高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省漳州市乙丙校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，若，則=（）A.100 B.120 C.57 D.18【答案】B【解析】是等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列，又，，所以，，，所以，故選：B．2.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點(diǎn)，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題設(shè)，可得，且中點(diǎn)為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D.3.如果直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為（）A.P在圓外 B.P在圓上C.P在圓內(nèi) D.P與圓的位置不確定【答案】A【解析】直線與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則它們相交.根據(jù)，得到，即.則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系為P在圓外.故選：A.4.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，則（）A. B.C.2 D.【答案】C【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則公比，所以，又，所以，解得，又，而恒成立，所以，則，故.故選：C.5.已知，點(diǎn)P滿足，直線，當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，此時(shí)m的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，設(shè)，則，，，化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)P的軌跡方程為，圓心為，半徑為2，，化簡(jiǎn)為，由，解得，即直線恒過定點(diǎn)，設(shè)定點(diǎn)為,如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離最大，，，，，.故選：C.6.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】數(shù)列中，由，得，整理得，則，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，于是，即，而滿足上式，因此，，，ABD錯(cuò)誤，C正確.故選：C.7.已知點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的面積為B.若點(diǎn)M是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為9C.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為D.外接圓的面積為【答案】D【解析】橢圓上一點(diǎn)，，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則，，對(duì)A，根據(jù)橢圓定義可得，則①，在中，由余弦定理得②，由①②可得，所以的面積為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，設(shè)，則，，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為5，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由A知的面積為，則，解得，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)外接圓的半徑為r，由正弦定理，得，所以，所以外接圓面積，故D正確.故選：D.8.若直線與圓交于不同兩點(diǎn)A?為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)， B.的取值范圍為C. D.線段AB中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為【答案】C【解析】如圖，對(duì)于選項(xiàng)A，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為r=1，直線，圓心C到直線的距離為，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，因?yàn)辄c(diǎn)A，B不重合，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖線段AB中點(diǎn)M滿足，M的軌跡是以O(shè)C為直徑的圓(圓C內(nèi)部部分)，所以軌跡長(zhǎng)為，故D錯(cuò)誤.故選：C.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.過點(diǎn)，在軸上的截距與在軸上的截距相等的直線只有一條B.過點(diǎn)作圓的切線，切線方程為C.經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為D.直線的一個(gè)方向向量為【答案】BD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，若直線過原點(diǎn)，則直線的斜率為，此時(shí)，直線方程為，若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為，即，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程可得，此時(shí)，直線方程為.所以，過點(diǎn)，在軸上的截距與在軸上的截距相等的直線有兩條，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則點(diǎn)在圓上，圓心為，所以，，所以，切線的斜率為，故切線方程為，即，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)為直角時(shí)，直線的斜率不存在，此時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為直線方程為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，直線方程可化為，該直線的斜率為，故該直線的一個(gè)方向向量為，D對(duì).故選：BD.10.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，，則下列結(jié)論正確的有（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.使為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為0 D.的最小值為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，若，則，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可知無(wú)整數(shù)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)楹蚥n是等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別為和，所以，所以遞增，所以最小值為時(shí)，為，故D正確；故選：ACD.11.橢圓，，為其左右焦點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.的最小值為C.使得為直角三角形的頂點(diǎn)共有個(gè)D.內(nèi)切圓半徑的最大值為【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)，，故，由橢圓定義可知，，在中，由余弦定理，得，即，解得，則，故A正確；選項(xiàng)B中，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；C選項(xiàng)，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立橢圓，無(wú)解，故使得的點(diǎn)不存在，過點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于兩點(diǎn)，此時(shí)，同理過點(diǎn)作軸的垂線，交橢圓于兩點(diǎn)，此時(shí)，故使得為直角三角形的頂點(diǎn)共有4個(gè)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)等于，故要想內(nèi)切圓半徑最大，只需的面積最大，因?yàn)椋十?dāng)點(diǎn)位于上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，此時(shí)，故最大面積為，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則，解得，所以內(nèi)切圓半徑最大值為，故D正確．故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線和圓相交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的垂直平分線的方程是_____．【答案】【解析】由圓，可知圓的圓心為，直線的斜率為，因此線段AB的垂直平分線的方程是，即.13.已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和取得最小值時(shí)，的值為__________.【答案】或5【解析】由題意得，，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)或5時(shí)，取最小值.14.已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．若直線與線段相交，則的取值范圍為______．【答案】【解析】可化為，由得，則直線過定點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，直線與線段相交，滿足題意．②當(dāng)時(shí)，直線的斜率，因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率，所以或，解得或．綜上可得的取值范圍為．四、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟.15.已知中，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)．（1）求邊上的高所在直線的方程；（2）求角平分線所在直線的方程．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，所以邊所在直線斜率，所以邊上的高所在直線的斜率，且過點(diǎn)，所以邊上的高所在直線的方程為y=23（2）由，可得，所以角平分線的傾斜角為，所以角平分線所在直線的斜率，且過點(diǎn)，所以角平分線所在直線l的方程為．16.在公差不為0的等差數(shù)列中，，且是與的等比中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公差為，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，即，整理得.又，，所以，則.（2）由（1）可得，，則①，②，①-②得則.17.圓過、兩點(diǎn)，且圓心在直線上．（1）求圓的方程；（2）若直線在軸上的截距是軸上的截距的2倍，且被圓截得的弦長(zhǎng)為6，求直線的方程．解：（1）兩點(diǎn)，的中垂線方程為：，聯(lián)立，解得圓心，則，故圓的方程為：；（2）由直線且被圓截得的弦長(zhǎng)為6，故圓心到直線的距離為，A．若直線過原點(diǎn)，可知直線斜率存在，設(shè)直線為：，，此時(shí)直線的方程為：A．若直線不過原點(diǎn)，設(shè)直線為：，，此時(shí)直線的方程為：，綜上：直線的方程為：，，.18.已知是橢圓的右焦點(diǎn)，是上一點(diǎn).（1）求的方程；（2）記為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn)，若，求的值.解：（1）由題可知，解得則的方程為.（2）若的斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性，不妨令，則，不符合條件.若的斜率存在，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組整理得，則.因?yàn)?，所以，解得，則.19.若數(shù)列滿足為正整數(shù)，p為常數(shù))，則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，p為公方差.（1）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為：，，判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若數(shù)列既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，證明：數(shù)列為常數(shù)列．（3）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，在的條件下，在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前30項(xiàng)的和解：（1）解：因?yàn)槌?shù))，所以數(shù)列為等