第1頁|共2頁2014年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（理科）（大綱版）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分）1．（5分）設z=，則z的共軛復數(shù)為（）A．﹣1+3i B．﹣1﹣3i C．1+3i D．1﹣3i 【考點】A1：虛數(shù)單位i、復數(shù)；A5：復數(shù)的運算．【專題】5N：數(shù)系的擴充和復數(shù)．【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，則z的共軛可求．【解答】解：∵z==，∴．故選：D．【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎題．2．（5分）設集合M={x|x2﹣3x﹣4＜0}，N={x|0≤x≤5}，則M∩N=（）A．（0，4] B．[0，4） C．[﹣1，0） D．（﹣1，0] 【考點】1E：交集及其運算．【專題】5J：集合．【分析】求解一元二次不等式化簡集合M，然后直接利用交集運算求解．【解答】解：由x2﹣3x﹣4＜0，得﹣1＜x＜4．∴M={x|x2﹣3x﹣4＜0}={x|﹣1＜x＜4}，又N={x|0≤x≤5}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜4}∩{x|0≤x≤5}=[0，4）．故選：B．【點評】本題考查了交集及其運算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎題．3．（5分）設a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．c＞a＞b 【考點】HF：正切函數(shù)的單調性和周期性．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】可得b=sin35°，易得b＞a，c=tan35°=＞sin35°，綜合可得．【解答】解：由誘導公式可得b=cos55°=cos（90°﹣35°）=sin35°，由正弦函數(shù)的單調性可知b＞a，而c=tan35°=＞sin35°=b，∴c＞b＞a故選：C．【點評】本題考查三角函數(shù)值大小的比較，涉及誘導公式和三角函數(shù)的單調性，屬基礎題．4．（5分）若向量、滿足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，則||=（）A．2 B． C．1 D． 【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質及其運算．【專題】5A：平面向量及應用．【分析】由條件利用兩個向量垂直的性質，可得（+）?=0，（2+）?=0，由此求得||．【解答】解：由題意可得，（+）?=+=1+=0，∴=﹣1；（2+）?=2+=﹣2+=0，∴b2=2，則||=，故選：B．【點評】本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量垂直，則它們的數(shù)量積等于零，屬于基礎題．5．（5分）有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有（）A．60種 B．70種 C．75種 D．150種 【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．【專題】5O：排列組合．【分析】根據(jù)題意，分2步分析，先從6名男醫(yī)生中選2人，再從5名女醫(yī)生中選出1人，由組合數(shù)公式依次求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，先從6名男醫(yī)生中選2人，有C62=15種選法，再從5名女醫(yī)生中選出1人，有C51=5種選法，則不同的選法共有15×5=75種；故選：C．【點評】本題考查分步計數(shù)原理的應用，注意區(qū)分排列、組合的不同．6．（5分）已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1、F2，離心率為，過F2的直線l交C于A、B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1 【考點】K4：橢圓的性質．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】利用△AF1B的周長為4，求出a=，根據(jù)離心率為，可得c=1，求出b，即可得出橢圓的方程．【解答】解：∵△AF1B的周長為4，∵△AF1B的周長=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵離心率為，∴，c=1，∴b==，∴橢圓C的方程為+=1．故選：A．【點評】本題考查橢圓的定義與方程，考查橢圓的幾何性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題．7．（5分）曲線y=xex﹣1在點（1，1）處切線的斜率等于（）A．2e B．e C．2 D．1 【考點】62：導數(shù)及其幾何意義．【專題】52：導數(shù)的概念及應用．【分析】求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求出對應的切線斜率．【解答】解：函數(shù)的導數(shù)為f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（1+x）ex﹣1，當x=1時，f′（1）=2，即曲線y=xex﹣1在點（1，1）處切線的斜率k=f′（1）=2，故選：C．【點評】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，直接求函數(shù)的導數(shù)是解決本題的關鍵，比較基礎．8．（5分）正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（）A． B．16π C．9π D． 【考點】LG：球的體積和表面積；LR：球內接多面體．【專題】11：計算題；5F：空間位置關系與距離．【分析】正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的表面積．【解答】解：設球的半徑為R，則∵棱錐的高為4，底面邊長為2，∴R2=（4﹣R）2+（）2，∴R=，∴球的表面積為4π?（）2=．故選：A．【點評】本題考查球的表面積，球的內接幾何體問題，考查計算能力，是基礎題．9．（5分）已知雙曲線C的離心率為2，焦點為F1、F2，點A在C上，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（）A． B． C． D． 【考點】KC：雙曲線的性質．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】根據(jù)雙曲線的定義，以及余弦定理建立方程關系即可得到結論．【解答】解：∵雙曲線C的離心率為2，∴e=，即c=2a，點A在雙曲線上，則|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，則由余弦定理得cos∠AF2F1===．故選：A．【點評】本題主要考查雙曲線的定義和運算，利用離心率的定義和余弦定理是解決本題的關鍵，考查學生的計算能力．10．（5分）等比數(shù)列{an}中，a4=2，a5=5，則數(shù)列{lgan}的前8項和等于（）A．6 B．5 C．4 D．3 【考點】89：等比數(shù)列的前n項和．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】利用等比數(shù)列的性質可得a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．再利用對數(shù)的運算性質即可得出．【解答】解：∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a4=2，a5=5，∴a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10．∴l(xiāng)ga1+lga2+…+lga8=lg（a1a2?…?a8）=4lg10=4．故選：C．【點評】本題考查了等比數(shù)列的性質、對數(shù)的運算性質，屬于基礎題．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β為60°，AB?α，AB⊥l，A為垂足，CD?β，C∈l，∠ACD=135°，則異面直線AB與CD所成角的余弦值為（）A． B． C． D． 【考點】LM：異面直線及其所成的角．【專題】5G：空間角．【分析】首先作出二面角的平面角，然后再構造出異面直線AB與CD所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出問題的答案．【解答】解：如圖，過A點做AE⊥l，使BE⊥β，垂足為E，過點A做AF∥CD，過點E做EF⊥AE，連接BF，∵AE⊥l∴∠EAC=90°∵CD∥AF又∠ACD=135°∴∠FAC=45°∴∠EAF=45°在Rt△BEA中，設AE=a，則AB=2a，BE=a，在Rt△AEF中，則EF=a，AF=a，在Rt△BEF中，則BF=2a，∴異面直線AB與CD所成的角即是∠BAF，∴cos∠BAF===．故選：B．【點評】本題主要考查了二面角和異面直線所成的角，關鍵是構造二面角的平面角和異面直線所成的角，考查了學生的空間想象能力和作圖能力，屬于難題．12．（5分）函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象關于直線x+y=0對稱，則y=f（x）的反函數(shù)是（）A．y=g（x） B．y=g（﹣x） C．y=﹣g（x） D．y=﹣g（﹣x） 【考點】4R：反函數(shù)．【專題】51：函數(shù)的性質及應用．【分析】設P（x，y）為y=f（x）的反函數(shù)圖象上的任意一點，則P關于y=x的對稱點P′（y，x）一點在y=f（x）的圖象上，P′（y，x）關于直線x+y=0的對稱點P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）圖象上，代入解析式變形可得．【解答】解：設P（x，y）為y=f（x）的反函數(shù)圖象上的任意一點，則P關于y=x的對稱點P′（y，x）一點在y=f（x）的圖象上，又∵函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=g（x）的圖象關于直線x+y=0對稱，∴P′（y，x）關于直線x+y=0的對稱點P″（﹣x，﹣y）在y=g（x）圖象上，∴必有﹣y=g（﹣x），即y=﹣g（﹣x）∴y=f（x）的反函數(shù)為：y=﹣g（﹣x）故選：D．【點評】本題考查反函數(shù)的性質和對稱性，屬中檔題．二、填空題(本大題共4小題，每小題5分)13．（5分）的展開式中x2y2的系數(shù)為70．（用數(shù)字作答）【考點】DA：二項式定理．【專題】5P：二項式定理．【分析】先求出二項式展開式的通項公式，再令x、y的冪指數(shù)都等于2，求得r的值，即可求得展開式中x2y2的系數(shù)．【解答】解：的展開式的通項公式為Tr+1=?（﹣1）r??=?（﹣1）r??，令8﹣=﹣4=2，求得r=4，故展開式中x2y2的系數(shù)為=70，故答案為：70．【點評】本題主要考查二項式定理的應用，二項式系數(shù)的性質，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于中檔題．14．（5分）設x、y滿足約束條件，則z=x+4y的最大值為5．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【專題】31：數(shù)形結合．【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得C（1，1）．化目標函數(shù)z=x+4y為直線方程的斜截式，得．由圖可知，當直線過C點時，直線在y軸上的截距最大，z最大．此時zmax=1+4×1=5．故答案為：5．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．15．（5分）直線l1和l2是圓x2+y2=2的兩條切線，若l1與l2的交點為（1，3），則l1與l2的夾角的正切值等于．【考點】IV：兩直線的夾角與到角問題．【專題】5B：直線與圓．【分析】設l1與l2的夾角為2θ，由于l1與l2的交點A（1，3）在圓的外部，由直角三角形中的邊角關系求得sinθ=的值，可得cosθ、tanθ的值，再根據(jù)tan2θ=，計算求得結果．【解答】解：設l1與l2的夾角為2θ，由于l1與l2的交點A（1，3）在圓的外部，且點A與圓心O之間的距離為OA==，圓的半徑為r=，∴sinθ==，∴cosθ=，tanθ==，∴tan2θ===，故答案為：．【點評】本題主要考查直線和圓相切的性質，直角三角形中的變角關系，同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角的正切公式的應用，屬于中檔題．16．（5分）若函數(shù)f（x）=cos2x+asinx在區(qū)間（，）是減函數(shù)，則a的取值范圍是（﹣∞，2]．【考點】HM：復合三角函數(shù)的單調性．【專題】51：函數(shù)的性質及應用；57：三角函數(shù)的圖像與性質．【分析】利用二倍角的余弦公式化為正弦，然后令t=sinx換元，根據(jù)給出的x的范圍求出t的范圍，結合二次函數(shù)的圖象的開口方向及對稱軸的位置列式求解a的范圍．【解答】解：由f（x）=cos2x+asinx=﹣2sin2x+asinx+1，令t=sinx，則原函數(shù)化為y=﹣2t2+at+1．∵x∈（，）時f（x）為減函數(shù)，則y=﹣2t2+at+1在t∈（，1）上為減函數(shù)，∵y=﹣2t2+at+1的圖象開口向下，且對稱軸方程為t=．∴，解得：a≤2．∴a的取值范圍是（﹣∞，2]．故答案為：（﹣∞，2]．【點評】本題考查復合函數(shù)的單調性，考查了換元法，關鍵是由換元后函數(shù)為減函數(shù)求得二次函數(shù)的對稱軸的位置，是中檔題．三、解答題17．（10分）△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求B．【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應用；HP：正弦定理．【專題】58：解三角形．【分析】由3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函數(shù)基本關系式可得tanC，利用tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）即可得出．【解答】解：∵3acosC=2ccosA，由正弦定理可得3sinAcosC=2sinCcosA，∴3tanA=2tanC，∵tanA=，∴2tanC=3×=1，解得tanC=．∴tanB=tan[π﹣（A+C）]=﹣tan（A+C）=﹣=﹣=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=【點評】本題考查了正弦定理、同角的三角函數(shù)基本關系式、兩角和差的正切公式、誘導公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．18．（12分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1=13，a2為整數(shù)，且Sn≤S4．（1）求{an}的通項公式；（2）設bn=，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．【考點】8E：數(shù)列的求和．【專題】55：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法．【分析】（1）通過Sn≤S4得a4≥0，a5≤0，利用a1=13、a2為整數(shù)可得d=﹣4，進而可得結論；（2）通過an=13﹣3n，分離分母可得bn=（﹣），并項相加即可．【解答】解：（1）在等差數(shù)列{an}中，由Sn≤S4得：a4≥0，a5≤0，又∵a1=13，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2為整數(shù)，∴d=﹣4，∴{an}的通項為：an=17﹣4n；（2）∵an=17﹣4n，∴bn===﹣（﹣），于是Tn=b1+b2+……+bn=﹣[（﹣）+（﹣）+……+（﹣）]=﹣（﹣）=．【點評】本題考查求數(shù)列的通項及求和，考查并項相加法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）證明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）設直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1﹣AB﹣C的大?。究键c】LW：直線與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】5F：空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）由已知數(shù)據(jù)結合線面垂直的判定和性質可得；（Ⅱ）作輔助線可證∠A1FD為二面角A1﹣AB﹣C的平面角，解三角形由反三角函數(shù)可得．【解答】解：（Ⅰ）∵A1D⊥平面ABC，A1D?平面AA1C1C，∴平面AA1C1C⊥平面ABC，又BC⊥AC∴BC⊥平面AA1C1C，連結A1C，由側面AA1C1C為菱形可得AC1⊥A1C，又AC1⊥BC，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1BC，AB1?平面A1BC，∴AC1⊥A1B；（Ⅱ）∵BC⊥平面AA1C1C，BC?平面BCC1B1，∴平面AA1C1C⊥平面BCC1B1，作A1E⊥CC1，E為垂足，可得A1E⊥平面BCC1B1，又直線AA1∥平面BCC1B1，∴A1E為直線AA1與平面BCC1B1的距離，即A1E=，∵A1C為∠ACC1的平分線，∴A1D=A1E=，作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連結A1F，又可得AB⊥A1D，A1F∩A1D=A1，∴AB⊥平面A1DF，∵A1F?平面A1DF∴A1F⊥AB，∴∠A1FD為二面角A1﹣AB﹣C的平面角，由AD==1可知D為AC中點，∴DF==，∴tan∠A1FD==，∴二面角A1﹣AB﹣C的大小為arctan【點評】本題考查二面角的求解，作出并證明二面角的平面角是解決問題的關鍵，屬中檔題．20．（12分）設每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設備的概率分別為0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用設備相互獨立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用設備的概率；（Ⅱ）X表示同一工作日需使用設備的人數(shù)，求X的數(shù)學期望．【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】5I：概率與統(tǒng)計．【分析】記Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用設備，i=0，1，2，B表示事件：甲需要設備，C表示事件，丁需要設備，D表示事件：同一工作日至少3人需使用設備（Ⅰ）把4個人都需使用設備的概率、4個人中有3個人使用設備的概率相加，即得所求．（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，4，分別求出PXi，再利用數(shù)學期望公式計算即可．【解答】解：由題意可得“同一工作日至少3人需使用設備”的概率為0.6×0.5×0.5×0.4+（1﹣0.6）×0.5×0.5×0.4+0.6×（1﹣0.5）×0.5×0.4+0.6×0.5×（1﹣0.5）×0.4+0.6×0.5×0.5×（1﹣0.4）=0.31．（Ⅱ）X的可能取值為0，1，2，3，4P（X=0）=（1﹣0.6）×0.52×（1﹣0.4）=0.06P（X=1）=0.6×0.52×（1﹣0.4）+（1﹣0.6）×0.52×0.4+（1﹣0.6）×2×0.52×（1﹣0.4）=0.25P（X=4）=P（A2?B?C）=0.52×0.6×0.4=0.06，P（X=3）=P（D）﹣P（X=4）=0.25，P（X=2）=1﹣P（X=0）﹣P（X=1）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=1﹣0.06﹣0.25﹣0.25﹣0.06=0.38．故數(shù)學期望EX=0×0.06+1×0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2【點評】本題主要考查了獨立事件的概率和數(shù)學期望，關鍵是找到獨立的事件，計算要有耐心，屬于難題．21．（12分）已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線y=4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程．【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（Ⅰ）設點Q的坐標為（x0，4），把點Q的坐標代入拋物線C的方程，求得x0=，根據(jù)|QF|=|PQ|求得p的值，可得C的方程．（Ⅱ）設l的方程為x=my+1（m≠0），代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、中點公式、弦長公式求得弦長|AB|．把直線l′的方程代入拋物線方程化簡，利用韋達定理、弦長公式求得|MN|．由于MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直線l的方程．【解答】解：（Ⅰ）設點Q的坐標為（x0，4），把點Q的坐標代入拋物線C：y2=2px（p＞0），可得x0=，∵點P（0，4），∴|PQ|=．又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，∴+=×，求得p=2，或p=﹣2（舍去）．故C的方程為y2=4x．（Ⅱ）由題意可得，直線l和坐標軸不垂直，y2=4x的焦點F（1，0），設l的方程為x=my+1（m≠0），代入拋物線方程可得y2﹣4my﹣4=0，顯然判別式△=16m2+16＞0，y1+y2=4m，y1?y2=﹣4．∴AB的中點坐標為D（2m2+1，2m），弦長|AB|=|y1﹣y2|==4（m2+1）．又直線l′的斜率為﹣m，∴直線l′的方程為x=﹣y+2m2+3．過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，把線l′的方程代入拋物線方程可得y2+y﹣4（2m2+3）=0，∴y3+y4=，y3?y4=﹣4（2m2+3）．故線段MN的中點E的坐標為（+2m2+3，），∴|MN|=|y3﹣y4|=，∵MN垂直平分線段AB，故AMBN四點共圓等價于|AE|=|BE|=|MN|，∴+DE2=MN2，∴4（m2+1）2++=×，化簡可得m2﹣1=0，∴m=±1，∴直線l的方程為x﹣y﹣1=0，或x+y﹣1=0．【