2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)與決策綜合案例分析試題一、選擇題1.某企業(yè)過(guò)去10年的銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，若用最小二乘法擬合直線方程\(y=a+bx\)，其中\(zhòng)(x\)表示年份（設(shè)第一年\(x=1\)），\(y\)表示銷(xiāo)售額。已知\(\sumx=55\)，\(\sumy=1200\)，\(\sumx^{2}=385\)，\(\sumxy=7260\)，則回歸系數(shù)\(b\)的值為（）A.12B.10C.8D.6答案：B解析：根據(jù)最小二乘法求回歸系數(shù)\(b\)的公式\(b=\frac{n\sumxy-\sumx\sumy}{n\sumx^{2}-(\sumx)^{2}}\)，這里\(n=10\)。代入數(shù)值：\(n\sumxy=10\times7260=72600\)，\(\sumx\sumy=55\times1200=66000\)，\(n\sumx^{2}=10\times385=3850\)，\((\sumx)^{2}=55^{2}=3025\)。則\(b=\frac{72600-66000}{3850-3025}=\frac{6600}{825}=10\)。2.在指數(shù)平滑法中，平滑系數(shù)\(\alpha\)的取值范圍是（）A.\(0<\alpha<1\)B.\(\alpha>1\)C.\(\alpha<0\)D.\(0\leqslant\alpha\leqslant1\)答案：A解析：指數(shù)平滑法中，平滑系數(shù)\(\alpha\)必須在\(0\)到\(1\)之間，當(dāng)\(\alpha\)趨近于\(0\)時(shí)，近期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值影響??；當(dāng)\(\alpha\)趨近于\(1\)時(shí)，近期數(shù)據(jù)對(duì)預(yù)測(cè)值影響大。取值范圍嚴(yán)格為\(0<\alpha<1\)。3.進(jìn)行決策時(shí)，若自然狀態(tài)的發(fā)生具有一定的概率，但決策結(jié)果不能完全確定，這種決策屬于（）A.確定型決策B.風(fēng)險(xiǎn)型決策C.不確定型決策D.對(duì)抗型決策答案：B解析：風(fēng)險(xiǎn)型決策是指自然狀態(tài)的發(fā)生具有一定的概率，決策者根據(jù)不同狀態(tài)下的損益值以及狀態(tài)發(fā)生的概率進(jìn)行決策，但由于概率只是一種可能性，所以決策結(jié)果不能完全確定。4.用決策樹(shù)進(jìn)行決策時(shí)，從決策點(diǎn)引出的分支叫做（）A.方案分支B.狀態(tài)分支C.概率分支D.結(jié)果分支答案：A解析：從決策點(diǎn)引出的分支代表不同的決策方案，稱(chēng)為方案分支；從狀態(tài)點(diǎn)引出的分支稱(chēng)為狀態(tài)分支。5.在多元線性回歸模型\(y=\beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}+\cdots+\beta_{k}x_{k}+\varepsilon\)中，檢驗(yàn)回歸方程整體顯著性常用的統(tǒng)計(jì)量是（）A.\(t\)統(tǒng)計(jì)量B.\(F\)統(tǒng)計(jì)量C.\(Z\)統(tǒng)計(jì)量D.\(\chi^{2}\)統(tǒng)計(jì)量答案：B解析：在多元線性回歸中，\(F\)統(tǒng)計(jì)量用于檢驗(yàn)回歸方程的整體顯著性，即檢驗(yàn)所有自變量對(duì)因變量是否有顯著的線性影響；\(t\)統(tǒng)計(jì)量用于檢驗(yàn)單個(gè)自變量的顯著性。二、判斷題1.時(shí)間序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)可以是線性的，也可以是非線性的。（）答案：正確解析：時(shí)間序列的長(zhǎng)期趨勢(shì)反映了現(xiàn)象在較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)的發(fā)展變化方向，可以呈現(xiàn)出線性增長(zhǎng)或下降，也可以是諸如指數(shù)曲線、拋物線等非線性的變化趨勢(shì)。2.在不確定型決策中，樂(lè)觀準(zhǔn)則是從每個(gè)方案的最大收益值中選擇最大值對(duì)應(yīng)的方案。（）答案：正確解析：樂(lè)觀準(zhǔn)則也叫大中取大法，是決策者對(duì)未來(lái)比較樂(lè)觀，只考慮每個(gè)方案在好的狀態(tài)下的收益，從各方案的最大收益值中選最大的，以此確定最優(yōu)方案。3.回歸分析中的殘差是指觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的差異。（）答案：正確解析：在回歸分析中，殘差\(e=y-\hat{y}\)，其中\(zhòng)(y\)是實(shí)際觀測(cè)值，\(\hat{y}\)是回歸方程的預(yù)測(cè)值，它反映了觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值之間的偏離程度。4.用移動(dòng)平均法進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，移動(dòng)平均的項(xiàng)數(shù)越多，對(duì)隨機(jī)誤差的平滑效果越好，但對(duì)實(shí)際變化的反應(yīng)越遲鈍。（）答案：正確解析：移動(dòng)平均法中，移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)越多，能將更多的隨機(jī)波動(dòng)平滑掉，也就是對(duì)隨機(jī)誤差的平滑效果越好；但由于考慮的歷史數(shù)據(jù)增多，對(duì)數(shù)據(jù)新的變化趨勢(shì)反應(yīng)不及時(shí)，即對(duì)實(shí)際變化的反應(yīng)越遲鈍。5.在決策樹(shù)中，決策點(diǎn)用方塊表示，狀態(tài)點(diǎn)用圓圈表示。（）答案：正確解析：這是決策樹(shù)的基本圖形表示規(guī)定，決策點(diǎn)用方塊表示，代表決策者需要進(jìn)行決策的位置；狀態(tài)點(diǎn)用圓圈表示，代表自然狀態(tài)的發(fā)生。三、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的一般步驟。解答：統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)的一般步驟如下：（1）確定預(yù)測(cè)目標(biāo)：明確預(yù)測(cè)要解決的問(wèn)題，例如預(yù)測(cè)市場(chǎng)銷(xiāo)售量、企業(yè)利潤(rùn)等，目標(biāo)要具體、明確。（2）收集和整理資料：根據(jù)預(yù)測(cè)目標(biāo)，收集相關(guān)的歷史數(shù)據(jù)和現(xiàn)實(shí)信息，這些資料可以來(lái)自企業(yè)內(nèi)部的報(bào)表、數(shù)據(jù)庫(kù)，也可以來(lái)自外部的統(tǒng)計(jì)機(jī)構(gòu)、行業(yè)協(xié)會(huì)等。收集后要對(duì)資料進(jìn)行審核、篩選、分組、編碼等整理工作，保證資料的準(zhǔn)確性、完整性和系統(tǒng)性。（3）選擇預(yù)測(cè)模型和方法：根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)和預(yù)測(cè)目標(biāo)，選擇合適的預(yù)測(cè)模型和方法。如果數(shù)據(jù)呈現(xiàn)線性趨勢(shì)，可選用線性回歸模型；如果是時(shí)間序列數(shù)據(jù)，可根據(jù)數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性等特征選擇移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法等。（4）建立預(yù)測(cè)模型：利用收集整理好的數(shù)據(jù)，估計(jì)模型中的參數(shù)，確定具體的預(yù)測(cè)模型。例如在回歸分析中，通過(guò)最小二乘法等方法估計(jì)回歸系數(shù)。（5）進(jìn)行預(yù)測(cè)：將已知的自變量數(shù)據(jù)代入建立好的預(yù)測(cè)模型，計(jì)算得到預(yù)測(cè)值。（6）對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)：分析預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性，計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，如絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差等?？梢酝ㄟ^(guò)比較不同模型的預(yù)測(cè)誤差、進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)等方法評(píng)價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果。如果預(yù)測(cè)誤差較大，需要重新檢查數(shù)據(jù)、模型和方法，進(jìn)行調(diào)整和改進(jìn)。2.比較風(fēng)險(xiǎn)型決策和不確定型決策的異同。解答：相同點(diǎn)：（1）兩者面臨的決策問(wèn)題都存在多種自然狀態(tài)，而非單一確定的情況。（2）都需要決策者根據(jù)不同情況進(jìn)行選擇和決策。不同點(diǎn)：（1）自然狀態(tài)的概率信息：風(fēng)險(xiǎn)型決策中，自然狀態(tài)的發(fā)生具有已知的、可以度量的概率；而不確定型決策中，自然狀態(tài)發(fā)生的概率是未知的，無(wú)法確切度量。（2）決策方法：風(fēng)險(xiǎn)型決策常用的方法有期望值準(zhǔn)則、決策樹(shù)法等，通過(guò)考慮各方案在不同自然狀態(tài)下的損益值以及狀態(tài)發(fā)生的概率來(lái)進(jìn)行決策；不確定型決策則有樂(lè)觀準(zhǔn)則、悲觀準(zhǔn)則、折衷準(zhǔn)則、后悔值準(zhǔn)則等方法，這些方法更多地依賴(lài)于決策者的主觀判斷和態(tài)度。（3）決策結(jié)果的可靠性：風(fēng)險(xiǎn)型決策由于考慮了狀態(tài)發(fā)生的概率，在一定程度上能夠?qū)Q策結(jié)果的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化和分析，決策結(jié)果相對(duì)更具有一定的可靠性和參考價(jià)值；不確定型決策的結(jié)果受決策者主觀因素影響較大，可靠性相對(duì)較低。3.簡(jiǎn)述指數(shù)平滑法的優(yōu)缺點(diǎn)。解答：優(yōu)點(diǎn)：（1）計(jì)算簡(jiǎn)便：指數(shù)平滑法只需要少量的數(shù)據(jù)和簡(jiǎn)單的計(jì)算步驟，不需要存儲(chǔ)大量的歷史數(shù)據(jù)。只需要利用上一期的預(yù)測(cè)值和當(dāng)期的實(shí)際觀測(cè)值，以及平滑系數(shù)就可以進(jìn)行預(yù)測(cè)。（2）適應(yīng)性強(qiáng)：它對(duì)數(shù)據(jù)模式的變化具有一定的適應(yīng)性。通過(guò)調(diào)整平滑系數(shù)，可以使模型對(duì)近期數(shù)據(jù)變化的反應(yīng)程度不同，當(dāng)數(shù)據(jù)出現(xiàn)新的趨勢(shì)或波動(dòng)時(shí)，能較快地調(diào)整預(yù)測(cè)值。（3）考慮了全部歷史數(shù)據(jù)信息：雖然指數(shù)平滑法是一種遞推的預(yù)測(cè)方法，但它在計(jì)算過(guò)程中實(shí)際上包含了所有歷史數(shù)據(jù)的信息，只不過(guò)給予不同時(shí)期的數(shù)據(jù)以不同的權(quán)重，近期數(shù)據(jù)權(quán)重較大，遠(yuǎn)期數(shù)據(jù)權(quán)重較小。缺點(diǎn)：（1）平滑系數(shù)的選擇具有主觀性：平滑系數(shù)\(\alpha\)的選擇沒(méi)有統(tǒng)一的客觀標(biāo)準(zhǔn)，不同的\(\alpha\)值會(huì)導(dǎo)致不同的預(yù)測(cè)結(jié)果，需要決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和判斷來(lái)確定，這可能會(huì)影響預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性。（2）對(duì)趨勢(shì)變化反應(yīng)的局限性：當(dāng)時(shí)間序列存在明顯的線性趨勢(shì)或季節(jié)性變化時(shí)，簡(jiǎn)單指數(shù)平滑法可能不能很好地適應(yīng)，會(huì)產(chǎn)生較大的預(yù)測(cè)誤差，需要使用更復(fù)雜的改進(jìn)指數(shù)平滑模型，如二次指數(shù)平滑法、三次指數(shù)平滑法等來(lái)處理。（3）不能直接用于外推預(yù)測(cè)：指數(shù)平滑法本質(zhì)上是基于歷史數(shù)據(jù)的平滑和趨勢(shì)延續(xù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)于數(shù)據(jù)模式發(fā)生重大改變或存在未知因素影響未來(lái)情況時(shí)，難以準(zhǔn)確進(jìn)行外推預(yù)測(cè)。四、計(jì)算題1.某企業(yè)2017-2024年的銷(xiāo)售額數(shù)據(jù)如下（單位：萬(wàn)元）：|年份|銷(xiāo)售額||-|-||2017|120||2018|130||2019|140||2020|150||2021|160||2022|170||2023|180||2024|190|（1）用3期移動(dòng)平均法預(yù)測(cè)2025年的銷(xiāo)售額。（2）若采用指數(shù)平滑法，設(shè)平滑系數(shù)\(\alpha=0.3\)，2024年的預(yù)測(cè)值為185萬(wàn)元，預(yù)測(cè)2025年的銷(xiāo)售額。解答：（1）3期移動(dòng)平均法公式為\(M_{t}=\frac{y_{t-1}+y_{t-2}+y_{t-3}}{3}\)，預(yù)測(cè)2025年銷(xiāo)售額，用2022-2024年的數(shù)據(jù)。\(M_{2025}=\frac{y_{2024}+y_{2023}+y_{2022}}{3}=\frac{190+180+170}{3}=\frac{540}{3}=180\)（萬(wàn)元）（2）指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)公式為\(F_{t+1}=\alphay_{t}+(1-\alpha)F_{t}\)，已知\(\alpha=0.3\)，\(y_{2024}=190\)萬(wàn)元，\(F_{2024}=185\)萬(wàn)元。\(F_{2025}=\alphay_{2024}+(1-\alpha)F_{2024}=0.3\times190+(1-0.3)\times185=57+129.5=186.5\)（萬(wàn)元）2.某企業(yè)擬開(kāi)發(fā)一種新產(chǎn)品，有三種方案可供選擇。市場(chǎng)情況有好、中、差三種，各種方案在不同市場(chǎng)情況下的損益值如下表所示：|方案|好（概率0.3）|中（概率0.5）|差（概率0.2）||-|-|-|-||A方案|100|60|-20||B方案|120|40|-40||C方案|80|70|10|（1）用期望值準(zhǔn)則選擇最優(yōu)方案。（2）畫(huà)出決策樹(shù)，并根據(jù)決策樹(shù)進(jìn)行決策。解答：（1）期望值準(zhǔn)則：方案A的期望值\(E(A)=0.3\times100+0.5\times60+0.2\times(-20)=30+30-4=56\)（萬(wàn)元）方案B的期望值\(E(B)=0.3\times120+0.5\times40+0.2\times(-40)=36+20-8=48\)（萬(wàn)元）方案C的期望值\(E(C)=0.3\times80+0.5\times70+0.2\times10=24+35+2=61\)（萬(wàn)元）因?yàn)閈(E(C)>E(A)>E(B)\)，所以最優(yōu)方案是C方案。（2）決策樹(shù)繪制：首先畫(huà)一個(gè)決策點(diǎn)（方塊），從決策點(diǎn)引出三個(gè)方案分支，分別代表A、B、C方案。在每個(gè)方案分支末端畫(huà)一個(gè)狀態(tài)點(diǎn)（圓圈），從狀態(tài)點(diǎn)引出三個(gè)狀態(tài)分支，分別代表市場(chǎng)好、中、差三種情況，并標(biāo)注相應(yīng)的概率和損益值。計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的期望值：節(jié)點(diǎn)1（A方案）期望值為56萬(wàn)元；節(jié)點(diǎn)2（B方案）期望值為48萬(wàn)元；節(jié)點(diǎn)3（C方案）期望值為61萬(wàn)元。比較各節(jié)點(diǎn)期望值，選擇期望值最大的方案C，將A、B方案分支進(jìn)行剪枝。所以根據(jù)決策樹(shù)決策結(jié)果也是選擇C方案。五、綜合案例分析題案例：某電商企業(yè)準(zhǔn)備開(kāi)展一次促銷(xiāo)活動(dòng)，為了確定合適的促銷(xiāo)力度和價(jià)格策略，對(duì)過(guò)去24個(gè)月的銷(xiāo)售數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析。數(shù)據(jù)涉及每月的促銷(xiāo)費(fèi)用（\(x_{1}\)，單位：千元）、商品平均價(jià)格（\(x_{2}\)，單位：元）和銷(xiāo)售額（\(y\)，單位：萬(wàn)元）。經(jīng)過(guò)計(jì)算，得到以下數(shù)據(jù)：\(n=24\)，\(\sumx_{1}=480\)，\(\sumx_{2}=7200\)，\(\sumy=960\)，\(\sumx_{1}^{2}=10000\)，\(\sumx_{2}^{2}=2200000\)，\(\sumy^{2}=40000\)，\(\sumx_{1}x_{2}=144000\)，\(\sumx_{1}y=20000\)，\(\sumx_{2}y=288000\)（1）建立銷(xiāo)售額關(guān)于促銷(xiāo)費(fèi)用和商品平均價(jià)格的多元線性回歸模型\(y=\beta_{0}+\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}+\varepsilon\)，并估計(jì)回歸系數(shù)\(\beta_{0}\)，\(\beta_{1}\)，\(\beta_{2}\)。（2）若下一個(gè)月計(jì)劃投入促銷(xiāo)費(fèi)用30千元，商品平均價(jià)格定為320元，預(yù)測(cè)該月的銷(xiāo)售額。（3）在本次促銷(xiāo)活動(dòng)決策中，除了考慮銷(xiāo)售額的預(yù)測(cè)，還需要考慮哪些因素？解答：（1）首先根據(jù)正規(guī)方程組求解回歸系數(shù)。正規(guī)方程組為：\(\begin{cases}n\beta_{0}+\beta_{1}\sumx_{1}+\beta_{2}\sumx_{2}=\sumy\\\beta_{0}\sumx_{1}+\beta_{1}\sumx_{1}^{2}+\beta_{2}\sumx_{1}x_{2}=\sumx_{1}y\\\beta_{0}\sumx_{2}+\beta_{1}\sumx_{1}x_{2}+\beta_{2}\sumx_{2}^{2}=\sumx_{2}y\end{cases}\)將已知數(shù)據(jù)代入：\(\begin{cases}24\beta_{0}+480\beta_{1}+7200\beta_{2}=960\\480\beta_{0}+10000\beta_{1}+144000\beta_{2}=20000\\7200\beta_{0}+144000\beta_{1}+2200000\beta_{2}=288000\end{cases}\)由第一個(gè)方程可得\(\beta_{0}=\frac{960-480\beta_{1}-7200\beta_{2}}{24}=40-20\beta_{1}-300\beta_{2}\)將\(\beta_{0}=40-20\beta_{1}-300\beta_{2}\)代入第二個(gè)和第三個(gè)方程：代入第二個(gè)方程：\(480\times(40-20\beta_{1}-300\beta_{2})+10000\beta_{1}+144000\beta_{2}=20000\)\(19200-9600\beta_{1}-144000\beta_{2}+10000\beta_{1}+144000\beta_{2}=20000\)\(400\beta_{1}=20000-19200\)\(400\beta_{1}=800\)，解得\(\beta_{1}=2\)將\(\beta_{1}=2\)代入\(\beta_{0}=40-20\beta_{1}-300\beta_{2}\)后再代入第三個(gè)方程：\(7200\times(40-20\times2-300\beta_{2})+144000\times2+2200000\beta_{2}=288000\)\(7200\times(40-40-300\beta_{2})+288000+2200000\beta_{2}=288000\)\(-2160000\beta_{2}+2200000\beta_{2}=0\)\(40000\beta_{2}=0\)，解得\(\beta_{2}=0\