第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省婁底三中高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈Z|0<x+1<4}，B={x|?3<x<2}，則A∩B=(

)A.{?1,0,1} B.{0,1} C.{1,2} D.{0,1,2}2.已知向量a=(x,1)，b=(4,?2)，若a//b，則A.?2 B.2 C.?12 3.如圖，矩形A′B′C′D′是水平放置的平面四邊形ABCD用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的直觀圖，其中，A′B′=1，B′C′=2，則原四邊形ABCD的面積為(

)A.2

B.42

C.104.某市某月10天的空氣質(zhì)量指數(shù)為35、54、80、86、72、85、58、125、111、53，這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是(

)A.85 B.86 C.98.5 D.1115.已知兩條不同的直線(xiàn)m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列結(jié)論正確的是(

)A.若m//α，n?α，則m//n

B.若m⊥α，m⊥n，則n//α

C.若m?α，n?α，m//β，n//β，則α//β

D.若α//β，m?α，n?β，則m與n平行或異面6.已知sin(α+β)=35，tanα=12A.15 B.?15 C.27.將一個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為2，4的直角三角形繞其較長(zhǎng)直角邊所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐、則該圓錐外接球的表面積為(

)A.20π B.25π C.32π D.100π8.高一某班有24名男生和40名女生，某次數(shù)學(xué)測(cè)試中，男生的平均分與女生的平均分之差為4，若男生分?jǐn)?shù)的方差為94，全班分?jǐn)?shù)的方差為84，則女生分?jǐn)?shù)的方差為(

)A.90 B.86 C.78 D.72二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.甲、乙、丙、丁四人各擲骰子5次，并記下自己投擲時(shí)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，從而得到四組數(shù)據(jù)，這四組數(shù)據(jù)的相關(guān)情況如下：

甲：中位數(shù)為3，眾數(shù)為2；

乙：中位數(shù)為3，極差為4；

丙：平均數(shù)為3，中位數(shù)為2；

丁：平均數(shù)為2，方差為3.2．

則在投擲過(guò)程中可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是(

)A.甲 B.乙 C.丙 D.丁10.設(shè)P為菱形ABCD所在平面外一點(diǎn)，DB與CA交于O，M為PB上(異于P，B)的一點(diǎn)，則(

)A.OM//PA

B.OM與PC異面

C.若M為PB的中點(diǎn)，則OM//平面PCD

D.若PA=PC，則AC⊥平面PBD11.如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)B)，AB=4，AC=2，∠BAC=120°，則下列結(jié)論正確的是(

)A.3AD=AB+2AC B.|AD|=2133

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.某大學(xué)共有教師1000人，其中教授、副教授、講師、助教的人數(shù)比為1：4：3：2，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全校所有教師中抽取一個(gè)容量為40的樣本，講師應(yīng)抽取的人數(shù)為_(kāi)_____．13.非零復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z?，若|z(1+i)|=z?z?，則|z|=14.在三棱錐P?ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=3,AB=2,AC=4,BC=25四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinC+3acosC=3(2)若△ABC的面積為3，求a的最小值．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)求f(x)在區(qū)間[7π17.(本小題15分)

(1)已知m∈R，若z=(m+i)(?2+mi)為純虛數(shù)，求m的值；

(2)設(shè)復(fù)數(shù)z1=2?ai(a∈R)，z2=1+i，若z1+z2是實(shí)數(shù)，求z1z218.(本小題17分)

人工智能的廣泛應(yīng)用，給人們的生活帶來(lái)了便捷.隨著DeepSeek的開(kāi)源，促進(jìn)了AI技術(shù)的共享和進(jìn)步.某網(wǎng)站組織經(jīng)常使用DeepSeek的人進(jìn)行了AI知識(shí)競(jìng)賽.從參賽者中隨機(jī)選出100人作為樣本，并將這100人按成績(jī)分組：第1組[50,60)，第2組[60,70)，第3組[70,80)，第4組[80,90)，第5組[90,100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示．

(1)求a；

(2)求樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)與第35百分位數(shù)；

(3)已知直方圖中成績(jī)?cè)赱80,90)內(nèi)的平均數(shù)為85，方差為10，[90,100]內(nèi)的平均數(shù)為95，方差為15，求成績(jī)?cè)赱80,100]內(nèi)的平均數(shù)與方差．19.(本小題17分)

如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD=2，AB=BD=5，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BD上．

(1)證明：AC⊥BD；

(2)求直線(xiàn)BD與平面ACD所成角的正弦值；

(3)當(dāng)

參考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.B

7.B

8.D

9.ABC

10.BCD

11.BCD

12.12

13.214.41215.(1)由asinC+3acosC=3b，

結(jié)合正弦定理得sinAsinC+3sinAcosC=3sinB，

在△ABC中，sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinAsinC+3sinAcosC=3(sinAcosC+cosAsinC)，

整理得sinAsinC=3cosAsinC，

因?yàn)?<C<π，sinC>0，所以sinA=3cosA，

所以tanA=sinAcosA=16.(1)由題意得f(x)的最大值為A=2，

f(x)的周期T滿(mǎn)足T4=π6?(?π12)=π4，解得T=π，所以ω=2πT=2，

根據(jù)f(?π12)=2cos(?π6+φ)=2，函數(shù)取得最大值，可得?π6+φ=2kπ,k∈Z，

結(jié)合0<φ<π，解得φ=π6，所以f(x)=2cos(2x+π6)；

(2)令2kπ≤2x+π6≤2kπ+π,k∈Z，解得kπ?π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ?17.(1)由z=(m+i)(?2+mi)=?3m+(m2?2)i為純虛數(shù)，

得m=0m2?2≠0，即m=0；

(2)z1=2?ai(a∈R)，z2=1+i，若z1+z2=3+(1?a)i為實(shí)數(shù)，

則1?a=0，即a=1，此時(shí)z1z2=2?i1+i=(2?i)(1?i)18.(1)由題意可得(a+0.015+0.020+0.003×2)×10=1，解得a=0.005．

(2)前三組頻率之和為0.05+0.15+0.030=0.5，所以樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為80；

前兩組頻率之和為(0.005+0.015)×10=0.2，

則樣本數(shù)據(jù)的第35百分位數(shù)落在第三組，設(shè)第35百分位數(shù)為m，

則(m?70)×0.03=0.35?0.2，解得m=75；

(3)由題意，成績(jī)?cè)赱80,90)，[90,100]內(nèi)的人數(shù)分別為30，20．

所以成績(jī)?cè)赱80,100]內(nèi)的平均數(shù)為：x?=85×30+95×2050=89，

方差為S2=3519.(1)證明：因?yàn)锳D=CD，E是AC的中點(diǎn)，所以AC⊥DE．

因?yàn)镃D=AD，∠BDC=∠BDA，BD=BD，根據(jù)全等三角形邊角邊的判定，

所以△ADB≌△CDB，

所以AB=CB，所以AC⊥BE，

因?yàn)镈E∩BE=E，DE，BE?平面BED，

所以AC⊥平面BED，

因?yàn)锽D?平面BED，所以AC⊥BD．

(2)因?yàn)锳D⊥CD，AD=CD=2，

所以△ACD是等腰直角三角形，所以AC=2，DE=1．

依題意AB=BC=5，所以BE=2，

則DE2+BE2=BD2，所以DE⊥BE，

又因?yàn)锳C⊥BE，AC∩DE=E，AC，DE?平面ACD，所以BE⊥平面ACD．

所以∠BDE即為直線(xiàn)BD與平面ACD所成的角．

在Rt△BED中，sin∠BDE=BEBD=255，

所以直線(xiàn)BD與平面ACD所成角的正弦值為255．

(3)因?yàn)锳C⊥DE，BE⊥DE，且AC∩BE=E，AC，BE?平面ABC，

所以DE⊥平面ABC．

由(1)已證△ADB≌△CDB，所以