專題01有理數(shù)

（鞏固提升練17題+能力培優(yōu)練8題+拓展突破練8題+中考真題練8題）

知識清單

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)

（1）在以前學(xué)過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負(fù)號“-”，叫做負(fù)數(shù)，一個數(shù)前面的“+”“-”

號叫做它的符號．

（2）既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)．0是正負(fù)數(shù)的分界點(diǎn)，正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)是小于0的數(shù)．

（3）用正負(fù)數(shù)表示兩種具有相反意義的量．具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包含兩個要素，

一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量．

（4）具有相反意義的量：若正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量．

2.有理數(shù)

（1）有理數(shù)的概念

正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)（0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù)）；正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為分?jǐn)?shù)；正整數(shù)，0，負(fù)

整數(shù)，正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式，這樣的數(shù)稱為有理數(shù)．

（2）有理數(shù)的分類

①按有理數(shù)的定義②按有理數(shù)的性質(zhì)符號

正整數(shù)正整數(shù)

整數(shù)0自然數(shù)正有理數(shù)

負(fù)整數(shù)正分?jǐn)?shù)

有理數(shù)有理數(shù)0（0不能忽視）

正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)

分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)

負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

3.數(shù)軸

（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．

數(shù)軸的三要素：原點(diǎn)，單位長度，正方向．

（2）數(shù)軸上的點(diǎn)：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)．（一般取右方

向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無理數(shù)．）

（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當(dāng)數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大．

4.相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)．

（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨(dú)存在，從數(shù)軸上看，除0外，互為相反數(shù)的兩個

數(shù)，它們分別在原點(diǎn)兩旁且到原點(diǎn)距離相等．

1

（3）多重符號的化簡：與“+”個數(shù)無關(guān)，有奇數(shù)個“-”號結(jié)果為負(fù)，有偶數(shù)個“-”號，結(jié)果為正．

（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“-”，如a的相反數(shù)是-a，m+n的

相反數(shù)是-（m+n），這時m+n是一個整體，在整體前面添負(fù)號時，要用小括號．

5.絕對值：

（1）概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值．?dāng)?shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a

的絕對值，記作|a|．

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負(fù)數(shù)的數(shù)．

③有理數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)．

（2）如果用字母a表示有理數(shù)，則數(shù)a絕對值要由字母a本身的取值來確定：

①當(dāng)a是正有理數(shù)時，a的絕對值是它本身a；

②當(dāng)a是負(fù)有理數(shù)時，a的絕對值是它的相反數(shù)-a；

③當(dāng)a是零時，a的絕對值是零．

（3）絕對值的非負(fù)性：任意一個數(shù)的絕對值都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個數(shù)或式的絕對值相加和為0時，則其中的

每一項(xiàng)

都必須等于0．

5.有理數(shù)的大小比較：（1）有理數(shù)的大小比較

比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示的兩個有理數(shù)，

右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小，利用絕對值比較兩個負(fù)數(shù)的

大?。?/p>

（2）有理數(shù)大小比較的法則：

①正數(shù)都大于0；

②負(fù)數(shù)都小于0；

③正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；

④兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的其值反而小．

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

1．法則比較：正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)．兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小．

2．?dāng)?shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于左邊的點(diǎn)表示的數(shù)．

3．作差比較：

若a-b＞0，則a＞b；

若a-b＜0，則a＜b；

若a-b=0，則a=b．

2

1．（22-23七年級下·河南信陽·階段練習(xí)）的絕對值是（）

A．B．?2C0．24D．

11

【答案】?2C02420242024?2024

【分析】本題主要考查了求一個數(shù)的絕對值，根據(jù)正數(shù)和0的絕對值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反

數(shù)進(jìn)行求解即可．

【詳解】解：的絕對值是，，

故選：C．?2024?2024=2024

2．（24-25七年級上·湖北恩施·期中）在，，，，6，中，負(fù)分?jǐn)?shù)有（）

5

A．2個B．3個1.5C?．24個?2?0.7?D1．5%5個

【答案】B

【分析】本題主要考查了負(fù)分?jǐn)?shù)的定義，負(fù)分?jǐn)?shù)是小于0的分?jǐn)?shù)，據(jù)此求解即可．

【詳解】解：在，，，，6，中，負(fù)分?jǐn)?shù)有，，，共3個，

55

故選：B．1.5?2?2?0.7?15%?2?0.7?15%

3．（24-25七年級上·貴州貴陽·期中）下面各數(shù)中最小的是（）

A．B．0C．3D．

1

【答案】?7A?2

【分析】本題主要考查有理數(shù)比較大小，熟練掌握有理數(shù)比較大小是解題的關(guān)鍵．根據(jù)負(fù)數(shù)正數(shù)即可

得到答案．<0<

【詳解】解：根據(jù)負(fù)數(shù)正數(shù)且負(fù)數(shù)絕對值越大的數(shù)反而越小，故，

1

故選A．<0<?7<?2<0<3

4．（24-25七年級上·福建福州·期中）若x為任意有理數(shù)，則一定（）

A．是正數(shù)B．是負(fù)數(shù)C．不是正數(shù)??D．不是負(fù)數(shù)

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值的非負(fù)性．直接根據(jù)絕對值的意義求解即可．

【詳解】解：若x為任意有理數(shù)，則一定不是負(fù)數(shù)，

故選：D．??

5．（24-25七年級上·吉林松原·階段練習(xí)）有理數(shù)m，n在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（）

A．B．C．D．

?+?<0???>0??<0???>0

3

【答案】C

【分析】本題主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)、有理數(shù)的乘法、絕對值，熟練掌握數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)的大

小關(guān)系、有理數(shù)的乘法法則、絕對值的定義是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)表示的數(shù)的大小關(guān)系、實(shí)

數(shù)的乘法法則、絕對值的定義解決此題．

【詳解】解：由圖可知，，

故，故選項(xiàng)A不?符1合<題?意<；0<1<?<2

?+?>，0故選項(xiàng)B不符合題意；

???<，0故選項(xiàng)C符合題意；

??<0，故選項(xiàng)D不符合題意；

故?選?C．?<0

6．（24-25七年級上·云南曲靖·期中）數(shù)軸上一點(diǎn)A向左移動5個單位后到達(dá)點(diǎn)B，如果點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離

為1，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

A．1B．1或C．5或D．4或6

【答案】D?1?5

【分析】本題考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，先得出點(diǎn)B表示的數(shù)，再得出點(diǎn)A表示

的數(shù)即可．

【詳解】解：由條件可知：點(diǎn)B表示的數(shù)是：和1，

∵點(diǎn)A向左移動5個單位后到達(dá)點(diǎn)B，?1

∴點(diǎn)A表示的數(shù)是4或6，

故選：D．

7．（24-25七年級上·湖北武漢·期中）若是任意的有理數(shù)，則式子的最大值是（）

A．B．?C．2D0．24???2024

【答案】20A244048???

【分析】本題考查的是絕對值的非負(fù)性，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．

根據(jù)絕對值的非負(fù)性，可得，故當(dāng)取最小值時，式子取最大值，即可選出答案．

【詳解】解：∵絕對值具有非?負(fù)?性20，24是≥任0意的有理??數(shù)2，0240

∴，?

∴??2024的≥最0小值是，

∴當(dāng)??2024取最小值0時，式子有最大值，此時的值是，

故選：?A?．202402024???20242024?0=2024

8．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）給出下面四種說法：①如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)可能

不相等；②一個數(shù)的絕對值等于它本身，這個數(shù)不是負(fù)數(shù)；③若，則；④如果，

那么．其中正確的是（）|?|>??<0?>?

A?．>①?②③B．①②④C．①③④D．②③④

4

【答案】A

【分析】本題考查了絕對值的意義和相反數(shù)的意義．根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，絕對值的意義逐項(xiàng)分析判斷即可

求解．

【詳解】解：①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等，那么這兩個數(shù)可能不相等,故①正確，符合題意；

②一個數(shù)的絕對值等于它本身，這個數(shù)不是負(fù)數(shù)，故②正確，符合題意；

③若，則，故③正確，符合題意；

④若?>??，<0，則，若，，則，故④不正確，不符合題意；

故選A?．>0,?>0?>??>??<0,?<0?>??<?

9．（24-25七年級上·吉林長春·期中）如里零上記作，那么零下3℃記作．

【答案】5℃+5℃

【分析】此?3題℃主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意

義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示．首先審清題意，明確“正”

和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．

【詳解】解：∵零上記作，

零下記作．5℃+5℃

故答案3℃為：?3℃．

10．（24-25?七3℃年級上·山東淄博·期中）絕對值不大于的整數(shù)有個．

【答案】3

【分析】本7題考查絕對值的定義，正確理解絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．直接根據(jù)絕對值的定義即可求解．

【詳解】解：絕對值不大于的整數(shù)有，，，，，，，

共有個，3?3?2?10123

故答案7為：．

11．（20227·西藏·中考真題）已知，都是實(shí)數(shù)，若，則．

2?

【答案】???+1+??2022=0?=

【分析】根1據(jù)絕對值，偶次冪的非負(fù)性求出，，再代入計(jì)算即可．

【詳解】∵，??

2

∴，?+1+??20，22=0

即?+1=，0??202，2=0

∴?=?1?=2022，

?2022

故答?案=為?：1．=1

【點(diǎn)睛】本題1主要考查了絕對值，偶次冪的非負(fù)性，求出，的值是解本題的關(guān)鍵．

12．（24-25七年級上·吉林白城·階段練習(xí)）在數(shù)軸上，點(diǎn)?，?分別表示的數(shù)是和2，則線段的長度

是．???4??

【答案】6

5

【分析】本題考查了求數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的方法，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離就是將兩點(diǎn)的坐標(biāo)相減，然后

取絕對值，從而求解．

【詳解】解∶點(diǎn)，分別表示的數(shù)是和2，

∵??．?4

∴故?答?案=為2∶?6．?4=6=6

13．（24-25七年級上·四川德陽·階段練習(xí)）下列說法：①若，則x為負(fù)數(shù)；②若不是負(fù)數(shù)，

則a為非正數(shù)；③；④若，，則?+?=0．其中正確的結(jié)論有??．（填

22

序號）??=???=???=??=?=0

【答案】②③④

【分析】本題考查絕對值的性質(zhì)；理解絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

依據(jù)題意，根據(jù)絕對值的性質(zhì)逐個分析判斷可以得解．

【詳解】解：若，

∴，?+?=0

∴?=?，?

∴?①≤的0說法錯誤；

若不是負(fù)數(shù)，

∴??．

∴??≥，0即a為非正數(shù)；

∴?②≤的0說法正確；

∵，，

2222

∴??=??，?=?

22

∴③??的說=法?正?確；

若，，

∴?=???．=?

∴?+?=．0

∴?④=的?說=法0正確．

綜上所述：正確的結(jié)論有②③④．

14．（2024七年級上·全國·專題練習(xí)）數(shù)軸上A，B，C三點(diǎn)所對應(yīng)的有理數(shù)分別為，，，則此三

234

點(diǎn)距原點(diǎn)由近及遠(yuǎn)的順序?yàn)椋?3?4?5

【答案】A，B，C

【分析】本題考查了絕對值的意義和有理數(shù)大小比較，熟練掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；

求得這三個數(shù)的絕對值，絕對值最小的離原點(diǎn)最近，根據(jù)有理數(shù)的比較方法得到從近到遠(yuǎn)的順序即可．

【詳解】解：，，，

223344

?3=3?4=4?5=5

6

，

234

∵3<4<5，

234

∴三?點(diǎn)3距<原點(diǎn)?由4近<及?遠(yuǎn)5的順序?yàn)椋篈，B，C；

∴故答案為：A，B，C．

15．（24-25七年級上·福建福州·期中）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的大括號里：

，3.8，，2024，，0，．

?整3數(shù)：?0.7?2；5%?1.2