統(tǒng)計(jì)預(yù)測與決策練習(xí)題及答案某制造企業(yè)2022年1-12月產(chǎn)品月產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下（單位：萬件）：12.3、13.1、12.8、14.2、15.0、14.5、16.2、15.8、17.1、16.5、18.3、17.9。企業(yè)計(jì)劃2023年1月制定生產(chǎn)計(jì)劃，需預(yù)測1月產(chǎn)量。問題1：分別采用3期簡單移動(dòng)平均法和α=0.3的一次指數(shù)平滑法預(yù)測2023年1月產(chǎn)量（初始平滑值取前3期的平均值）。解答：（1）3期簡單移動(dòng)平均法：移動(dòng)平均預(yù)測公式為\(F_{t+1}=\frac{Y_t+Y_{t-1}+Y_{t-2}}{3}\)，其中\(zhòng)(Y_t\)為第t期實(shí)際值。2022年10月預(yù)測值（用于11月）：\(F_{11}=(16.5+17.1+15.8)/3≈16.47\)（注：此處需明確預(yù)測目標(biāo)期，實(shí)際應(yīng)計(jì)算2022年12月的3期移動(dòng)平均作為2023年1月預(yù)測值）正確計(jì)算2023年1月預(yù)測值：取2022年10、11、12月數(shù)據(jù)，即\(F_{2023年1月}=(16.5+18.3+17.9)/3≈(52.7)/3≈17.57\)萬件。（2）一次指數(shù)平滑法（α=0.3，初始值\(S_0=(Y_1+Y_2+Y_3)/3=(12.3+13.1+12.8)/3≈12.73\)）：指數(shù)平滑公式為\(S_t=αY_t+(1-α)S_{t-1}\)，預(yù)測值\(F_{t+1}=S_t\)。計(jì)算各期平滑值：\(S_1=0.3×12.3+0.7×12.73≈3.69+8.91=12.60\)\(S_2=0.3×13.1+0.7×12.60≈3.93+8.82=12.75\)\(S_3=0.3×12.8+0.7×12.75≈3.84+8.93=12.77\)\(S_4=0.3×14.2+0.7×12.77≈4.26+8.94=13.20\)\(S_5=0.3×15.0+0.7×13.20≈4.50+9.24=13.74\)\(S_6=0.3×14.5+0.7×13.74≈4.35+9.62=13.97\)\(S_7=0.3×16.2+0.7×13.97≈4.86+9.78=14.64\)\(S_8=0.3×15.8+0.7×14.64≈4.74+10.25=14.99\)\(S_9=0.3×17.1+0.7×14.99≈5.13+10.49=15.62\)\(S_{10}=0.3×16.5+0.7×15.62≈4.95+10.93=15.88\)\(S_{11}=0.3×18.3+0.7×15.88≈5.49+11.12=16.61\)\(S_{12}=0.3×17.9+0.7×16.61≈5.37+11.63=17.00\)因此，2023年1月預(yù)測值為\(F_{2023年1月}=S_{12}≈17.00\)萬件。某連鎖超市記錄了2022年各月的廣告投入（萬元）與銷售額（萬元）數(shù)據(jù)如下表：|月份|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12||------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----||廣告投入X|8|10|12|9|11|13|7|14|15|16|18|20||銷售額Y|55|68|72|60|65|78|50|82|85|90|95|100|問題2：建立銷售額對廣告投入的一元線性回歸模型，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ惋@著性（α=0.05），并預(yù)測當(dāng)廣告投入為22萬元時(shí)的銷售額（保留2位小數(shù)）。解答：（1）建立回歸模型\(Y=a+bX+ε\)，其中\(zhòng)(b=\frac{n\sumXY-\sumX\sumY}{n\sumX^2-(\sumX)^2}\)，\(a=\bar{Y}-b\bar{X}\)。計(jì)算相關(guān)統(tǒng)計(jì)量：\(n=12\)，\(\sumX=8+10+12+9+11+13+7+14+15+16+18+20=153\)，\(\bar{X}=153/12=12.75\)\(\sumY=55+68+72+60+65+78+50+82+85+90+95+100=890\)，\(\bar{Y}=890/12≈74.17\)\(\sumXY=8×55+10×68+…+20×100=440+680+864+540+715+1014+350+1148+1275+1440+1710+2000=12176\)\(\sumX^2=82+102+…+202=64+100+144+81+121+169+49+196+225+256+324+400=2239\)計(jì)算斜率\(b\)：\(b=(12×12176-153×890)/(12×2239-1532)=(146112-136170)/(26868-23409)=9942/3459≈2.87\)截距\(a=74.17-2.87×12.75≈74.17-36.69≈37.48\)回歸模型：\(\hat{Y}=37.48+2.87X\)（2）模型顯著性檢驗(yàn)（F檢驗(yàn)）：總離差平方和\(SST=\sum(Y_i-\bar{Y})2=\sumY_i2-(\sumY)^2/n\)計(jì)算\(\sumY_i2=552+682+…+1002=3025+4624+5184+3600+4225+6084+2500+6724+7225+8100+9025+10000=60340\)\(SST=60340-(890)2/12=60340-656100/12=60340-54675=5665\)回歸平方和\(SSR=b2×[n\sumX2-(\sumX)^2]/n=(2.87)2×(12×2239-1532)/12≈8.24×(3459)/12≈8.24×288.25≈2376.08\)或直接計(jì)算\(SSR=b×(\sumXY-n\bar{X}\bar{Y})=2.87×(12176-12×12.75×74.17)≈2.87×(12176-11203.05)≈2.87×972.95≈2793.37\)（注：此處需核對計(jì)算，正確方法應(yīng)為\(SSR=\sum(\hat{Y}_i-\bar{Y})2\)，更準(zhǔn)確的方式是用\(SSR=b×L_{XY}\)，其中\(zhòng)(L_{XY}=\sumXY-n\bar{X}\bar{Y}=12176-12×12.75×74.17≈12176-11203.05=972.95\)，故\(SSR=b×L_{XY}=2.87×972.95≈2793.37\)）殘差平方和\(SSE=SST-SSR=5665-2793.37=2871.63\)自由度：回歸自由度\(df_1=1\)，殘差自由度\(df_2=12-2=10\)F統(tǒng)計(jì)量\(F=(SSR/df_1)/(SSE/df_2)=(2793.37/1)/(2871.63/10)≈2793.37/287.16≈9.73\)查F分布表（α=0.05，1,10）臨界值為4.96，因F=9.73>4.96，故模型顯著。（3）預(yù)測廣告投入22萬元時(shí)的銷售額：\(\hat{Y}=37.48+2.87×22=37.48+63.14=100.62\)萬元。某食品公司計(jì)劃推出新口味餅干，面臨三種生產(chǎn)方案：A（小規(guī)模）、B（中規(guī)模）、C（大規(guī)模）。市場需求有高、中、低三種狀態(tài)，概率分別為0.3、0.5、0.2，各方案在不同需求下的收益（萬元）如下表：|方案|高需求（0.3）|中需求（0.5）|低需求（0.2）||------|--------------|--------------|--------------||A|80|50|10||B|120|60|-20||C|180|40|-50|問題3：（1）用期望值法選擇最優(yōu)方案；（2）繪制決策樹并驗(yàn)證結(jié)果；（3）若需求概率未知，分別用樂觀法、悲觀法、折中主義法（樂觀系數(shù)α=0.6）、最小最大后悔值法選擇方案。解答：（1）期望值法：計(jì)算各方案期望收益（E）：\(E(A)=0.3×80+0.5×50+0.2×10=24+25+2=51\)萬元\(E(B)=0.3×120+0.5×60+0.2×(-20)=36+30-4=62\)萬元\(E(C)=0.3×180+0.5×40+0.2×(-50)=54+20-10=64\)萬元因E(C)=64最大，故選擇方案C。（2）決策樹繪制（文字描述）：-決策節(jié)點(diǎn)（□）引出三個(gè)方案分支（A、B、C）；-每個(gè)方案分支末端連接機(jī)會節(jié)點(diǎn)（○），引出高、中、低需求分支（概率0.3、0.5、0.2）；-各需求分支末端標(biāo)注對應(yīng)收益值；-計(jì)算各機(jī)會節(jié)點(diǎn)期望值（同（1）），標(biāo)于機(jī)會節(jié)點(diǎn)上方；-比較方案分支期望值，選擇C（64萬元）為最優(yōu)。（3）不確定型決策（概率未知）：①樂觀法（最大最大準(zhǔn)則）：取各方案最大收益，比較后選最大。A最大80，B最大120，C最大180→選C。②悲觀法（最大最小準(zhǔn)則）：取各方案最小收益，比較后選最大。A最小10，B最小-20，C最小-50→選A。③折中主義法（α=0.6）：折中收益=α×最大收益+(1-α)×最小收益。A：0.6×80+0.4×10=48+4=52B：0.6×120+0.4×(-20)=72-8=64C：0.6×180+0.4×(-50)=108-20=88→選C。④最小最大后悔值法：步驟1：構(gòu)造后悔值矩陣（各狀態(tài)下最大收益-該方案收益）。高需求最大收益180，中需求最大收益60，低需求最大收益10。后悔值矩陣：|方案|高需求|中需求|低需求|最大后悔值||------|--------|--------|--------|------------||A|180-80=100|60-50=10|10-10=0|100||B|180-120=60|60-60=0|10-(-20)=30|60||C|180-180=0|60-40=20|10-(-50)=60|60|步驟2：取各方案最大后悔值，選擇最小的。B和C最大后悔值均為60（最?。ǔ＿x收益更高的C（或根據(jù)題目要求任選，此處選C）。某物流企業(yè)需決定是否購買新分揀設(shè)備，購買成本80萬元，使用期5年。若購買，預(yù)計(jì)每年節(jié)約人工成本的概率分布為：節(jié)約40萬元（概率0.4）、節(jié)約30萬元（概率0.5）、節(jié)約10萬元（概率0.1）；若不購買，每年人工成本固定為35萬元?；鶞?zhǔn)折現(xiàn)率為10%（P/A,10%,5）=3.7908。問題4：（1）計(jì)算購買設(shè)備的凈現(xiàn)值期望值；（2）判斷是否應(yīng)購買設(shè)備（考慮凈現(xiàn)值≥0）。解答：（1）購買設(shè)備的年節(jié)約成本期望值\(E(年節(jié)約)=0.4×40+0.5×30+0.1×10=16+15+1=32\)萬元。年凈現(xiàn)金流入=年節(jié)約成本=32萬元（因不購買時(shí)年成本35萬元，購買后年成本=35-年節(jié)約成本，故凈現(xiàn)金流入為年節(jié)約成本）。凈現(xiàn)值（NPV）=年凈現(xiàn)金流入×年金現(xiàn)值系數(shù)-初始成本=32×3.7908-80≈121.31-80=41.31萬元。（2）因NPV=41.31>0，應(yīng)購買設(shè)備。某城市過去10年的GDP（億元）與貨運(yùn)量