摘要：近年高考“直觀想象”在立體幾何中考查力度逐漸加大，因此對其研究具有很重要的關(guān)鍵詞：引言：因為立體幾何有考生答題難答規(guī)范，教師難以批改等特點，所以此類題在高考中變成448919正四棱錐與外異面直線所成的55512202218%，202120221（20224145m140km2155m180km2145m155m ?2.65 1.0′109

1.2′109

1.4′109

1.6′109所以增加的水量即為棱臺的體積V ∴=h(S+S+SS)=′9′(140′10+180′10+140′180′10 =3′(320+607)′106?(96+18′2.65)′107=1.437′109?1.4′109(m3)題目2（2022年新高考Ⅰ卷第8題）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36p3￡l￡

，則該正四棱錐體積的取值范圍是

4

? 4

? 3分析：首先根據(jù)球的體積為36pR，然后結(jié)合圖形由球的截面性質(zhì)列出關(guān)于ah的方程，最后構(gòu)造出含l的函數(shù)表達式，最后結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出正四棱∵球的體積為36pR=3設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h

l l?l2=h2

?h ，解得

l?R2=(h-R)2

?a2=2l2

l

l 1

l6V=Sh=′4a′h=′(l )′=?l ÷(3￡l￡33) 9 36￠1?

l5?13?24-l2所以V=?4l

9 6? 當3￡l￡

<l￡

所以當l

時，正四棱錐的體積V64又l=3

V

，l

時 81所以正四棱錐的體積V27é2764所以該正四棱錐體積的取值范圍是 ，? 3故選方法二：（均值不等式

l6

上同方法一，由正四棱錐的體積V

?l

(2 él

)l l)

36 ￡72′ 18ú 當且僅當 =2-l時，即l 時取等號 故選方法三：（構(gòu)造三角函數(shù)2，R,球心為O，正四棱錐的底面邊長為a，高為h，側(cè)棱與高所成角為qR=3，所以正四棱錐的底邊長a

2lsinq在DOPC中，作OE^PCEq 則可得 l [1 3]，得l=6cosq 1 所以

ah=144(sinqcos

，不妨設(shè)sinq=t，易得t

[ ] (y=tt3(

上單調(diào)遞增，在(3

2，所以V2

é2764y

， ? 3é2764所以該正四棱錐體積的取值范圍是 ，? 3R題目（202218（理ABCDAD^CDAD=CDDADB=DBDCEACBED^ACDAB=BD=2DACB=60°FBD上，當△AFC的面積最小時，求CF與ABD所成的角的正弦值．（2）BE^DE，從而建立空間直角坐標系，結(jié)合線詳解:(1)AD=CDEACAC^DE在ABD和DCBDAD=CDDADB=DCDBDB=DBAB=CBEAC的中點，AC^BE；DEBE

BEDDE?BE=EAC^BEDAC

BED^ACD（2）AB=AC=2DACB=60,所以ABC則BE AD=CDAD^CD所以ADC為等腰直角三角形，DE=1DE2+BE2=BD2DE由（1）AC^BEDEFìBED AC^EF

EFEF^BDEF最小，即△AFC則EF=DEBE 3 E4E-xyz( ( ( ( A(100)B0,30D(00,1)AD=(10,1)AB1,30ABD的一個法向量為n=(xyzìì則ív

y

，則n=(3,3

3yC ?33

?33

(1,0,0),F

所以

rn,

nCFrn

421 421 4

設(shè)CFABD所成的角的正弦值為q0￡q￡p 2所以sinq

rn,

=44所以CF與平面ABD所成的角的正弦值4解法二：（等體積法）因為E為

C

點E到平面ABD2DE^AC

DE^BE

AC?BE=EACBEì面DE^面

1′

′d(其中d為點C

在DABDBA=BD=2AD

,所以

2 d FE2+EC因為AC^面BED,EFì面BED，所以AC^EF,所以FCFE2+EC記CFABD所成的角為a

d=43.a a解法三：（性質(zhì)法EEM^ABABMDMEEG^DMDM于點GDE^ACDE^BEAC?BE=EACBEì面,

ABì面

DE^AB又EM?DE=E,EMDEì面DEMAB^面DEMEGì面DEMAB^EG又AB?DM=MABDMìABDEG^面ABDEG的長度等于點EABDEACEG的長度等于點CABD2因為EM=AEsin 3，EG=DEEM

EMEMDE2+EM所以點CABDd=221

7記CFABD所成的角為a

d 43a a 點到平面的距離（等積法或直接作線面垂直求距離角三角形的性質(zhì)進行求解（向量法易錯點線面角正弦值等于向量CFn絕對值202120（2）考察了利用二面角求三棱錐體積，20222022個方面：從命題形