專題06有理數(shù)的乘法和除法

內容導航——預習三步曲

第一步：學

析教材學知識：教材精講精析、全方位預習

練題型強知識：9大核心考點精準練

第二步：記

串知識識框架：思維導圖助力掌握知識框架、學習目標復核內容掌握

第三步：測

過關測穩(wěn)提升：小試牛刀檢測預習效果、查漏補缺快速提升

知識點01有理數(shù)的乘法法則

（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.

（2）任何數(shù)同0相乘，都得0.

（3）多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有奇

數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．②幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積就為0．

倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).

【注意】：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)有1和-1.

知識點02有理數(shù)的乘法運算律

（1）乘法交換律：abba；（2）乘法結合律：(ab)ca(bc)；（3）乘法分配律：a(bc)abac．

知識點03確定乘積符號

（1）若a＜0，b＞0，則ab<0；（2）若a＜0，b＜0，則ab>0；（3）若ab＞0，則a、b同號；

（4）若ab＜0，則a、b異號；（5）若ab=0，則a、b中至少有一個數(shù)為0.

知識點04有理數(shù)除法法則

◆除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)

◆兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負，并把絕對值相除.

【注意】：0除以任何不為0的數(shù)，都得0.

【題型1兩個有理數(shù)的乘法運算】

例題：（2024七年級上·浙江·專題練習）計算：

1

32

(1)；

23

25

(2)24；

8

56

(3)27；

3

38

(4)．

47

【變式訓練】

1．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

(1)73

(2)32

21

(3)8

4

(4)1.50.631.8

2．（2024七年級上·浙江·專題練習）計算：

7

(1)12；

4

(2)81.25；

73

(3)；

1014

38

(4)；

169

3．（2024六年級上·上?！ｎ}練習）計算

(1)02012；

(2)81.25；

73

(3)()；

1014

38

(4)()()；

169

(5)7.5(8.2)0(19.1)；

145

(6)()；

37

1

(7)(0.12)(100)；

12

3

(8)7(1)．

14

2

【題型2多個有理數(shù)的乘法運算】

例題：（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

592

(1)(2)；

4103

5412

(2)(3)11．

6547

【變式訓練】

1．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

(1)5632；

592

(2)2．

4103

2．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

(1)4512；

1

(2)31；

3

(3)1.2534．

3．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

(1)100.225；

347

(2)；

7512

37

(3)50325；

3230

666

(4)785．

555

【題型3倒數(shù)】

1

例題：（2025·江蘇南京·二模）的倒數(shù)是．

3

【變式訓練】

4

1．（24-25六年級上·上?！るA段練習）2的倒數(shù)是．

7

1

2．（24-25六年級上·上海閔行·階段練習）2的倒數(shù)是．

2

3

3．（24-25七年級上·陜西榆林·階段練習）的相反數(shù)是，5的倒數(shù)為．

2

3

【題型4有理數(shù)乘法運算律】

375

例題：（24-25七年級上·吉林四平·期末）計算：24

4128

【變式訓練】

753

1．（24-25九年級下·山東濟南·開學考試）計算：136．

964

2．（24-25七年級上·廣東河源·期中）下面是樂樂同學進行有理數(shù)運算的過程，請認真閱讀并完成相應任務．

213

解：12

364

213

121212第一步

364

829第二步

109第三步

19．第四步

任務：

(1)填空：

①以上運算步驟中，第一步依據的運算律是；

②第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤的原因是．

(2)請直接寫出正確的計算結果．

3．（24-25七年級上·廣東江門·期中）計算：能用簡算的用簡算

155115

(1)12；

277227

23

(2)9918．

24

【題型5有理數(shù)乘法的實際應用】

例題：（24-25七年級上·廣東梅州·期中）某一出租車一天下午以鼓樓為出發(fā)點在東西方向運營，向東走為

正，向西走為負，行車里程（單位：km）依先后次序記錄如下：9，3，5，4，8，6，3，6，4，10．

(1)將最后一名乘客送到目的地，出租車離鼓樓出發(fā)點多遠？在鼓樓的什么方向？

(2)若每千米的價格為2元，司機一個下午的營業(yè)額是多少？

【變式訓練】

1．（24-25七年級上·福建漳州·期中）海洋科考隊于某天早晨乘船從海島M出發(fā)，在南北走向的海岸線上

進行科考活動．規(guī)定向北行進為正，向南行進為負．從出發(fā)到結束當天的科考活動時，他們的行進里程（單

位：海里）記錄如下：50,120,60,150,80,140,130,120．

(1)結束當天的科考活動時，科考隊是在海島M的北邊還是南邊？距離海島M有多遠？

(2)從出發(fā)到結束當天的科考活動，科考隊的船只總共行駛了多少海里？

4

(3)如果船只每行駛1海里耗油4升，那么在整個科考活動過程中，船只共耗油多少升？

2．（24-25七年級上·湖南永州·期中）道州臍橙“橙紅鮮美、香甜多汁”，因出產于永州市道縣而得名．現(xiàn)有

20筐道州臍橙，以每筐25千克的質量為標準，超過或不足的千克數(shù)分別用正、負數(shù)來表示，記錄如下：

與標準質量的差值（單位：千克）321.5012.5

筐數(shù)142328

(1)這20筐道州臍橙中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？

(2)若道州臍橙每千克售價6元，則這20筐道州臍橙可賣多少元？

3．（24-25六年級上·上?！て谥校┩赓u送餐為我們生活帶來了許多便利，某學習小組調查了一名外賣小哥一

周的送餐情況，規(guī)定送餐量超過40單（送一次外賣為一單）的部分記為“”，低于40單的部分記為“”，

下表是該外賣小哥一周的送餐量：

星期一二三四五六日

送餐量/單536129814

(1)求外賣小哥這一周平均每天送餐多少單．

(2)外賣小哥每天的工資由底薪30元加上送單補貼構成，送單補貼的方案如下：每天送餐量不超過40單的

部分，每單補貼4元；超過40單但不超過50單的部分，每單補貼6元：超過50單的部分，每單補貼8元．求

外賣小哥這一周工資收入多少元．

【題型6有理數(shù)的除法運算】

例題：（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

(1)6012；

1

(2)36；

3

(3)0.750.25；

1

(4)6．

6

【變式訓練】

1．（24-25七年級上·全國·課后作業(yè)）計算：

(1)0(2)；

(2)(315)(7)；

33

(3)11；

5

(4)(0.75)(0.25)．

2．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）計算：

5

(1)123

11

(2)21

36

1

(3)011

12

1

(4)12100

12

3．（2024七年級上·江蘇·專題練習）計算：

2

(1)5(1)；

3

33

(2)3()()；

44

331

(3)()()(1)；

476

3

(4)9(0.1)(3)．

5

【題型7有理數(shù)的乘除混合運算】

例題：（24-25六年級上·黑龍江哈爾濱·期中）計算：

338

(1)；

10511

555

(2)6；

123618

819

(3)23；

172317

111

(4)24．

3412

【變式訓練】

1．（24-25七年級上·黑龍江·期中）計算：

385

(1)；

598

7135

(2)；

9236

514

(3)28；

1425

315

(4)12．

426

2．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

6

311

(1)313；

524

241

(2)5127；

754

1

(3)6.525．

3

3．（2024七年級上·全國·專題練習）計算．

851

(1)；

389

14

(2)8128．

49

【題型8有理數(shù)的乘除混合運算之新定義型問題】

1b

例題：（2024七年級上·全國·專題練習）中考新趨勢?新定義若規(guī)定：ab，例如：

a2

131

2△3，試求(27)4的值．

223

【變式訓練】

1b

1．（24-25七年級上·陜西寶雞·階段練習）定義新運算“※”：對于有理數(shù)a，b（a，b都不為0），a※b()．例

a2

1312

如：4※3()．求(※9)※2的值．

4263

2．（24-25七年級上·廣東江門·階段練習）“”表示一種新的運算，它是這樣定義的：ab2a3b．例

如：1221324

(1)求34的值；

(2)求543的值．

3．（24-25七年級上·廣東惠州·階段練習）在有理數(shù)的范圍內，定義三個數(shù)之間的新運算“”，

abcabc

abc，

2

123123

例如1235．

2

(1)計算：428；

11

(2)計算：37；

3

523

(3)計算：．

234

7

【題型9有理數(shù)的除法中絕對值之分類討論問題】

例題：（24-25七年級上·浙江金華·期中）分類討論是一種重要的數(shù)學方法，如在化簡a時，可以這樣分類：

當a0時，aa；當a=0時，a0；當a0時，aa．用這種方法解決下列問題：

a

(1)當a5時，求的值．

a

a

(2)當a0時，求的值．

a

ab

(3)已知a,b是有理數(shù)，當ab0時，試求的值．

ab

【變式訓練】

1．（23-24七年級上·貴州畢節(jié)·期末）有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示．

(1)ac______0；（填“”或“”）

abc

(2)化簡：．

abc

xx0

2．（24-25七年級上·山東聊城·期中）閱讀下列材料并解決有關問題：我們知道x0x0，所以當x0

xx0

xxxx

時，1；當x0時，1，現(xiàn)在我們可以用這個結論來解決下面問題：

xxxx

ab

(1)已知a，b是有理數(shù)，當ab0時，求的值；

ab

abc

(2)已知a，b，c是有理數(shù)，當abc0，求的值；

abc

bcacab

(3)已知a，b，c是有理數(shù)，abc0，abc0，求的值．

abc

3．（24-25七年級上·江蘇鹽城·期中）“分類討論”是一種重要數(shù)學思想方法，下面是運用分類討論的數(shù)學

思想解問題的過程，請仔細閱讀，并解答題目后提出的兩個問題．

|a||b||c|

例：三個有理數(shù)a，b，c滿足abc0，求的值．

abc

解：由題意得：a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．

①當a，b，c都是正數(shù)，即a0，b0，c0時，

abcabc

則：1113；

abcabc

②當a，b，c有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設a0，b0，c0，

8

abcabc

則：1111，

accabc

|a||b||c|

綜上述：的值為3或1．

abc

請運用分類討論的數(shù)學思想方法解答下面的問題：

ab

(1)已知a，b是有理數(shù)，當ab0時，求值．

|a||b|

bcacab

(2)已知a，b，c是有理數(shù)，abc0，abc0，求的值．

abc

一、單選題

1．（2025·陜西延安·模擬預測）計算：23（）

A．5B．6C．5D．6

2．（2025·湖南常德·二模）下面算式錯誤的是（）

A．2323B．2323

1

C．2323D．232

3

9

1

3．（24-25七年級上·浙江溫州·階段練習）將下列運算符號填入算式10010的“W”中，使運算結果最

10

小的是（）

A．B．C．D．

ab

4．（2025·山東濟南·二模）已知表示有理數(shù)a，b的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，則2025的值是（）

ab

A．2023B．2024C．2025D．2026

5．（2025·四川·模擬預測）定義一種新運算：ABBCCA．

如：35566343，則的值為()

A．18B．20C．28D．32

二、填空題

1

6．（2025·湖南·模擬預測）計算：2．

2

11

7．（2025·四川資陽·模擬預測）若1a0，比較a,,a,四個數(shù)的大小，并用“”連

aa

接．

8．（24-25七年級上·山東威?！て谀┤鐖D，按程序框圖中的順序計算，當輸入的初始值x為32時，則輸

出的最后結果為．

9．（24-25六年級上·上海普陀·期中）定義：對于數(shù)對a,b，如果abab，那么a,b稱為“和積等數(shù)對”．如：

333

因為2222，33，所以2,2，3,都是“和積等數(shù)對”．下列數(shù)對中，是“和積等數(shù)對”

444

的是．（填序號）

211

①3,1.5；②,2；③,．

523

ab

10．（24-25七年級上·湖北武漢·期末）下列說法：若ab0，則1；若a+b<0，且0，則

ba

①②

10

ab|c|

a3ba3b；若ab，則abab0；若abc0，ab0，c0，則1．其

a|b|c

中正確的有③．（填序號）④

三、解答題

11．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

31

(1)123.7524；

83

33

(2)(48)(12)．

44

12．（2024七年級上·全國·專題練習）計算：

23

(1)23；

34

1

(2)156；

6

1

(3)8711.23．

3

13．（24-25七年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）在1，2，3，4，5中任意取出兩個數(shù)相乘，最大的積是a，

最小的積是b．

(1)求ab的值；

(2)若xayb0，求xy的值．

14．（24-25七年級上·甘肅慶陽·期末）閱讀下列材料：

1111

計算：

243412

11111111

解法一：原式；

243244241224

1431121

解法二：原式；

2412121224124

1111111111

解法三：原式的倒數(shù)為242424248624，所以原式

34122434123412

1

4

(1)上面三種解法得出的結果不同，肯定有錯誤的解法，其中解法_________是錯誤的；

1115

(2)請你運用合適的方法計算：．

486312

1251

15．（2024七年級上·遼寧·專題練習）閱讀下面解題過程并解答問題：計算：15．

236

11

25

解：原式156（第一步）