上海高中三診試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(2\pi\)B.\(\pi\)C.\(4\pi\)D.\(\frac{\pi}{2}\)2.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)=（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(-2\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.復數(shù)\(z=3+4i\)的模\(\vertz\vert\)為（）A.\(5\)B.\(7\)C.\(\sqrt{7}\)D.\(\sqrt{25}\)5.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((4,0)\)D.\((0,4)\)6.已知\(\cos\alpha=\frac{1}{2}\)，且\(0\lt\alpha\lt\frac{\pi}{2}\)，則\(\alpha\)=（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{\pi}{4}\)D.\(\frac{\pi}{2}\)7.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)=（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)8.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)9.若\(a\gtb\)，則下列不等式成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a+c\gtb+c\)D.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)10.一個正方體的棱長為\(2\)，則它的表面積是（）A.\(6\)B.\(8\)C.\(24\)D.\(48\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.下列向量中，與向量\(\vec{a}=(1,1)\)平行的向量有（）A.\((2,2)\)B.\((-1,-1)\)C.\((1,-1)\)D.\((-2,-2)\)3.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質正確的是（）A.焦點在\(x\)軸B.長軸長為\(6\)C.短軸長為\(4\)D.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)4.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=x^3\)D.\(y=\sinx\)5.關于直線\(l\)：\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)），說法正確的是（）A.斜率為\(-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）B.在\(x\)軸截距為\(-\frac{C}{A}\)（\(A\neq0\)）C.在\(y\)軸截距為\(-\frac{C}{B}\)（\(B\neq0\)）D.與直線\(Ax+By+D=0\)平行（\(C\neqD\)）6.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_2=3\)C.\(a_3=5\)D.\(a_n=2n-1\)7.下列運算正確的是（）A.\(a^m\cdota^n=a^{m+n}\)B.\((a^m)^n=a^{mn}\)C.\((ab)^n=a^nb^n\)D.\(a^m\diva^n=a^{m-n}\)（\(a\neq0\)）8.下列命題中，真命題有（）A.對頂角相等B.同位角相等C.內錯角相等D.同旁內角互補9.已知\(x\)，\(y\)滿足約束條件\(\begin{cases}x+y\geqslant1\\x-y\leqslant1\\y\leqslant1\end{cases}\)，則目標函數(shù)\(z=2x+y\)（）A.有最大值B.有最小值C.最大值為\(3\)D.最小值為\(1\)10.以下能表示函數(shù)關系的有（）A.\(y=\sqrt{x-1}\)B.\(x^2+y^2=1\)C.\(y=2x+1\)D.\(y^2=x\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=2^x\)是減函數(shù)。（）3.垂直于同一條直線的兩條直線平行。（）4.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(ac\gtbd\)。（）5.復數(shù)\(z=a+bi\)（\(a\)，\(b\inR\)），當\(b=0\)時，\(z\)是實數(shù)。（）6.圓\(x^2+y^2=1\)的圓心坐標是\((0,0)\)，半徑是\(1\)。（）7.等差數(shù)列的通項公式一定是關于\(n\)的一次函數(shù)。（）8.若\(\sin\alpha=\sin\beta\)，則\(\alpha=\beta\)。（）9.直線\(y=x\)與圓\(x^2+y^2=1\)有兩個交點。（）10.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是\((0,+\infty)\)。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=\log_3(x-2)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x-2\gt0\)，解得\(x\gt2\)，所以定義域為\((2,+\infty)\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，求\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值。答案：分子分母同時除以\(\cos\alpha\)，原式\(=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}\)，把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{2-1}=3\)。3.求過點\((1,2)\)且斜率為\(3\)的直線方程。答案：由點斜式\(y-y_1=k(x-x_1)\)（\(k\)為斜率，\((x_1,y_1)\)為點坐標），可得\(y-2=3(x-1)\)，整理得\(3x-y-1=0\)。4.求等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)：\(1\)，\(3\)，\(5\)，\(\cdots\)的前\(n\)項和\(S_n\)。答案：首項\(a_1=1\)，公差\(d=2\)，根據等差數(shù)列求和公式\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(S_n=n\times1+\frac{n(n-1)}{2}\times2=n^2\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調性。答案：將函數(shù)化為頂點式\(y=(x-1)^2+2\)，其圖象開口向上，對稱軸為\(x=1\)。在\((-\infty,1)\)上函數(shù)單調遞減，在\((1,+\infty)\)上函數(shù)單調遞增。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判斷方法。答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，通過判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論在等比數(shù)列中，如何根據已知條件求通項公式。答案：若已知首項\(a_1\)和公比\(q\)，直接用通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)；若已知數(shù)列中的兩項\(a_m\)，\(a_n\)，先由\(\frac{a_n}{a