表面積為(

)A探究點(diǎn)二簡單多面體的側(cè)面積與表面積【例2】

已知正四棱錐的底面邊長為4cm,高與斜高的夾角為30°,則該正四棱錐的側(cè)面積等于______________cm2.32

解析

如圖所示,正四棱錐的高PO、斜高PE、底面邊心距OE組成Rt△POE.規(guī)律方法

求多面體的側(cè)面積或表面積的技巧方法(1)對(duì)于直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái),求其側(cè)面積與表面積的關(guān)鍵是求出它們的基本量,如底面邊長、高、斜高等,然后套用公式計(jì)算.(2)對(duì)于一般的棱柱、棱錐、棱臺(tái),求其側(cè)面積時(shí),一般是將其每一個(gè)側(cè)面的面積分別求出來,然后相加.(3)注意合理運(yùn)用多面體的特征幾何圖形,如棱柱中的矩形、棱臺(tái)中的直角梯形、棱錐中的直角三角形,它們是聯(lián)系高與斜高、側(cè)棱、底面邊長的橋梁,也是側(cè)面積公式中未知量與條件中已知幾何元素間的橋梁.變式訓(xùn)練2若正三棱臺(tái)的側(cè)面均是上、下底邊長分別為2和4,腰長為3的等腰梯形,則該正三棱臺(tái)的表面積等于

.

探究點(diǎn)三簡單組合體的表面積【例3】

在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=a,BC=2a,∠DCB=60°,在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作直線l⊥BC,將梯形ABCD以l為軸旋轉(zhuǎn)一周,求旋轉(zhuǎn)體的表面積.以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體可看成圓柱體中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐后剩余的幾何體,由上述計(jì)算知,圓柱母線長為

a,底面半徑為2a,圓錐的母線長為2a,底面半徑為a,∴圓柱的側(cè)面積S1=2π×2a×a=4πa2,圓錐的側(cè)面積S2=π×a×2a=2πa2,圓柱的底面積S3=π(2a)2=4πa2,圓錐的底面積S4=πa2,∴旋轉(zhuǎn)體上底面面積S5=S3-S4=3πa2,∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S=S1+S2+S3+S5=(4+9)πa2.規(guī)律方法

簡單組合體表面積的求解思路(1)首先應(yīng)弄清它的組成,其表面有哪些底面和側(cè)面,各個(gè)面應(yīng)怎樣求其面積,然后把這些面的面積相加或相減;(2)在求組合體的表面積時(shí)要注意“表面(和外界直接接觸的面)”的含義,以確保不重復(fù)、不遺漏.變式訓(xùn)練3有一塔形幾何體由3個(gè)正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn).已知最底層正方體的棱長為2,則該塔形幾何體的表面積為

.

36解析

易知由下向上三個(gè)正方體的棱長依次為2,,1,所以S表=2×22+4×[22+()2+12]=36.所以該幾何體的表面積為36.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積與表面積;(2)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積與表面積.2.方法歸納:公式法、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)易混淆展開圖中幾何元素和原幾何體中的差別;(2)對(duì)于組合體的表面積易重復(fù)計(jì)算拼接面.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)12341.將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是(

)A.4π B.3π C.2π D.πC解析

底面圓半徑為1,高為1,側(cè)面積S=2πrh=2π×1×1=2π.故選C.512342.棱長都是3的三棱錐的表面積S為(

)D512343.若圓臺(tái)的高是12,母線長為13,兩底面半徑之比為