專題《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.認(rèn)識三角形并能用符號語言正確表示三角形，理解并會應(yīng)用三角形三邊之間的關(guān)系．2.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，通過作三角形的三條高、中線、角平分線，提高學(xué)生的基本作圖能力，并能運用圖形解決問題．3.能夠運用三角形內(nèi)角和定理及三角形的外角性質(zhì)進行相關(guān)的計算，證明問題.4.通過觀察和實地操作知道三角形具有穩(wěn)定性，知道四邊形沒有穩(wěn)定性，了解穩(wěn)定性與沒有穩(wěn)定性在生產(chǎn)、生活中的廣泛應(yīng)用．5.了解多邊形、多邊形的對角線、正多邊形以及鑲嵌等有關(guān)的概念；掌握多邊形內(nèi)角和及外角和，并能靈活運用公式解決有關(guān)問題，體驗并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，進一步培養(yǎng)說理和進行簡單推理的能力.【知識結(jié)構(gòu)】【知識點梳理】要點一、三角形的有關(guān)概念和性質(zhì)1.三角形三邊的關(guān)系：定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊的之差小于第三邊.特別說明：（1）理論依據(jù)：兩點之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當(dāng)已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．2.三角形按“邊”分類：3.三角形的重要線段：（1）三角形的高從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．特別說明：三角形的三條高所在的直線相交于一點的位置情況有三種：銳角三角形交點在三角形內(nèi)；直角三角形交點在直角頂點；鈍角三角形交點在三角形外.（2）三角形的中線三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．特別說明：一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點，叫做三角形的重心．中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.（3）三角形的角平分線三角形的一個內(nèi)角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.特別說明：一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點，這一點叫做三角形的內(nèi)心.要點二、三角形的穩(wěn)定性

如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．

特別說明：(1)三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變．(2)三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理．(3)四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動掛架，伸縮尺．有時我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形．要點三、三角形的內(nèi)角和與外角和1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：1.直角三角形的兩個銳角互余2.有兩個角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．（2）三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內(nèi)角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點四、多邊形及有關(guān)概念

1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

特別說明：多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形．三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形.2.正多邊形：各個角都相等、各個邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．特別說明：各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個角也都相等的四邊形才是正方形.3.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

特別說明：(1)從n邊形一個頂點可以引(n－3)條對角線，將多邊形分成(n－2)個三角形；(2)n邊形共有條對角線．

要點五、多邊形的內(nèi)角和及外角和公式

1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))．

特別說明：（1）一般把多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決；(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù).2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān).

特別說明：(1)外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

①n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°.要點六、鑲嵌的概念和特征

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)．這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同.

特別說明：（1）拼接在同一點的各個角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊.

(2)用正多邊形實現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長相等；頂點公用；在一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°.(3)只用一種正多邊形鑲嵌地面，當(dāng)圍繞一點拼在一起的幾個正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周角360°時，就能鋪成一個平面圖形.事實上，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.類型一、三角形的三邊關(guān)系類型二、三角形中重要線段類型三、與三角形有關(guān)的角類型四、三角形的穩(wěn)定性類型五、多邊形內(nèi)角和及外角和公式類型六、多邊形對角線公式的運用類型七、鑲嵌問題

【典型例題】類型一、三角形三邊關(guān)系1．已知，的三邊長為，，．（1）求的周長的取值范圍；（2）當(dāng)?shù)闹荛L為偶數(shù)時，求．【答案】（1）的周長；（2），或．【分析】（1）直接根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)軸線為偶數(shù)，結(jié)合（1）確定周長的值，從而確定x的值．解：（1）的三邊長分別為，，，，即，的周長，即：的周長；（2）的周長是偶數(shù)，由（1）結(jié)果得的周長可以是，或，的值為，或．【點撥】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，掌握三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】用一條長為18cm的細繩圍成一個等腰三角形．(1)如果腰長是底邊長的2倍，求三角形各邊的長．(2)能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？若能，求出其他兩邊的長；若不能，請說明理由．【答案】．(1)三角形三邊的長為cm、cm、cm;(2)能圍成等腰三角形，三邊長分別為4cm、7cm、7cm【分析】（1）可設(shè)出底邊xcm，則可表示出腰長，由條件列出方程，求解即可；（2）分腰長為4cm和底邊長為4cm兩種情況討論即可．解：（1）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為2xcm，,依題意，得，解得，∴，∴三角形三邊的長為cm、cm、cm；（2）若腰長為4cm，則底邊長為18-4-4=10cm，而4+4＜10，所以不能圍成腰長為4cm的等腰三角形，若底邊長為4cm，則腰長為=7cm，此時能圍成等腰三角形，三邊長分別為4cm、7cm、7cm．【點撥】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的兩腰相等是解題的關(guān)鍵，注意利用三角形三邊關(guān)系進行驗證．類型二、三角形中重要線段2．如圖所示，已知AD，AE分別是△ADC和△ABC的高和中線，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．試求：（1）AD的長；（2）△ABE的面積；（3）△ACE和△ABE的周長的差．【答案】；⑵12cm2；⑶2cm.【分析】（1）利用直角三角形面積的兩種求法求線段AD的長度即可；（2）先求△ABC的面積，再根據(jù)△AEC與△ABE是等底同高的兩個三角形，它們的面積相等，由此即可求得△ABE的面；（3）由AE是中線，可得BE=CE，根據(jù)△ACE的周長-△ABE的周長=AC+AE+CE-（AB+BE+AE），化簡可得△ACE的周長-△ABE的周長=AC-AB，即可求解：∵∠BAC=90°，AD是邊BC上的高，∴AB?AC=BC?AD，∴AD=（cm），即AD的長度為；（2）如圖，∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，∴S△ABC=AB?AC=×6×8=24（cm2）．又∵AE是邊BC的中線，∴BE=EC，∴BE?AD=EC?AD，即S△ABE=S△AEC，∴S△ABE=S△ABC=12（cm2）．∴△ABE的面積是12cm2．（3）∵AE為BC邊上的中線，∴BE=CE，∴△ACE的周長-△ABE的周長=AC+AE+CE-（AB+BE+AE）=AC-AB=8-6=2（cm），即△ACE和△ABE的周長的差是2cm．【點撥】本題考查了中線的定義、三角形周長的計算．解題的關(guān)鍵是利用直角三角形面積的兩兩種表達方式求線段AD的長．舉一反三：【變式】如圖銳角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，點D、E在邊AB、AC上，CD與BE交于點H．（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度數(shù)．（2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度數(shù)．【答案】（1）110°；（2）125°.【解析】試題分析：（1）已知BE⊥AC，CD⊥AB，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余可求得∠EBC、∠DCB的度數(shù)，在△BHC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠BHC的度數(shù)；（2）已知BE、CD平分∠ABC和∠ACB，根據(jù)角平分線的都有可求得∠EBC、∠DCB的度數(shù)，在△BHC中，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求得∠BHC的度數(shù).解：（1）∵BE⊥AC，∠ACB=70°，∴∠EBC=90°﹣70°=20°，∵CD⊥AB，∠ABC=40°，∴∠DCB=90°﹣40°=50°，∴∠BHC=180°﹣20°﹣50°=110°．（2）∵BE平分∠ABC，∠ABC=40°，∴∠EBC=20°，∵DC平分∠ACB，∠ACB=70°，∴∠DCB=35°，∴∠BHC=180°﹣20°﹣35°=125°.點撥：本題考查三角形內(nèi)角和定理、三角形的高、角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考基礎(chǔ)題．類型三、與三角形有關(guān)的角3、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E．（1）求∠CBE的度數(shù)；（2）過點D作DF∥BE，交AC的延長線于點F，求∠F的度數(shù)．【答案】(1)65°；(2)25°．分析：（1）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ABC=90°﹣∠A=50°，由鄰補角定義得出∠CBD=130°．再根據(jù)角平分線定義即可求出∠CBE=∠CBD=65°；（2）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)得出∠CEB=90°﹣65°=25°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求出∠F=∠CEB=25°．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=90°﹣∠A=50°，∴∠CBD=130°．∵BE是∠CBD的平分線，∴∠CBE=∠CBD=65°；（2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°，∴∠CEB=90°﹣65°=25°．∵DF∥BE，∴∠F=∠CEB=25°．點撥：本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補角定義，角平分線定義．掌握各定義與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】如圖，在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，AD是BC邊上的高，AE平分∠BAC，（1）求∠BAE的度數(shù)；（2）求∠DAE的度數(shù)．【答案】(1)∠BAE=30°；(2)∠EAD=20°.分析：（1）由三角形內(nèi)角和為180°結(jié)合已知條件易得∠BAC=60°，再結(jié)合AE平分∠BAC即可得到∠BAE=30°；（2）由AD是△ABC的高可得∠ADB=90°，結(jié)合∠ABC=40°可得∠BAD=50°，再結(jié)合∠BAE=30°即可解得∠DAE=20°.解：（1）∵在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=80°，∴∠BAC=180°-40°-80°=60°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=30°；（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°-90°-40°=50°，∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°.點撥：這是一道有關(guān)三角形角度的幾何計算題，熟悉“三角形內(nèi)角和為180°，三角形高的定義和三角形角平分線的定義”是解答本題的關(guān)鍵.類型四、三角形的穩(wěn)定性4、如圖，是一個用六根竹條連接而成的凸六邊形風(fēng)箏骨架，考慮到骨架的穩(wěn)定性、對稱性、實用性等因素，請再加三根竹條與其頂點連接，設(shè)計出兩種不同的連接方案（用直尺連接）．【答案】圖形見解析【解析】試題分析：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性，并利用軸對稱即可設(shè)計出方案.本題為開放題答案不唯一．解：所設(shè)計連接方案畫圖形如下所示：點撥：本題主要考查三角形的穩(wěn)定性及軸對稱相關(guān)知識.解題的關(guān)鍵要利用三角形的穩(wěn)定性并結(jié)合軸對稱來設(shè)計方案.舉一反三：【變式】如圖（1）扭動三角形木架，它的形狀會改變嗎？如圖（2）扭動四邊形木架，它的形狀會改變嗎？如圖（3）斜釘一根木條的四邊形木架的形狀形狀會改變嗎？為什么？歸納：①三角形木架的形狀______，說明三角形具有______；②四邊形木架的形狀______說明四邊形沒有______．【答案】圖（1）扭動三角形木架，它的形狀不會改變，因為三角形具有穩(wěn)定性；圖（2）扭動四邊形木架，它的形狀會改變，四邊形不穩(wěn)定；圖（3）斜釘一根木條的四邊形木架的形狀形狀不會改變，四邊形變成兩個三角形，三角形具有穩(wěn)定性；歸納：①是三角形，穩(wěn)定性；②四邊形，穩(wěn)定性．【分析】①根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行解答即可；②根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性進行解答即可．解：圖（1）扭動三角形木架，它的形狀不會改變，因為三角形具有穩(wěn)定性；圖（2）扭動四邊形木架，它的形狀會改變，四邊形不穩(wěn)定；圖（3）斜釘一根木條的四邊形木架的形狀形狀不會改變，四邊形變成兩個三角形，三角形具有穩(wěn)定性；歸納：①由三角形具有穩(wěn)定性知，三角形木架的形狀不會改變，這說明三角形具有穩(wěn)定性．故答案為：是三角形，穩(wěn)定性；②四邊形木架的形狀是四邊形，四邊形具有不穩(wěn)定性．故答案為：四邊形，穩(wěn)定性．【點撥】本題考查的是三角形的穩(wěn)定性，三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性在實際生活中的應(yīng)用問題，比較簡單．類型五、三角形的內(nèi)（外）角和5、一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的3倍還多180度，求這個多邊形的邊數(shù).【答案】這個多邊形的邊數(shù)是9【分析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°和多邊形的外角和定理列出方程，然后求解即可．解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是，則（n-2）·180°-360°×3=180°，解得.答：這個多邊形的邊數(shù)是9.【點撥】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點，此題要結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程求解即可．舉一反三：【變式】一個多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個多邊形的邊數(shù)．【答案】七邊形.【解析】多邊形的內(nèi)角和定理為(n－2)×180°，多邊形的外角和為360°，根據(jù)題意列出方程求出n的值．解：根據(jù)題意可得：解得：點撥：本題主要考查的是多邊形的內(nèi)角和公式以及外角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．明白這兩個公式是解題的關(guān)鍵．類型六、多邊形的對角線6、連接多邊形任意兩個不相鄰頂點的線段稱為多邊形的對角線．（1）對角線條數(shù)分別為、、、．（2）n邊形可以有20條對角線嗎？如果可以，求邊數(shù)n的值；如果不可以，請說明理由．（3）若一個n邊形的內(nèi)角和為1800°，求它對角線的條數(shù)．【答案】（1）2；5；9；；（2）n邊形可以有20條對角線，此時邊數(shù)n為八；（3）這個多邊形有54條對角線【解析】分析：（1）設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為an，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式即可求出結(jié)論；（2）假設(shè)可以，根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，可得出關(guān)于n的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，可求出邊數(shù)，再套用多邊形對角線條數(shù)公式，即可得出結(jié)論．解：（1）設(shè)n邊形的對角線條數(shù)為an，則a4==2，a5==5，a6==9，…，an=．（2）假設(shè)可以，根據(jù)題意得：=20，解得：n=8或n=-5（舍去），∴n邊形可以有20條對角線，此時邊數(shù)n為八．（3）∵一個n邊形的內(nèi)角和為1800°，∴180°×（n-2）=1800°，解得：n=12，∴==54．答：這個多邊形有54條對角線．點撥：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、多邊形的對角線以及多邊形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式求出多邊形的對角線條數(shù)；（2）根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，列出關(guān)于n的一元二次方程；（3）根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，求出邊數(shù)n．舉一反三：【變式】（1）問題：①從四邊形的一個頂點出發(fā)可以畫______條對角線，四邊形共有______條對角線；②從五邊形的一個頂點出發(fā)可以畫______條對角線，五邊形共有______條對角線；③從六邊形的一個頂點出發(fā)可以畫______條對角線，六形共有______條對角線.（2）猜想：①從100邊形的一個頂點出發(fā)可以畫______條對角線，100邊形共有______條對角線；②從n邊形的一個頂點出發(fā)可以畫______條對角線，n邊形共有______條對角線.（3）應(yīng)用：有32支足球隊進行單循環(huán)賽，一共需要賽幾場？【答案】（1）①1；2；②2；5；③3；9（2）①97；4850；②；；（3）496場【分析】對于（1），畫出圖形得到各圖形從一個頂點出發(fā)引的對角線的條數(shù)及對角線的總條數(shù)；對于（2），結(jié)合（1）中的解答，可類比得到100邊形從一個頂點出發(fā)引的對角線的條數(shù)及對角線的總條數(shù)，進而結(jié)合規(guī)律，得到n邊形的結(jié)果；對于（3），應(yīng)用（2）中的規(guī)律進行計算即可得出結(jié)果.解：（1）畫出圖形觀察圖形可得：①從四邊形的一個頂點出發(fā)可以畫1條對角線，四邊形共有2條對角線；②從五邊形的一個頂點出發(fā)可以畫2條對角線，五