4.4.1角的定義及表示方法第4章

幾何圖形初步【2025-2026學(xué)年】2024滬科版

數(shù)學(xué)

七年級上冊

授課教師：********班級：********時(shí)間：********4.4.1角的定義及表示方法匯報(bào)人：[教師姓名]匯報(bào)班級：[具體班級]知識回顧前面我們學(xué)習(xí)了線段、射線、直線的相關(guān)知識，知道了它們的概念、特征和表示方法。在幾何圖形中，角是另一個(gè)非常重要的基本圖形，它由射線組成，與線段、射線等有著密切的聯(lián)系。本節(jié)課我們將學(xué)習(xí)角的定義及表示方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)角的度量、比較等知識奠定基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)目標(biāo)理解角的兩種定義方式，能準(zhǔn)確描述角的構(gòu)成要素。掌握角的表示方法，能根據(jù)不同情況正確表示角。能結(jié)合圖形識別角，提高對幾何圖形的認(rèn)知能力。感受角在生活中的廣泛存在，體會(huì)幾何知識與生活的緊密聯(lián)系。知識點(diǎn)：角的定義定義一（靜態(tài)定義）由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角。這兩條射線叫做角的邊，它們的公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)。例如，我們用圓規(guī)畫角時(shí)，先確定一個(gè)頂點(diǎn)，然后從這個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫出兩條射線，這兩條射線和頂點(diǎn)就構(gòu)成了一個(gè)角。定義二（動(dòng)態(tài)定義）一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角。射線的起始位置叫做角的始邊，射線的終止位置叫做角的終邊。例如，鐘面上的時(shí)針和分針隨著時(shí)間的變化所形成的角，就是分針或時(shí)針繞著鐘面中心（頂點(diǎn)）旋轉(zhuǎn)而形成的，符合角的動(dòng)態(tài)定義。角的構(gòu)成要素?zé)o論是靜態(tài)定義還是動(dòng)態(tài)定義，角都由三個(gè)要素構(gòu)成：頂點(diǎn)：兩條射線的公共端點(diǎn)（或射線旋轉(zhuǎn)時(shí)的固定端點(diǎn)）。始邊：在動(dòng)態(tài)定義中，射線的起始位置；在靜態(tài)定義中，可看作其中一條射線。終邊：在動(dòng)態(tài)定義中，射線的終止位置；在靜態(tài)定義中，可看作另一條射線。知識點(diǎn)：角的表示方法角的表示方法有多種，通常可以用大寫字母、小寫字母、數(shù)字或希臘字母等來表示，具體使用哪種方法要根據(jù)角的個(gè)數(shù)和圖形的復(fù)雜程度來確定。用三個(gè)大寫字母表示規(guī)則：用角的頂點(diǎn)字母和兩條邊上的各一個(gè)點(diǎn)的字母表示，頂點(diǎn)字母必須寫在中間。示例：如圖，頂點(diǎn)為O，邊為OA和OB的角，可以表示為∠AOB（或∠BOA）。A//O——B適用情況：當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)處有多個(gè)角時(shí)，為了避免混淆，通常使用這種表示方法。用一個(gè)大寫字母表示規(guī)則：當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，可以用頂點(diǎn)處的大寫字母表示這個(gè)角。示例：如圖，頂點(diǎn)為O，且O處只有一個(gè)角，這個(gè)角可以表示為∠O。A//O——B注意事項(xiàng)：如果一個(gè)頂點(diǎn)處有多個(gè)角，就不能用這種方法表示，否則會(huì)引起混淆。例如，在一個(gè)頂點(diǎn)O處有∠AOB、∠BOC、∠AOC三個(gè)角，就不能都表示為∠O。用數(shù)字表示規(guī)則：在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處畫上弧線，標(biāo)上數(shù)字（如1、2、3等），然后用這個(gè)數(shù)字表示角。示例：如圖，標(biāo)有數(shù)字1的角，可以表示為∠1。A//1O——B適用情況：當(dāng)圖形中角的個(gè)數(shù)較多，用字母表示不方便時(shí)，常用這種方法，簡潔明了。用希臘字母表示規(guī)則：在角的內(nèi)部靠近頂點(diǎn)處畫上弧線，標(biāo)上希臘字母（如α、β、γ等），然后用這個(gè)希臘字母表示角。示例：如圖，標(biāo)有希臘字母α的角，可以表示為∠α。A//αO——B適用情況：與用數(shù)字表示類似，在角的個(gè)數(shù)較多時(shí)使用，是數(shù)學(xué)中常用的表示方法之一。例題解析例1：指出下圖中所有的角，并分別用合適的方法表示出來。A/\/\OC\/\/B解：圖中的角有：頂點(diǎn)為O，邊為OA和OB的角，可表示為∠AOB（或∠BOA）；頂點(diǎn)為O，邊為OB和OC的角，可表示為∠BOC（或∠COB）；頂點(diǎn)為O，邊為OA和OC的角，可表示為∠AOC（或∠COA）。由于頂點(diǎn)O處有三個(gè)角，不能用∠O表示，所以選擇用三個(gè)大寫字母表示。例2：判斷下列角的表示方法是否正確，若不正確，請說明理由并改正。（1）如圖，∠AOB可以表示為∠O；A/|/|O|\|\|B（2）如圖，∠1可以表示為∠B。A//1B——C解：（1）不正確。因?yàn)轫旤c(diǎn)O處有兩個(gè)角（∠AOB和∠AOC，圖中C為OA另一側(cè)的點(diǎn)），用∠O表示無法區(qū)分具體是哪個(gè)角，應(yīng)表示為∠AOB。（2）不正確?！?的頂點(diǎn)是B，邊是BA和BC，用∠B表示是正確的，但這里題目說“∠1可以表示為∠B”是正確的？不，圖中∠1的頂點(diǎn)是B，邊是BA和BC，所以∠1可以表示為∠B，所以（2）是正確的？哦，仔細(xì)看（2）的圖形，頂點(diǎn)是B，邊是BA和BC，標(biāo)有∠1，所以∠1確實(shí)可以表示為∠B，所以（2）是正確的。例3：用不同的方法表示下圖中的角。D//2A——C\\1B解：圖中的角有：標(biāo)有數(shù)字1的角，頂點(diǎn)是A，邊是AB和AC，可以表示為∠1、∠BAC（或∠CAB）；標(biāo)有數(shù)字2的角，頂點(diǎn)是A，邊是AD和AC，可以表示為∠2、∠DAC（或∠CAD）。小練習(xí)填空題：（1）角是由兩條具有______的射線組成的圖形，這兩條射線叫做角的______，它們的公共端點(diǎn)叫做角的______。（2）一條射線繞著它的______從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角，射線的起始位置叫做角的______，終止位置叫做角的______。（3）如圖，∠AOB的頂點(diǎn)是______，邊是______和______，可以表示為______或______。A//O——B選擇題：（1）下列關(guān)于角的表示方法中，正確的是（

）A.如圖，∠A可以表示為∠OA//O——BB.如圖，∠1可以表示為∠BA//1B——CC.如圖，∠AOB可以表示為∠O（O處有多個(gè)角）A/|/|O|\|\|BD.以上都不正確（2）一個(gè)頂點(diǎn)處有3個(gè)角，那么這些角一共有（

）種不同的表示方法（用三個(gè)大寫字母表示）。A.3B.6C.9D.12解答題：（1）畫出一個(gè)角，頂點(diǎn)為M，邊為MN和MP，分別用不同的方法表示這個(gè)角。（2）指出下圖中所有的角，并分別用合適的方法表示出來。E/\/\DC\/\/A——B思考討論角的兩種定義有什么聯(lián)系和區(qū)別？聯(lián)系：兩種定義都揭示了角的本質(zhì)，即角是由一個(gè)頂點(diǎn)和兩條邊組成的圖形，邊都是射線。區(qū)別：靜態(tài)定義是從“組成”的角度描述角，強(qiáng)調(diào)角是由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成；動(dòng)態(tài)定義是從“形成過程”的角度描述角，強(qiáng)調(diào)角是射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的。動(dòng)態(tài)定義更能體現(xiàn)角的大小變化，而靜態(tài)定義更直觀地描述了角的構(gòu)成。在表示角時(shí)，如何選擇合適的表示方法？選擇角的表示方法時(shí)，要根據(jù)角的個(gè)數(shù)和圖形的具體情況來確定：當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，可以用頂點(diǎn)字母表示，也可以用三個(gè)字母表示。當(dāng)一個(gè)頂點(diǎn)處有多個(gè)角時(shí)，必須用三個(gè)字母表示或用數(shù)字、希臘字母表示，以避免混淆。在復(fù)雜的圖形中，為了簡潔明了，常用數(shù)字或希臘字母表示角。課堂小結(jié)角的定義：靜態(tài)定義：由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形。動(dòng)態(tài)定義：一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形。角的構(gòu)成要素：頂點(diǎn)、始邊、終邊。角的表示方法：用三個(gè)大寫字母表示（頂點(diǎn)字母在中間）。用一個(gè)大寫字母表示（頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)）。用數(shù)字表示。用希臘字母表示。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們理解了角的定義，掌握了角的構(gòu)成要素和表示方法，能根據(jù)不同的圖形選擇合適的方法表示角，為后續(xù)學(xué)習(xí)角的度量和比較等知識做好了準(zhǔn)備。5課堂檢測4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解鐘面上的時(shí)針與分針?biāo)鶚?gòu)成的圖形、四面體中任意兩條相交棱所構(gòu)成的圖形，都呈現(xiàn)了什么樣的形象？新課導(dǎo)入鐘面上的時(shí)針與分針?biāo)鶚?gòu)成的圖形、四面體中任意兩條相交棱所構(gòu)成的圖形，都呈現(xiàn)了角的形象.頂點(diǎn)邊邊BAO角可以看作是從一點(diǎn)O出發(fā)的兩條射線OA，OB所組成的圖形，其中點(diǎn)O叫作角的頂點(diǎn)，射線OA，OB叫作角的邊.新知探究知識點(diǎn)1角的定義及表示方法角也可以看成是射線OA繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置后形成的圖形.射線OA，OB分別叫作這個(gè)角的始邊和終邊.始邊旋轉(zhuǎn)經(jīng)過的平面部分稱為角的內(nèi)部.始邊終邊ABO表示方法圖示記法適用范圍用三個(gè)大寫英文字母∠AOB或∠BOA任何情況都適用，表示頂點(diǎn)的字母寫在中間用一個(gè)大寫英文字母∠O僅適用于以這一點(diǎn)為頂點(diǎn)的角只有一個(gè)時(shí)用一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字∠1任何情況都適用用一個(gè)小寫希臘字母∠α任何情況都適用角的表示方法：當(dāng)射線OA

繞點(diǎn)О旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)到與OA在同一條直線上時(shí)，形成的角叫作平角.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)回到初始位置OA時(shí)，形成的角叫作周角.知識點(diǎn)2角的分類ABO(B)角度范圍角的名稱相互關(guān)系0°＜∠α＜90°銳角銳角<直角<鈍角<平角<周角;1平角=2直角;1周角=2平角=4直角∠α=90°直角90°＜∠α＜180°鈍角∠α=180°平角∠α=360°周角角的分類：*后面說到的角，除特殊注明外，都是指銳角、直角或鈍角.練習(xí)1.填空：如圖，從端點(diǎn)O引出射線OA，OB，OC，OD.圖中的角分別是___________________________________________.OABCD∠AOB,∠AOC,∠AOD,∠BOC,∠BOD,∠COD【教材P154練習(xí)第1題】名稱銳角鈍角周角圖形范圍α=90°α=360°2.填表：ααααα直角0°＜α＜90°90°＜α＜180°平角α=180°【教材P154練習(xí)第2題】1.如圖，下列說法正確的是（）A.∠1與∠AOC表示同一個(gè)角B.∠AOC也可以用∠О表示C.∠β表示的是∠AOCD.圖中共有三個(gè)角，分別是∠AOB，∠AOC和∠BOCD隨堂練習(xí)OABC1β2.下列說法正確的是（）A.平角就是一條直線B.周角就是一條射線C.平角的兩邊在同一直線上D.周角的終邊與始邊重合，所以周角的度數(shù)是0°C3.如圖，圖中小于平角的角有______個(gè)，其中∠BOD為______，∠BOC為________，∠AOD為________.（后三空選填“銳角”“直角”或“鈍角”）5DBOAC銳角直角鈍角1星題

基礎(chǔ)練知識點(diǎn)1

角的概念及表示方法1.下列說法中，正確的是(

)CA.兩條射線組成的圖形叫作角B.有公共端點(diǎn)的兩條線段組成的圖形叫作角C.角可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形D.角的邊越長，角越大

BA.

B.

C.

D.

3.如圖，請根據(jù)角的不同表示方法填寫下表.表示方法1

_____________________________________________表示方法2____

編輯作答空間順序

知識點(diǎn)2

角的分類4.下列說法正確的是(

)DA.一條直線便是一個(gè)平角B.由兩條射線組成的圖形叫作角C.周角就是一條射線D.由一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，始邊與終邊重合而形成的