PAGE1專題20有理數(shù)、方程、線段和角的新定義問(wèn)題大題專練（鞏固提升16題+能力培優(yōu)8題+拓展突破8題）知識(shí)清單1.對(duì)于新定義問(wèn)題要讀懂題目，搜集信息，理解本質(zhì)﹕要想做好這類新定義型問(wèn)題，關(guān)鍵在于讀懂題目中所給新定義的信息，真正理解新概念的本質(zhì)．題目中可能會(huì)給出很多信息，有些是無(wú)關(guān)緊要的，有些是重要的，我們一定要抓住關(guān)鍵詞，關(guān)鍵信息，徹底弄懂其問(wèn)題的本質(zhì)，這是我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在．2.新定義型問(wèn)題一般與代數(shù)知識(shí)結(jié)合較多，七年級(jí)涉及的知識(shí)有﹕（1）有理數(shù)的運(yùn)算、乘方的新定義問(wèn)題．（2）整式的加減以及求值新定義問(wèn)題（3）一元一次方程的新定義問(wèn)題（4）線段和角的新定義問(wèn)題3.熟練掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)的常用思想方法我們?cè)诮鉀Q新定義型問(wèn)題時(shí)，往往都是利用現(xiàn)有的知識(shí)結(jié)合一些重要的數(shù)學(xué)思想方法去解決新定義的問(wèn)題，比如，我們用初中所學(xué)的實(shí)數(shù)的知識(shí)結(jié)合類比和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決復(fù)數(shù)或者虛數(shù)的一些問(wèn)題等等．所以一定要把未學(xué)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已學(xué)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用現(xiàn)有的知識(shí)和方法，結(jié)合轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題．1．（24-25七年級(jí)上·江西撫州·階段練習(xí)）對(duì)于有理數(shù)a、b定義一種新運(yùn)算，規(guī)定a?b=(1)求2??3(2)若2?3?x=?2，求2．（24-25七年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）定義：若a+b=7，則稱a與b是關(guān)于7的幸福數(shù)．(1)10與________是關(guān)于7的幸福數(shù)，5+x與________是關(guān)于7的幸福數(shù)．（填一個(gè)含x的代數(shù)式）(2)若a=2x2+3x+4，b=x2(3)若c=kx+1，d=x+2，且c與d是關(guān)于7的幸福數(shù)，若x為正整數(shù)，求非負(fù)整數(shù)k的值．3．（24-25七年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）定義一種新運(yùn)算“★”，其運(yùn)算方式如下：2★1=4×2?3×1=51★?5★觀察式子的運(yùn)算方式，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：(1)這種運(yùn)算方式是：m★n=______（用含m，n的式子表示）；(2)解方程2★x=x★2；(3)若關(guān)于x的方程3★ax?1=6的解為整數(shù)，求整數(shù)4．（23-24七年級(jí)上·江西贛州·期末）用“?”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任何有理數(shù)x和y，規(guī)定x?y=(1)求2??3(2)若關(guān)于n（n<1）的方程滿足：1?n=?32n?25．（24-25七年級(jí)上·江西吉安·階段練習(xí)）規(guī)定關(guān)于x的一元一次方程ax=b的解為x=b?a，則稱該方程是“差解方程”，例如：3x=4.5的解為x=4.5?3=1.5，則方程3x=4.5就是“差解方程”，據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：【定義理解】（1）判斷：方程2x=4______差解方程；（填“是”或“不是”）（2）若關(guān)于x的一元一次方程4x=m是“差解方程”，求m的值；【知識(shí)應(yīng)用】（3）若關(guān)于x的一元一次方程4x=ab+a是“差解方程”，求3ab+a（4）已知關(guān)于x的一元一次方程4x=mn+m和?2x=mn+n都是“差解方程”，求代數(shù)式3mn+m6．（24-25七年級(jí)上·四川成都·期中）對(duì)于任意兩個(gè)有理數(shù)a和b，規(guī)定一種新運(yùn)算“△”：當(dāng)a<b時(shí)，a△b=a?2b；當(dāng)a≥b時(shí)，a△b=2a?b．(1)分別求3△2與(?2)△3的值；(2)若x△(?4)=1，求x的值．7．（2024七年級(jí)上·云南·專題練習(xí)）新定義定義：對(duì)于任意兩個(gè)不相等的有理數(shù)a，b，計(jì)算?a+b，?b+a，將這兩個(gè)計(jì)算結(jié)果中的最小值稱為a，b的“關(guān)聯(lián)差”．例如：對(duì)于1，?2，因?yàn)?1+?2=?3，??2+1=3，所以1，(1)2，3的“關(guān)聯(lián)差”是______；(2)4，?3的“關(guān)聯(lián)差”與?3，4的“關(guān)聯(lián)差”有什么關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)1，m（其中m≠1）的“關(guān)聯(lián)差”是?5，求m的值．8．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）觀察下列兩個(gè)等式：2?13=2×13+1，5?23=5×23+1，給出定義如下：我們稱使等式(1)數(shù)對(duì)?3,2，4,3(2)若m,n是“共生有理數(shù)對(duì)”，則?n,?m________“共生有理數(shù)對(duì)”（填“是”或“不是”）；(3)若6是“共生有理數(shù)對(duì)”中的一個(gè)有理數(shù)，求這個(gè)“共生有理數(shù)對(duì)”．9．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）新定義用“※”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a※b=ab2+2ab+a(1)?2※3=(2)若a+12※3=16，求(3)若2※x=m，14x※3=n（其中x為有理數(shù)），試比較m10．（24-25七年級(jí)上·山東日照·階段練習(xí)）對(duì)于代數(shù)式ac?bd，我們可以引入一種新的符號(hào)表示方式：adbc，這種符號(hào)形式稱為行列式．規(guī)定a按照這種規(guī)定，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)計(jì)算：?652(2)觀察這兩個(gè)行列式：adbc(3)若202x11．（24-25七年級(jí)上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知a，b為有理數(shù)，現(xiàn)規(guī)定一種新的運(yùn)算符號(hào)，定義aΔb=?a+2b，例如：(1)求3Δ(2)若xΔ5=7+2x，求(3)若m=aΔa2+4a，n=a12．（24-25七年級(jí)上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）定義：我們把絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)含有未知數(shù)的方程叫做“含有絕對(duì)值的方程”．如：x=2，2x?1=3，x?12怎樣求含有絕對(duì)值的方程的解呢？基本思路是：含有絕對(duì)值的方程→不含有絕對(duì)值的方程．我們知道，根據(jù)絕對(duì)值的意義，由x=2，可得x=2或x=?2(1)【例】解方程：2x?1=3我們只要把2x?1看成一個(gè)整體就可以根據(jù)絕對(duì)值的意義進(jìn)一步解決問(wèn)題．解：根據(jù)絕對(duì)值的意義，得2x?1=3或2x?1=．解這兩個(gè)一元一次方程，得x=2或x=?1．經(jīng)檢驗(yàn)可知，原方程的解是x=2，x=?1；(2)【解決問(wèn)題】解方程0.1x?0.20.0213．（2024七年級(jí)上·云南·專題練習(xí)）新定義：用“※”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)a和b，規(guī)定a※b=ab2+2ab+a．如：1(1)(?2)※3=________；(2)若a+12※3=16，求a(3)若2※x=m，14x※3=n（其中x為有理數(shù)），試比較m14．（24-25七年級(jí)上·遼寧大連·期中）概念學(xué)習(xí)規(guī)定：求n個(gè)相同的有理數(shù)（均不等于0）的商的運(yùn)算叫做除方，比如2÷2÷2,?3÷?3÷?3÷?3等，類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2寫(xiě)作2③，讀作“2的3次商”，?3÷?3÷?3÷初步探究（1）直接寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果：5②=__________，（2）下列關(guān)于除方說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）（只有一個(gè)正確答案）A．當(dāng)m≠0時(shí)，mB．當(dāng)m≠0時(shí)，?C．正數(shù)的n次商結(jié)果是正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次商結(jié)果是負(fù)數(shù)D．n次商等于它本身的數(shù)是1深入思考我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，那么有理數(shù)的除方運(yùn)算如何轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算呢？除方→9（3）歸納：請(qǐng)把有理數(shù)a的n次商(a≠0,n≥3)，寫(xiě)成乘方（冪）的形式為：a?（4）比較：(?2)⑧__________4（5）計(jì)算：12+1415．（24-25七年級(jí)上·重慶·期中）用“⊕”和“Δ”定義一種新運(yùn)算：對(duì)于任意有理數(shù)m，n，p，規(guī)定：(1)計(jì)算：(?5)⊕7Δ(2)若a⊕3Δ2=4，則(3)若x0⊕x1Δ1=1，x1⊕x2Δ2=1，16．（2024七年級(jí)上·遼寧·專題練習(xí)）（新考向）如圖，在數(shù)軸上有相距15個(gè)單位長(zhǎng)度的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是?5，點(diǎn)C為線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．規(guī)定：當(dāng)線段AC，BC，AB中的任意兩條線段之間滿足三倍的數(shù)量關(guān)系時(shí)，我們稱此時(shí)的點(diǎn)C為線段AB的“奇分點(diǎn)”．(1)當(dāng)點(diǎn)C與數(shù)軸原點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)C______（填“是”或“不是”）線段AB的“奇分點(diǎn)”；(2)動(dòng)點(diǎn)C從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①在這個(gè)過(guò)程中，點(diǎn)C表示的數(shù)是______（用含t的代數(shù)式表示）；②若點(diǎn)C是線段AB的“奇分點(diǎn)”，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間；③若動(dòng)點(diǎn)D同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)點(diǎn)C是線段AD的“奇分點(diǎn)”時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間．17．（24-25七年級(jí)上·山東棗莊·階段練習(xí)）認(rèn)真觀察下列四個(gè)算式，找出新運(yùn)算“Ω”的運(yùn)算法則：3Ω4=3×3?4×4+5，4Ω3=3×4?4×3+5，(1)計(jì)算：[(xy+2)Ω(2)2x+3918．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）新考向

閱讀材料：我們定義：如果兩個(gè)數(shù)a,b滿足a?b=a÷b，那么數(shù)對(duì)a,b就叫作“差商等數(shù)對(duì)”，記為a,b．例如：4?2=4÷2；92?3=92÷3；?12根據(jù)上述材料，解決下列問(wèn)題：(1)下列數(shù)對(duì)：①?8.1,?9；②12,1(2)如果數(shù)對(duì)m,?12m（m19．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）［核心素養(yǎng)］閱讀材料：鐘表中蘊(yùn)含著有趣的數(shù)學(xué)運(yùn)算，例如：現(xiàn)在是9時(shí)，4小時(shí)以后是幾時(shí)？雖然9+4=13，但在表盤(pán)上看到的是1時(shí)，若用“”表示鐘表上的加法，則94=1．若問(wèn)3時(shí)之前6小時(shí)是幾時(shí)？則需要用到鐘表上的減法概念，用符號(hào)“”國(guó)表示鐘表上的減法．（注：我們用0時(shí)代替12時(shí)）由上述材料解答下列問(wèn)題：(1)82=______，117＝______，89=______，47=______；(2)在有理數(shù)運(yùn)算中，相加得零的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，如果在鐘表運(yùn)算中沿用這個(gè)概念，則5的相反數(shù)是______；舉例說(shuō)明有理數(shù)的減法法則：減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，在鐘表運(yùn)算中是否仍然成立；(3)規(guī)定在鐘表運(yùn)算中，也有0<1<2<3<4<5<6<7<8<9<10<11，對(duì)于鐘表上的任意數(shù)字a,b,c，若a<b，判斷ac<bc是否一定成立．若一定成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不一定成立，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)反例，并結(jié)合反例加以說(shuō)明．20．（24-25七年級(jí)上·廣東·期中）同學(xué)們剛學(xué)完有理數(shù)相關(guān)運(yùn)算后，老師又定義了一種新的“※（加乘）”運(yùn)算，以下算式就是按照“※（加乘）”運(yùn)算法則進(jìn)行的運(yùn)算：+3※+4=+7；?6※?3=+9；+4※?3=?7(1)①綜合以上情形，有如下有理數(shù)“※（加乘）”運(yùn)算法則：兩數(shù)進(jìn)行“※（加乘）”運(yùn)算，同號(hào)______，異號(hào)______，并把絕對(duì)值______特別地，一個(gè)數(shù)與0進(jìn)行“※（加乘）”運(yùn)算，都得______；②計(jì)算：?7※③若1?a※b?3=0，則a=(2)化簡(jiǎn)：x?1※21．（24-25七年級(jí)上·江蘇徐州·期中）給出定義如下：我們稱使等式a?b=ab+1成立的一對(duì)有理數(shù)a、b為“相伴有理數(shù)對(duì)”，記為a,b．如：3?12=3×12+1，(1)數(shù)對(duì)?2,13，?1(2)若x,5是“相伴有理數(shù)對(duì)”，則x的值是；(3)若a,b是“相伴有理數(shù)對(duì)”，求3ab?a+122．（24-25七年級(jí)上·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖①，在∠AOB內(nèi)部畫(huà)射線OC，得到∠AOC、∠BOC、∠AOB．定義：若這三個(gè)角中有一個(gè)角是另外一個(gè)角的2倍，則稱射線OC為∠AOB的“歡樂(lè)線”．(1)角的平分線_______這個(gè)角的“歡樂(lè)線”；（“是”或“不是”）(2)若∠AOB=150°，射線OC為∠AOB的“歡樂(lè)線”，則∠AOC=；(3)如圖②，已知OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線，M，N分別為OA,OC上的點(diǎn)，線段OM,ON分別以20°/s，10°/s的速度繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．如圖②，若OM,ON分別在∠AOC,∠COB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，總有∠COM=2∠BON，請(qǐng)說(shuō)明射線OC為23．（23-24七年級(jí)上·遼寧營(yíng)口·期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上同學(xué)們對(duì)所學(xué)知識(shí)深入思考，如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，圖1中共有三條線段AB，AC，BC，若其中有兩條線段長(zhǎng)度比為1:2，則命名點(diǎn)C為線段AB的“幸福點(diǎn)”；此模型下，如圖2射線OC在∠AOB的內(nèi)部，圖2中共有三個(gè)角∠AOB，∠BOC，∠AOC，若其中有兩個(gè)角的度數(shù)比為1:2，則命名射線OC為∠AOB的“幸福線”．(1)線段AB的中點(diǎn)是否為這條線段的“幸福點(diǎn)”，說(shuō)明理由；(2)若AB=18，點(diǎn)C為線段AB的“幸福點(diǎn)”，求線段AC的長(zhǎng)度；(3)如圖3，已知∠AOB=160°，射線OM從OA出發(fā)，以5°s的速度順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，射線ON從OB出發(fā)，以15°s的速度逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，兩條射線同時(shí)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線OM與射線ON重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)，當(dāng)t為何值時(shí)，射線24．（24-25七年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖①，點(diǎn)M是線段AB上任意一點(diǎn)，圖中共有三條線段AB、AM和BM，若其中的兩條較短線段中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的2倍，則稱點(diǎn)M是線段AB的“友好點(diǎn)”．(1)若AB=12cm，點(diǎn)M是線段AB上靠近點(diǎn)A的“友好點(diǎn)”，求BM(2)如圖②，若CD=24cm，點(diǎn)M是線段CD的“友好點(diǎn)”，點(diǎn)N是線段CD的中點(diǎn)，則MN+MC=__________cm(3)如圖③，已知AB=24cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以3cm/s的速度沿BA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t，請(qǐng)求出t為何值時(shí)，A、P、25．（24-25七年級(jí)上·北京大興·期中）對(duì)于有理數(shù)a，b，我們給出如下定義：若a，b滿足a?b=3ab+1，則稱a，b為“和諧有理數(shù)對(duì)”，記為(1)數(shù)對(duì)0,?1，(2)若a,?a是“和諧有理數(shù)對(duì)”，求6a(3)若m,?n是“和諧有理數(shù)對(duì)”，則26．（24-25七年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期中）定義：對(duì)于任意的有理數(shù)aba⊕b，a⊕b=(1)探究性質(zhì)：①例：4⊕3=_____；?3⊕2②你還可試幾個(gè)看看，請(qǐng)用含a，b的式子表示出a⊕b的一般規(guī)律：當(dāng)a>b時(shí)，a⊕b=_____當(dāng)a<b時(shí)，a⊕b=_____．(2)性質(zhì)應(yīng)用：①運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求?2024⊕②將?10，?9，?8，……，7，8，9這20個(gè)連續(xù)的整數(shù)，任意分為10組，每組兩個(gè)數(shù)，現(xiàn)將每組的兩個(gè)數(shù)中任一數(shù)值記作a，另一個(gè)記作b，求出a⊕b，10組數(shù)代入后可求得10個(gè)a⊕b的值，則這10個(gè)值的和的最小值是_____．27．（24-25七年級(jí)上·陜西西安·期中）對(duì)于有理數(shù)a，b，n，d，若|a?n|+|b?n|=d，則稱a和b關(guān)于n的“友誼數(shù)”為d，例如，|2?1|+|3?1|=3，則2和3關(guān)于1的“友誼數(shù)”為3．(1)?1和2關(guān)于3的“友誼數(shù)”為；(2)若k和2關(guān)于4的“友誼數(shù)”為8，求k的值；(3)有一組有理數(shù)，分別記為a0，a1，a2??a80，若a0和a1關(guān)于1的“友誼數(shù)”為1，a1和a2關(guān)于2的“友誼數(shù)為1，a2①則a0+a②則a1+a28．（24-25七年級(jí)上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理數(shù)p（p不為0和1），我們把1?1p稱為p的倒數(shù)差，如：3的倒數(shù)差是1?13=【理解運(yùn)用】若p=4，p1是p的倒數(shù)差，p2是p1的倒數(shù)差，p（1）分別求出p1（2）p7【拓展提升】（3）設(shè)有理數(shù)a,b,c（都不為0和1），將一個(gè)數(shù)組（a,b,c）中的數(shù)分別按照材料中“倒數(shù)差”的定義作變換，第1次變換后得到數(shù)組a1,b1,c1，第2次變換后得到數(shù)組a2,b229．（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）若∠A+2∠B=90°，我們則稱∠B是∠A的“絕配角”．例如：若∠1=10°，∠2=40°，則∠2是∠1的“絕配角”，請(qǐng)注意：此時(shí)∠1不是∠2的“絕配角”．．(1)如圖1，已知∠AOB=60°，在∠AOB內(nèi)存在一條射線OC，使得∠AOC是∠BOC的“絕配角”，此時(shí)∠AOC=______：（直接填寫(xiě)答案）(2)如圖2，已知∠AOB=60°，若平面內(nèi)存在射線OC、OD（OD在直線OB的上方），使得∠AOC是∠BOC的“絕配角”，∠BOC與∠BOD互補(bǔ)，求∠AOD大?。?3)如圖3，若∠AOB=10°，射線OC從OA出發(fā)繞點(diǎn)O以每秒20°的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，射線OD繞點(diǎn)O從OB出發(fā)以每秒10°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0<t≤20）．①當(dāng)0<t<17時(shí)，∠AOB是∠MON的“絕配角”，求出此時(shí)t的值：②當(dāng)17<t≤20時(shí)，t=______時(shí)，∠AOB是∠MON的“絕配角”（直接填寫(xiě)答案）．30．（2023七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)軸上，把原點(diǎn)記作點(diǎn)O，表示數(shù)a的點(diǎn)記作點(diǎn)A．對(duì)于數(shù)軸上任意一點(diǎn)P（不與點(diǎn)O、點(diǎn)A重合），將線段PO與線段PA的長(zhǎng)度之比定義為點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的幸福值，記作kP,a，即kP,a=POPA，例如：點(diǎn)P表示的數(shù)為1，點(diǎn)A表示的數(shù)為3，因?yàn)镻O=1(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段OA的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的幸福值kP,a=(2)若點(diǎn)P表示的數(shù)為?1，點(diǎn)A表示的數(shù)為3，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的幸福值kP,3=(3)若點(diǎn)P表示的數(shù)為2，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的幸福值kP,a=2，求點(diǎn)A表示的數(shù)(4)若點(diǎn)P表示的數(shù)為p，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，OA=3OP，則點(diǎn)P關(guān)于