黑龍江省五大連池市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編綜合練習考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、在中，，，，的對邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．2、《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈.問戶高、廣各幾何.”大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少（1丈＝10尺，1尺＝10寸）？若設門的寬為x寸，則下列方程中，符合題意的是（）A．x2+12＝（x+0.68）2 B．x2+（x+0.68）2＝12C．x2+1002＝（x+68）2 D．x2+（x+68）2＝10023、如圖，正方體盒子的棱長為2，M為BC的中點，則一只螞蟻從A點沿盒子的表面爬行到M點的最短距離為（

）A． B．C． D．4、已知直角三角形的兩條邊長分別是3和4，那么這個三角形的第三條邊的長為（

）A．5 B．25 C． D．5或5、如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)的點F處，連接CF，則CF的長為（）A． B． C． D．6、我國古代數(shù)學著作《九章算術》中有這樣一個問題：

“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．水深、葭長各幾何？”．其大意是：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺(丈、尺是長度單位，1丈＝10尺)的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？若設這跟蘆葦?shù)拈L度為x尺，根據(jù)題意，所列方程正確的是(

)A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2＝(x＋1)2C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2＝(x＋1)27、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．6第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖，在中，，于點D．E為線段BD上一點，連結CE，將邊BC沿CE折疊，使點B的對稱點落在CD的延長線上．若，，則的面積為__________．2、我國古代九章算術中有數(shù)學發(fā)展史上著名的“葭生池中”問題：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問：葭長幾何？（1丈＝10尺）．意思是：有一個長方體池子，底面是邊長為1丈的正方形，中間有蘆葦，把高出水面1尺的蘆葦拉向池邊（蘆葦沒有折斷），剛好貼在池邊上，問：蘆葦長多少尺？答：蘆葦長____________尺．3、如圖，在長方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，點E為BC上一點，將△ABE沿AE折疊，點B恰好落在線段DE上的點F處，則BE的長為______．4、我國古代有這樣一道數(shù)學問題:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根纏繞而上,五周而達其頂,問葛藤之長幾何?”題意是:如圖所示,把枯木看作一個圓柱體,因一丈是十尺,則該圓柱的高為20尺,底面周長為3尺,有葛藤自點A處纏繞而上,繞五周后其末端恰好到達點B處,則問題中葛藤的最短長度是_______尺.

5、如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，則BC邊上的高為_______．6、圖①所示的正方體木塊棱長為6cm，沿其相鄰三個面的對角線（圖中虛線）剪掉一角，得到如圖②的幾何體，一只螞蟻沿著圖②的幾何體表面從頂點A爬行到頂點B的最短距離為_____cm．7、公元三世紀，我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的“趙爽弦圖”，它由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，如果小正方形面積是49，直角三角形中較小銳角θ的正切為，那么大正方形的面積是_____．8、如圖，在一次綜合實踐活動中，小明將一張邊長為10cm的正方形紙片ABCD，沿著BC邊上一點E與點A的連線折疊，點B'是點B的對應點，延長EB'交DC于點G，B'G＝cm，則△ECG的面積為_____cm2．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、（1）如圖１是一個重要公式的幾何解釋，請你寫出這個公式；（2）伽菲爾德（1881年任美國第20屆總統(tǒng)）利用（1）中的公式和圖2證明了勾股定理（1876年4月1日發(fā)表在《新英格蘭教育日志》上），現(xiàn)請你嘗試證明過程．說明：．2、有一只喜鵲在一棵3m高的小樹上覓食，它的巢筑在距離該樹24m的一棵大樹上，大樹高14m，且巢離樹頂部1m．當它聽到巢中幼鳥的叫聲，立即趕過去，如果它飛行的速度為5m/s，那它至少需要多少時間才能趕回巢中？3、如圖，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度為16米的大樹被折斷，樹的頂部落在離樹根8米處，即，求這棵樹在離地面多高處被折斷（即求AC的長度）？4、臺風是一種自然災害，它以臺風中心為圓心在周圍上百千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強的破壞力，如圖，有一臺風中心沿東西方向由行駛向，已知點為海港，并且點與直線上的兩點，的距離分別為，，又，以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域．（1）求的度數(shù)；（2）海港受臺風影響嗎？為什么？5、若的三邊，，滿足條件，試判斷的形狀.6、如圖所示的一塊地，已知，，，，，求這塊地的面積．7、如圖，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，點D為BC的中點，．（1）求證：△ABC≌△DEB．（2）連結AE，若BC＝4，直接寫出AE的長．-參考答案-一、單選題1、A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【考點】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．2、D【解析】【分析】1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸，設門的寬為x寸，則門的高度為（x+68）寸，利用勾股定理及門的對角線長1丈（100寸），即可得出關于x的一元二次方程，此題得解.【詳解】解：1丈＝100寸，6尺8寸＝68寸.設門的寬為x寸，則門的高度為（x+68）寸，依題意得：x2+（x+68）2＝1002.故選：D.【考點】本題主要考查了勾股定理的應用、由實際問題抽象出一元二次方程，準確計算是解題的關鍵．3、B【解析】【分析】先利用展開圖確定最短路線，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，螞蟻沿路線AM爬行時距離最短；∵正方體盒子棱長為2，M為BC的中點，∴，∴，故選：B．【考點】本題考查了螞蟻爬行的最短路徑為題，涉及到了正方形的性質(zhì)、正方體的展開圖、勾股定理、兩點之間線段最短等知識，解題關鍵是牢記相關概念與靈活應用．4、D【解析】【分析】分情況討論：①當邊長為4的邊作斜邊時；②當邊長為4的邊作直角邊時，利用勾股定理分別求解即可．【詳解】解：當邊長為4的邊作斜邊時，第三條邊的長度為；當邊長為4的邊作直角邊時，第三條邊的長度為；綜上分析可知，這個三角形的第三條邊的長為5或，故D正確．故選：D．【考點】本題主要考查了勾股定理，掌握分類討論的思想是解題的關鍵．5、C【解析】【分析】連接BF，（見詳解圖），由翻折變換可知，BF⊥AE，BE=EF，由點E是BC的中點，可知BE=3，根據(jù)勾股定理即可求得AE；根據(jù)三角形的面積公式可求得BH，進而可得到BF的長度；結合題意可知FE=BE=EC，進而可得∠BFC=90°，至此，在Rt△BFC中，利用勾股定理求出CF的長度即可【詳解】如圖，連接BF．∵△AEF是由△ABE沿AE折疊得到的，∴BF⊥AE，BE=EF．∵BC=6，點E為BC的中點，∴BE=EC=EF=3根據(jù)勾股定理有AE=AB+BE代入數(shù)據(jù)求得AE=5根據(jù)三角形的面積公式得BH=即可得BF=由FE=BE=EC，可得∠BFC=90°再由勾股定理有BC-BF=CF代入數(shù)據(jù)求得CF=故答案為：【考點】此題考查矩形的性質(zhì)和折疊問題，解題關鍵在于利用好折疊的性質(zhì)，對應點的連線被折痕垂直平分．6、C【解析】【分析】設這跟蘆葦?shù)拈L度為x尺，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】解：設這跟蘆葦?shù)拈L度為x尺，根據(jù)題意得：52＋(x－1)2＝x2故選：C【考點】本題主要考查了勾股定理的應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．7、C【解析】【詳解】解：如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．二、填空題1、【解析】【分析】在△ABC中由等面積求出，進而得到，設BE=x，進而DE=DB-BE=，最后在中使用勾股定理求出x即可求解．【詳解】解：在中由勾股定理可知：，∵，∴，∴，在中由勾股定理可知：，∴，設BE=x，由折疊可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=，在中由勾股定理可知：，代入數(shù)據(jù)：∴，解得，∴，∴，故答案為：．【考點】本題考查了勾股定理求線段長、折疊的性質(zhì)等，解題的關鍵是掌握折疊的性質(zhì)，熟練使用勾股定理求線段長．2、13【解析】【分析】設水深OB=x尺，則蘆葦長OA'=（x+1）尺，根據(jù)勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，設水深OB=x尺，則蘆葦長OA'=（x+1）尺，根據(jù)題意列方程得：x2+52=（x+1）2，解得：x=12∴OA'=13尺．故答案為：13．【考點】此題考查了勾股定理的實際應用，解題的關鍵是根據(jù)題意設出未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解．3、【解析】【分析】設，則，由折疊的性質(zhì)可知，，在中利用勾股定理表示出，在中，利用勾股定理列方程求解．【詳解】解：設，則，由折疊的性質(zhì)可知，，，．在中，，．在中，，即，解得．的長為．【考點】本題考查了勾股定理的應用，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．4、25.【解析】【詳解】解：這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是直角三角形求斜邊的問題.根據(jù)勾股定理可求出葛藤長為（尺）．故答案為：25．5、8【解析】【分析】作交的延長于點，在中，，在中,，根據(jù)列出方程即可求解．【詳解】如圖，作交的延長于點，則即為BC邊上的高，在中，，在中,，，AB＝10，BC＝9，AC＝17，，解得，故答案為：8．【考點】本題考查了勾股定理，掌握三角形的高，直角三角形是解題的關鍵．6、（3+3）．【解析】【分析】要求螞蟻爬行的最短距離，需將圖②的幾何體表面展開，進而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結果．【詳解】如圖所示：△BCD是等腰直角三角形，△ACD是等邊三角形，在Rt△BCD中，CD==6cm，∴BE=CD=3cm，在Rt△ACE中，AE==3cm，∴從頂點A爬行到頂點B的最短距離為（3+3）cm．故答案為（3+3）．【考點】本題考查了平面展開-最短路徑問題，關鍵是把圖②的幾何體表面展開成平面圖形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)解題.7、169．【解析】【分析】由題意知小正方形的邊長為7．設直角三角形中較小邊長為a，較長的邊為b，運用正切函數(shù)定義求解．【詳解】解：由題意知，小正方形的邊長為7，設直角三角形中較小邊長為a，較長的邊為b，則tanθ＝短邊：長邊＝a：b＝5：12．所以b＝a，①又以為b＝a+7，②聯(lián)立①②，得a＝5，b＝12．所以大正方形的面積是：a2+b2＝25+144＝169．故答案是：169．【考點】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，掌握解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積是解題的關鍵.8、【解析】【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知△ABE和△AB′E全等，則BE＝B′E，連接AG，可證△AB′G≌△ADG，則DG＝B′G＝cm，CG＝10－DG＝cm，在Rt△ECG中，設BE＝xcm，根據(jù)勾股定理列出方程，可求出BE的值，從而求出CE，最后由三角形面積公式求出△ECG的面積.【詳解】根據(jù)翻折的性質(zhì)可知△ABE和△AB′E全等，BE＝B′E，連接AG，如圖，∵AB′＝AD，AG＝AG，∴Rt△AB′G≌Rt△ADG，∴DG＝B′G＝cm，∴CG＝10－DG＝cm，在Rt△ECG中，設BE＝xcm，則CE＝(10－x)cm，EG＝B′E＋B′G＝(x＋)cm,根據(jù)勾股定理列出方程，CE2＋CG2＝EG2,即,解得：x＝2,所以BE＝2cm，CE＝10－2＝8(cm)，△ECG的面積＝(cm2)故答案為：.【考點】本題考查了勾股定理的應用，結合全等的知識找出題中的線段之間的關系是本題的解題關鍵.三、解答題1、（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)正方形面積計算公式解答；（2）利用面積法證明即可得到結論．【詳解】（1）；（2）如圖，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，∴∠DEC=∠EAB，DE=AE，∵，∴，∴△AED為等腰直角三角形，∵，∴，即，∵，∴，∴．【考點】此題考查勾股定理的證明，完全平方公式在幾何圖形中的應用，正確理解各部分圖形之間的關系，正確分析它們之間的面積等量關系是解題的關鍵．2、它至少需要5.2s才能趕回巢中．【解析】【分析】根據(jù)題意，構建直角三角形，利用勾股定理解答．【詳解】解：如圖，由題意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．過A作AE⊥CD于E．則CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，3、這棵樹在離地面6米處被折斷【解析】【分析】設，利用勾股定理列方程求解即可.【詳解】解：設，∵在中，，∴，∴．答：這棵樹在離地面6米處被折斷【考點】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解答本題的關鍵．直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．當題目中出現(xiàn)直角三角形，且該直角三角形的一邊為待求量時，常使用勾股定理進行求解．有時也可以利用勾股定理列方程求解．4、（1）90°；（2）受臺風影響，理由見解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，進而得出∠ACB的度數(shù)；（2）利用三角形面積得出CD的長，進而得出海港C是否受臺風影響．【詳解】解：（1）∵AC=300km，BC=400km，AB=500km，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°；（2）海港C受臺風影響，理由：過點C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC=CD×AB，∴300×400=500×CD，∴CD=240（km），∵以臺風中心為圓心周圍250km以內(nèi)為受影響區(qū)域，∴海港C受臺風影響．【考點】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目