專題20有理數(shù)、方程、線段和角的新定義問題大題專練

（鞏固提升16題+能力培優(yōu)8題+拓展突破8題）

知識(shí)清單

1.對(duì)于新定義問題要讀懂題目，搜集信息，理解本質(zhì)﹕

要想做好這類新定義型問題，關(guān)鍵在于讀懂題目中所給新定義的信息，真正理解新概念的本質(zhì)．題目

中可能會(huì)給出很多信息，有些是無關(guān)緊要的，有些是重要的，我們一定要抓住關(guān)鍵詞，關(guān)鍵信息，徹底弄

懂其問題的本質(zhì)，這是我們解決問題的關(guān)鍵所在．

2.新定義型問題一般與代數(shù)知識(shí)結(jié)合較多，七年級(jí)涉及的知識(shí)有﹕

（1）有理數(shù)的運(yùn)算、乘方的新定義問題．

（2）整式的加減以及求值新定義問題

（3）一元一次方程的新定義問題

（4）線段和角的新定義問題

3.熟練掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)的常用思想方法

我們?cè)诮鉀Q新定義型問題時(shí)，往往都是利用現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)合一些重要的數(shù)學(xué)思想方法去解決新定義的

問題，比如，我們用初中所學(xué)的實(shí)數(shù)的知識(shí)結(jié)合類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法來解決復(fù)數(shù)或者虛數(shù)的一些問

題等等．所以一定要把未學(xué)的問題轉(zhuǎn)化成已學(xué)的數(shù)學(xué)問題，利用現(xiàn)有的知識(shí)和方法，結(jié)合轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)

學(xué)思想解決問題．

1．（24-25七年級(jí)上·江西撫州·階段練習(xí)）對(duì)于有理數(shù)a、b定義一種新運(yùn)算，規(guī)定

2

(1)求的值；???=????

(2)若2??3，求x的值．

2．（224?-235?七?年=級(jí)?上2·江蘇宿遷·階段練習(xí)）定義：若，則稱a與b是關(guān)于7的幸福數(shù)．

(1)10與________是關(guān)于7的幸福數(shù)，與______?__+是?關(guān)=于77的幸福數(shù)．（填一個(gè)含x的代數(shù)式）

(2)若，5+?，判斷a與b是否是關(guān)于7的幸福數(shù)，并說明理由．

222

(3)若?=2?+3，?+4?=，?且?c3與(?d+是?關(guān)?于1)7的幸福數(shù)，若x為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)k的值．

3．（?2=4-2?5?七+年1級(jí)?上=·江?蘇+2連云港·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“★”，其運(yùn)算方式如下：

★

2★1=4×2?3×1=5

1?★3=4×1?3×?3=13……

觀?察5式子?的2運(yùn)=算4方×式?，5請(qǐng)?解3決×下?列2問=題?：14

(1)這種運(yùn)算方式是：★______（用含m，n的式子表示）；

??=1

(2)解方程★★；

(3)若關(guān)于2x的?方=程?★2的解為整數(shù)，求整數(shù)a的值．

4．（23-24七年級(jí)上3·江?西?贛?州1·期=末6）用“”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任何有理數(shù)x和y，規(guī)定

????=

1

2?+2?≤?

1

(1?)求?2??>?的值；

(2)若關(guān)2于?n?（3）的方程滿足：，求n的值．

3

5．（24-25七?年<級(jí)1上·江西吉安·階段1練?習(xí)?）=規(guī)?定2?關(guān)?于2x的一元一次方程的解為，則稱該方程

是“差解方程”，例如：的解為，則方程??=就?是“差解?方=程?”?，?據(jù)上述規(guī)定解

答下列問題：3?=4.5?=4.5?3=1.53?=4.5

【定義理解】

（1）判斷：方程______差解方程；（填“是”或“不是”）

（2）若關(guān)于x的一2?元=一4次方程是“差解方程”，求m的值；

【知識(shí)應(yīng)用】4?=?

（3）若關(guān)于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值；

（4）已知關(guān)于x的一元一次方程4?=??+?和3都??是+“差?解方程”，求代數(shù)式

的值．4?=??+??2?=??+?3??+??

2

96．（?2?4-+25?七年級(jí)上·四川成都·期中）對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)和，規(guī)定一種新運(yùn)算“”：當(dāng)時(shí)，

；當(dāng)時(shí)，．??△?<??△?=??

2(1?)分別?求≥?與?△?=2??的?值；

(2)若3△2(，?求2)△的3值．

7．（2?0△24(七?年4)級(jí)=上1·云南?·專題練習(xí)）新定義定義：對(duì)于任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)，，計(jì)算，，

將這兩個(gè)計(jì)算結(jié)果中的最小值稱為，的“關(guān)聯(lián)差”．例如：對(duì)于，，因?yàn)??，??+???+?，

所以，的“關(guān)聯(lián)差”為．??1?2?1+?2=?3??2+1=3

(1)，1的?“2關(guān)聯(lián)差”是____?__3；

(2)2，3的“關(guān)聯(lián)差”與，的“關(guān)聯(lián)差”有什么關(guān)系，并說明理由；

(3)14，?3（其中）?的3“關(guān)4聯(lián)差”是，求的值．

8．（2?024七年?級(jí)≠上1·全國·專題練習(xí)）?觀5察下列?兩個(gè)等式：，，給出定義如

1122

下：我們稱使等式成立的一對(duì)有理數(shù)，為2“共?生3=有2理×數(shù)3對(duì)+”1，記5為?3=5，×如3：+數(shù)1對(duì)，

12

都是“共生有理數(shù)對(duì)?”?．?=??+1???,?2,35,3

(1)數(shù)對(duì)，中是“共生有理數(shù)對(duì)”的是________；

3

(2)若?3是,2“共生4,有4理數(shù)對(duì)”，則________“共生有理數(shù)對(duì)”（填“是”或“不是”）；

(3)若6?是,?“共生有理數(shù)對(duì)”中的一個(gè)有??理,?數(shù)?，求這個(gè)“共生有理數(shù)對(duì)”．

2

9．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）新定義用“※”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)和，規(guī)定※

2

．如：1※．????=??+

2

2(1?)?+?※___1___2；=1×2+2×1×2+1=9

(2)若?2※3=，求的值；

?+1

(3)若2※3=1，6?※（其中為有理數(shù)），試比較，的大?。?/p>

1

10．（224-2?5七=年?級(jí)上4?·山東3日=照?·階段練習(xí)?）對(duì)于代數(shù)式?，我們?可以引入一種新的符號(hào)表示方式：，

??

?????

這種符號(hào)形式稱為行列式．規(guī)定．例如．??

??52

按照這種規(guī)定，請(qǐng)解答下列問題：=?????=5×4??3×2=20+6=26

???34

(1)計(jì)算：；

?65

=

(2)觀察這兩2個(gè)行4列式：與，你發(fā)現(xiàn)它們之間的數(shù)量關(guān)系_____．

????

(3)若???，求?x的值；

2063??1

．（2七年+級(jí)上安徽合肥=階6段練習(xí)）已知，為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算符號(hào)，定義，

11224?-253?3·2·

例如：，請(qǐng)根據(jù)符號(hào)的意?義?解答下列問題；?Δ?=??+2?

(1)求4Δ5的=值?；4+2×5=6

(2)若3Δ2，求的值；

(3)若?Δ5=7+2?，?，試判斷，的大小，并說明理由．

22

12．（?2=4-?25Δ七?年+級(jí)4上?·四?川=達(dá)州?·+階?段Δ練4習(xí)?）?定1義：我們把?絕對(duì)?值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值

的方程”．

如：，，，…都是含有絕對(duì)值的方程．

??1

怎樣求?含=有2絕對(duì)2?值?的1方=程3的解呢2？?基?本=思1路是：含有絕對(duì)值的方程→不含有絕對(duì)值的方程．我們知道，根據(jù)

絕對(duì)值的意義，由，可得或．

(1)【例】解方程：?=2．?=2?=?2

我們只要把看2?成?一1個(gè)=整3體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問題．解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得

或2??1．2??

1解=這3兩個(gè)2一?元?一1次=方程，得或．經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程的解是，；

(2)【解決問題】解方程?=2?=?．1?=2?=?1

0.1??0.2

13．（2024七年級(jí)上·云南0·.專02題練=習(xí)4?）新7?定義：用“※”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)和，規(guī)定※

．如：※．????=

22

?(1?)+2?※?+?______1__；2=1×2+2×1×2+1=9

(2)(若?2)※3=，求的值；

?+1

23=16?

3

(3)若※，※（其中為有理數(shù)），試比較，的大?。?/p>

1

14．（224?-2=5七?年級(jí)4上?·遼3寧=大?連·期中）?概念學(xué)習(xí)??

規(guī)定：求n個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方，比如

等，類比有理數(shù)的乘方，我們把寫作，讀作“2的3次商”，2÷2÷2,?3÷?3÷?寫3作÷?3，

③④

讀作“的4次商”，一般地，2把÷2÷22寫作?，?讀3作÷“a的?3n÷次商?”3．÷?3?3

個(gè)

?3