銜接點(diǎn)03列方程解決實(shí)際問題

小學(xué)階段初中階段

【方程類型】主要學(xué)習(xí)簡單的一元一次方程，【方程類型】從一元一次方程擴(kuò)展到二元一次方程

如x+5=10或3x?8=16.組、分式方程和一元二次方程，方程的形式更加復(fù)

【解題步驟】掌握列方程解決實(shí)際問題的一般步驟，雜.

包括設(shè)未知數(shù)、找出等量關(guān)系、列方程、解方程、【解題步驟】學(xué)習(xí)多種解方程的方法，如代入消元

檢驗(yàn)和寫答語.法、加減消元法、公式法等，要求學(xué)生能夠根據(jù)方

【應(yīng)用題類型】涉及簡單的實(shí)際問題，如購物問題、程的特點(diǎn)選擇合適的解法.

行程問題等，通常只有一個(gè)未知數(shù)，且方程的解法【應(yīng)用題類型】涉及更復(fù)雜的實(shí)際問題，如工程問

較為直接.題、利潤問題、幾何問題等，可能需要多個(gè)方程聯(lián)

立求解.

銜接指引

【小學(xué)階段基礎(chǔ)回顧】

理解方程的概念：方程是含有未知數(shù)的等式，如x+2=5x+2=5.

解簡單的一元一次方程：如x+3=7x+3=7，2x=102x=10.

列方程解決實(shí)際問題：如“小明有5個(gè)蘋果，小紅比小明多3個(gè)蘋果，小紅有多少個(gè)蘋果？”.

【初中階段的變化與提升】

更復(fù)雜的方程類型：一元二次方程、分式方程等.

多步驟的問題解決：需要多個(gè)方程或多個(gè)步驟才能解決的問題.

抽象思維和邏輯推理：要求更高的抽象思維和邏輯推理能力.

【銜接策略】

鞏固基礎(chǔ)：確保熟練掌握一元一次方程的解法和應(yīng)用.

理解方程的本質(zhì)：方程是描述數(shù)量關(guān)系的工具，理解等式的基本性質(zhì).

逐步增加難度：從簡單的問題開始，逐步過渡到更復(fù)雜的問題.

培養(yǎng)邏輯思維：通過邏輯推理和問題解決，提高抽象思維能力.

多做練習(xí)：通過大量的練習(xí)，鞏固知識和提高解題技巧.

1

1．列方程解應(yīng)用題

（1）列方程解應(yīng)用題的優(yōu)點(diǎn)。

先用一個(gè)字母代替未知數(shù)，再把它看作已知數(shù)參與列式和運(yùn)算，便于把題中的數(shù)量關(guān)系直接反映出來，使

問題簡單化。

（2）列方程解應(yīng)用題的一般步驟。

列方程解應(yīng)用題的基本思路為：問題分析方程求解解答．由此可得解決此類

抽象檢驗(yàn)

題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢驗(yàn)、答．

要點(diǎn)詮釋：

（1）“審”指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，它們之間的關(guān)系，找等量關(guān)系；

（2）“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；

（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，

單位要統(tǒng)一；

（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．

（5）“檢驗(yàn)”就是指檢驗(yàn)方程的解是否符合實(shí)際意義，當(dāng)有不符合的解時(shí)，及時(shí)指出，舍去即可；

（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．

2．常見的數(shù)量關(guān)系

1）公式形數(shù)量關(guān)系

生活中許多數(shù)學(xué)應(yīng)用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時(shí)，必須通過情景中的信息，

2

準(zhǔn)確聯(lián)想有關(guān)的公式，利用有關(guān)公式直接建立等式方程。

長方形面積=長×寬長方形周長=2（長+寬）正方形面積=邊長×邊長正方形周長=4邊長

2）約定型數(shù)量關(guān)系

利息問題、利潤問題、質(zhì)量分?jǐn)?shù)問題、比例尺問題、折扣等涉及的數(shù)量關(guān)系，像數(shù)學(xué)中的公式，但常常又

不算數(shù)學(xué)公式。我們稱這類關(guān)系為約定型數(shù)量關(guān)系。

3）基本數(shù)量關(guān)系

在簡單應(yīng)用情景中，與其他數(shù)量關(guān)系沒有什么差別，但在較復(fù)雜的應(yīng)用情景中，應(yīng)用方法就不同了。我么

把這類數(shù)量關(guān)系稱為基本數(shù)量關(guān)系。

單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)速度×?xí)r間=路程工作效率×?xí)r間=總工作量現(xiàn)價(jià)÷原價(jià)＝折數(shù)

3．分析數(shù)量關(guān)系的常用方法

1）直譯法分析數(shù)量關(guān)系

將題中關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關(guān)系，翻譯成含有未知

數(shù)的等式。

2）列表分析數(shù)量關(guān)系

當(dāng)題目中條件較多，關(guān)系較復(fù)雜時(shí)，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進(jìn)行分析。這種

方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關(guān)系。

3）圖解法分析數(shù)量關(guān)系

用圖形表示題目中的數(shù)量關(guān)系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程

問題中，我們常常用此類方法。

考點(diǎn)一：找等量關(guān)系與列方程

1．（23-24五年級上·青海海南·期末）根據(jù)“18比x的3倍少6”，下面三位同學(xué)都列出了方程，正確的有（）

個(gè)。

3

A．1B．2C．3

【答案】B

【分析】根據(jù)題干可知“18比3x少6”，也就是“3x比18多6”，分析每個(gè)選項(xiàng)列式的實(shí)際含義，與題干對比

即可。

【詳解】A．18－3x＝6表示“18比3x多6”，與題干不符；

B．3x－6＝18表示“3x減去6就是18”，即“3x比18多6”，與題干相符合；

C．3x－18＝6表示“3x比18多6”，與題干相符；

正確的有2個(gè)

故答案為：B

1

2．（2024·河南安陽·小升初真題）根據(jù)所給信息，如圖圖形可以用方程“x＋x＝60”來表示的有（）個(gè)。

3

A．3B．2C．1

【答案】B

1

【分析】圖形1：圓柱和圓錐等底等高，所以圓錐的體積＝圓柱的體積，圓柱的體積是x立方厘米，圓柱

3

11

體積＋圓錐體積＝60cm3，可得：x＋x＝60，所以圖形可以用方程“xx60”來表示；

33

圖形2：根據(jù)三角形面積＝底×高÷2，所以高＝三角形面積×2÷底，已知三角形面積是xcm2，底邊長是15cm，

2x2x

則高為：2x÷15＝（cm），可得陰影三角形的面積：5×÷2，兩個(gè)三角形面積相加等于梯形面積60cm2，

1515

2x11

x＋5×÷2＝60，化簡得：x＋x＝60，所以圖形可以用方程“xx60”來表示；

1533

21

圖形3：根據(jù)圖示可知土地面積是60cm2，種牡丹的面積為土地面積的為xcm2，沒種牡丹的面積為xcm2。

32

11

根據(jù)總面積加起來是60平方厘米，列方程為x＋x＝60（cm2），所以圖形不可以用方程“xx60”來

23

表示；據(jù)此解答。

【詳解】根據(jù)分析：

11

圖形1：等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，列式為：xx60；

33

4

2x2x2x1

圖形2：兩個(gè)三角形面積相加等于梯形面積60cm2，2x÷15＝（cm），x＋5×÷2＝60，x＋×＝60，

151532

11

x＋x＝60，列式為：xx60；

33

11

圖形3：種蔬菜的面積是xcm2，空白地方的面積是xcm2，列式為：xx60。

22

1

前兩幅圖圖形可以用方程“xx60”來表示。即只有2個(gè)圖形滿足題意。

3

故答案為：B

3．（2022·北京朝陽·小升初真題）

如果用“x”表示這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量，那么解決“這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量”這個(gè)問題，下面所

列方程中不正確的是（）。

A．1.5x＋2＝20B．20－1.5x＝2C．1.5x＝20＋2D．1.5x＝20－2

【答案】C

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系：這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量×1.5＋2＝上一周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量，

假設(shè)這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量是x千克，上一周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量是20千克，代入列出方程，

求解即可。

【詳解】解：設(shè)這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量是x千克。

x×1.5＋2＝20

1.5x＋2＝20

1.5x＝20－2

1.5x＝18

x＝18÷1.5

x＝12

即這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量是12千克。

方程1.5x＋2＝20可變換成：20－1.5x＝2和1.5x＝20－2。

故答案為：C

【點(diǎn)睛】此題的解題關(guān)鍵是弄清題意，把這周產(chǎn)生的可回收垃圾的質(zhì)量設(shè)為未知數(shù)x，找出題中數(shù)量間的相

等關(guān)系，列出包含x的等式，得到最終的結(jié)果。

5

4．（2024·江蘇揚(yáng)州·小升初真題）數(shù)量間的相等關(guān)系是列方程的根據(jù)，請先填寫數(shù)量關(guān)系式，再列出方程。

兩艘輪船同時(shí)從南京出發(fā)，沿長江航道開往武漢?！罢衽d”號的速度是x千米/時(shí)，“豐春”號的速度更快，是

32千米/時(shí)，7.5小時(shí)后兩船相距30千米。

()＝

根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系式列出方程：。

【答案】“豐春”號的速度×?xí)r間－“振興”號的速度×?xí)r間兩船相距的路程32×7.5

－7.5x＝30

【分析】根據(jù)“路程＝速度×?xí)r間”可得出：“豐春”號7.5小時(shí)行駛了7.5x千米，“振興”號7.5小時(shí)行駛了（32×7.5）

千米，再用“豐春”號行駛的路程減去“振興”號行駛的路程，即是7.5小時(shí)后兩船相距30千米，據(jù)此先寫出

數(shù)量關(guān)系式，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系式列出方程。

【詳解】數(shù)量關(guān)系式：“豐春”號的速度×?xí)r間－“振興”號的速度×?xí)r間＝兩船相距的路程

根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系式列出方程：32×7.5－7.5x＝30。

5．（2024·遼寧沈陽·小升初真題）鞋的尺碼通常用“碼”或“厘米”作單位，如果用a表示厘米數(shù)，鞋子的碼數(shù)

比厘米數(shù)的2倍少10厘米，那么表示碼數(shù)的式子是，小明穿38碼的鞋子，他的鞋子厘米數(shù)

是厘米。

【答案】2a－1024

【分析】根據(jù)題意可得出數(shù)量關(guān)系：鞋子的厘米數(shù)×2－a＝鞋子的碼數(shù)，據(jù)此用含字母的式子表示碼數(shù)；

已知小明穿38碼的鞋子，即上一問的式子的值等于38，據(jù)此列出方程，根據(jù)等式的性質(zhì)求出方程的解。

【詳解】如果用a表示厘米數(shù)，鞋子的碼數(shù)比厘米數(shù)的2倍少10厘米，那么表示碼數(shù)的式子是（2a－10）；

2a－10＝38

解：2a－10＋10＝38＋10

2a＝48

2a÷2＝48÷2

a＝24

小明穿38碼的鞋子，他的鞋子厘米數(shù)是24厘米。

6．（2024六年級下·江蘇·專題練習(xí)）下面等量關(guān)系中，可以用3x－6＝30表示的是（）。

A．小芳買了x只水筆，每支3元，付給營業(yè)員30元，找回6元

B．黑兔有x只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只

C．故事書有x本，科技書有30本，科技書比故事書多6本

D．書法小組有x人，舞蹈小組有30人，舞蹈小組的人數(shù)比書法小組人數(shù)的3倍少6人

6

【答案】D

【分析】A．等量關(guān)系：買水筆應(yīng)付的錢數(shù)＋找回的錢數(shù)＝付給營業(yè)員的錢數(shù)，由此列出方程；

B．等量關(guān)系：黑兔的只數(shù)－6＝白兔的只數(shù)×3，由此列出方程；

C．等量關(guān)系：科技書的本數(shù)－故事書的本數(shù)＝科技書比故事書多的本數(shù)，由此列出方程；

D．等量關(guān)系：書法小組人數(shù)×3－6＝舞蹈小組的人數(shù)，由此列出方程。

【詳解】A．列方程為：3x＋6＝30，不符合題意；

B．列方程為：x－6＝30×3，不符合題意；

C．列方程為：30－x＝6，不符合題意；

D．列方程為：3x－6＝30，符合題意。

故答案為：D

【找等量關(guān)系的方法】

1.從事情變化的結(jié)果找等量關(guān)系.（分析事情變化的原因與結(jié)果，找出其中的相等關(guān)系）

2.從關(guān)鍵句中找等量關(guān)系.（抓住題目中的關(guān)鍵句，理解其中的數(shù)量關(guān)系）

3.從常見的數(shù)量關(guān)系中找等量關(guān)系.（利用常見的數(shù)量關(guān)系，如工作效率×工作時(shí)間=工作總量，單價(jià)×

數(shù)量=總價(jià)等）

4.從公式中找等量關(guān)系.（利用幾何圖形的面積、周長公式等作為等量關(guān)系）

5.從隱蔽條件中找等量關(guān)系.（注意題目中隱藏的條件，如雞有2條腿，兔有4條腿等）

【總結(jié)】

1.找等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵，需要仔細(xì)分析題目中的信息，理解數(shù)量關(guān)系.

2.列方程是將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達(dá)式的過程，需要注意未知數(shù)的設(shè)定和方程的正確性.

3.通過多練習(xí)，可以提高找等量關(guān)系和列方程的能力，從而更好地解決實(shí)際問題.

1．（2024·福建莆田·小升初真題）數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”。如圖中，圖（）

能正確地表示出“2a＋6”的數(shù)量關(guān)系。

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】A．根據(jù)加法的意義，表示的是2＋a＋6＝a＋8；

7

B．根據(jù)加法的意義，表示的是a＋a＋6＝2a＋6；

C．根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，列式是（6＋a）×2＝2a＋12；

D．大長方形的面積＝2個(gè)小長方形的面積之和，根據(jù)長方形的面積＝長×寬，列式即可。大長方形的面積

＝2a＋6a＝8a。據(jù)此解答。

【詳解】A．表示的是2＋a＋6＝a＋8；

B．表示的是a＋a＋6＝2a＋6；

C．表示的是（6＋a）×2＝2a＋12；

D．表示的是2a＋6a＝8a。

圖B能正確地表示出“2a＋6”的數(shù)量關(guān)系。

故答案為：B。

2．（2020·浙江·小升初真題）合唱團(tuán)有男生47人，比女生人數(shù)的3倍多2人，合唱團(tuán)的女生有多少人？設(shè)

合唱團(tuán)的女生有x人，則下面方程中，正確的是（）。

A．47x32B．3x472C．3x2x47D．3x247

【答案】D

【分析】結(jié)合題意，男生47人，比女生人數(shù)的3倍多2人，以女生數(shù)為基準(zhǔn)量（一倍），女生人數(shù)的3倍

加2人就等于男生47人。

【詳解】解：設(shè)女生有x人。

3x247

3x472

3x45

x15

故答案為：D

【點(diǎn)睛】找準(zhǔn)男生、女生人數(shù)的等量關(guān)系，是解答本題的關(guān)鍵。本題的等量關(guān)系式：女生人數(shù)的3倍＋2＝

男生的47人。

1

3．（23-24六年級下·河北滄州·期末）下面圖中的數(shù)量關(guān)系，能用方程x＋x＝60的有（）個(gè)。

3

A．3B．2C．4D．1

8

【答案】B

【分析】把60分成4份，其中1份表示x，白色部分占3份，表示為3x，深色部分占1份表示x，據(jù)此列

出方程為：3x＋x＝60；

11

設(shè)梨樹有x棵，把梨樹看作單位“1”，已知楊樹比梨樹多，則梨樹的（1＋）＝楊樹的棵樹，據(jù)此列出方

33

11

程為：（1＋）x＝60，即x＋x＝60；

33

把60分成8份，其中2份表示x，剩下6份表示3x，據(jù)此列出方程為：x＋3x＝60；

1

等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍，將圓柱體積設(shè)為xcm3，則圓錐體積為xcm3，兩者體積和是60cm3，

3

1

據(jù)此列出方程為：x＋x＝60；據(jù)此選擇。

3

1

【詳解】由分析可得：圖中的數(shù)量關(guān)系，能用方程x＋x＝60的有2個(gè)。

3

故答案為：B

4．（23-24六年級下·遼寧·課后作業(yè)）全民閱讀，學(xué)習(xí)強(qiáng)國。周日，笑笑上午在圖書館閱讀1.2小時(shí)，下午

在圖書館閱讀1.5小時(shí)。如果笑笑平均每小時(shí)閱讀m個(gè)字，一天一共閱讀了4050個(gè)字，列出方程是

()。

【答案】（1.2＋1.5）m＝4050

【分析】根據(jù)題意可得出等量關(guān)系：（笑笑上午的閱讀時(shí)間＋笑笑下午的閱讀時(shí)間）×笑笑平均每小時(shí)閱讀

的字?jǐn)?shù)＝笑笑一天閱讀的總字?jǐn)?shù)，據(jù)此列出方程即可。

【詳解】（1.2＋1.5）m＝4050

解：2.7m＝4050

m＝4050÷2.7

m＝1500

列出方程是（1.2＋1.5）m＝4050。（答案不唯一）

5．（24-25六年級上·北京海淀·期末）星光小學(xué)籃球隊(duì)、足球隊(duì)和田徑隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之間的關(guān)系，如下圖所

示。

9

根據(jù)圖中信息，同學(xué)們列出了四個(gè)等量關(guān)系，其中正確的（）。

4343

①足球隊(duì)人數(shù)籃球隊(duì)人數(shù)②足球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)③籃球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)④籃球隊(duì)

5454

43

人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)

54

A．只有①②B．只有③④C．只有②③④D．有①②③④

【答案】C

4

【分析】看圖可知，將籃球隊(duì)人數(shù)看作單位“1”，足球隊(duì)人數(shù)是籃球隊(duì)的；將足球隊(duì)人數(shù)看作單位“1”，田

5

343

徑隊(duì)人數(shù)是足球隊(duì)的，田徑隊(duì)人數(shù)是籃球隊(duì)人數(shù)的，根據(jù)整體數(shù)量×部分對應(yīng)分率＝部分?jǐn)?shù)量，

454

逐個(gè)進(jìn)行分析。

43444

【詳解】①＝，田徑隊(duì)人數(shù)是籃球隊(duì)人數(shù)的，足球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)，原等量關(guān)系錯誤；

54555

3

②足球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)，等量關(guān)系正確；

4

43

③籃球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)，等量關(guān)系正確；

54

43

④籃球隊(duì)人數(shù)田徑隊(duì)人數(shù)，等量關(guān)系正確。

54

其中正確的只有②③④。

故答案為：C

考點(diǎn)二：數(shù)學(xué)文化問題

1．（2024·湖南岳陽·小升初真題）雞兔同籠是中國古代數(shù)學(xué)名題之一，在《孫子算經(jīng)》中有記載。如果雞

兔同籠，上有35個(gè)頭，下有94只腳，那么雞有()只，兔有()只。

【答案】2312

【分析】設(shè)雞有x只，則兔有35x只，則雞有2x只腳，兔有435x只腳，再根據(jù)雞腳＋兔腳＝94只，

列出方程解答即可。

【詳解】解：設(shè)雞有x只，則兔有35x只，

2x435x94

2x1404x94

10

2x1404x4x944x

2x140944x

2x1402x944x2x

942x140

942x9414094

2x46

2x2462

x23

兔：352312（只）

所以雞有23只，兔有12只。

2．（2025六年級下·全國·專題練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國古代一部偉大的數(shù)學(xué)名著，其中描述了這樣一道

題：一個(gè)人用車裝米，從甲地運(yùn)往乙地，裝米的車日行25千米，不裝米的空車日行35千米，5日往返三次。

兩地相距千米。

87511

【答案】/24

3636

5

【分析】5日往返三次，則往返一次需要5÷3＝（日）。設(shè)往返一次裝米的車行了x日，則不裝米的車行

3

5

駛了（－x）日。根據(jù)題意可得：往返一次裝米的車的速度×所用時(shí)間＝不裝米的車的速度×所用時(shí)間，據(jù)

3

5

此可列出方程25x＝35×（－x）。解出方程求出往返一次裝米的車所用的時(shí)間后，再根據(jù)速度×?xí)r間＝路

3

程，用25乘所用的時(shí)間，即可求出兩地相距的路程。

5

【詳解】5÷3＝（日）

3

解：設(shè)往返一次裝米的車行了x日。

5

25x＝35×（－x）

3

175

25x＝－35x

3

175

25x＋35x＝

3

175

60x＝

3

11751

60x×＝×

60360

35

x＝

36

11

35875

25×＝（千米）

3636

則兩地相距875千米。

36

【點(diǎn)睛】列方程解答本題比較簡單。先求出往返一次所需的時(shí)間，再分別用含有字母的式子表示裝米和不

裝米的車所行的路程，從而列方程求出所用時(shí)間是解題的關(guān)鍵。

3．（2024六年級下·陜西西安·學(xué)業(yè)考試）《張丘建算經(jīng)》卷上第31問中有如下問題：“今有七百人造浮橋，

九日成，今增五百人，問日幾何？”意思是現(xiàn)在有700人造浮橋，9天能完成，如果增加500人，那么幾天

能完成？（假設(shè)每人每天的工作效率相等）

【答案】5.25天

【分析】假設(shè)每人每天的工作效率是1，設(shè)x天能完成，根據(jù)工作總量＝工作效率×工作時(shí)間，工作總量相

等，列出方程解答即可。

【詳解】解：假設(shè)每人每天的工作效率是1，設(shè)x天能完成。

700500x170091

1200x6300

1200x120063001200

x5.25

答：5.25天能完成。

4．（23-24六年級下·遼寧·課后作業(yè)）我國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》一書中有這樣一道題目：

“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里。駑馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”譯文：“快馬

每天走240里，慢馬每天走150里。慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”

【答案】20天

【分析】根據(jù)題意可得出等量關(guān)系：（快馬的速度－慢馬的速度）×快馬行走的天數(shù)＝慢馬先行的路程，據(jù)

此列出方程，并求解。

【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬。

（240－150）x＝150×12

90x＝1800

x＝1800÷90

x＝20

答：快馬20天可以追上慢馬。

5．（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）《算法統(tǒng)宗》中，許多數(shù)學(xué)問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，其中有一首

12

“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都來寺，在這座寺廟里，3個(gè)和尚合吃一碗飯，4個(gè)和尚合分一碗湯，

一共用了364只碗。請問都來寺里有多少個(gè)和尚。利用方程知識可以解決這個(gè)有趣的問題，我們試一下吧！

以碗知僧

魏巍古寺在山中，不知寺內(nèi)幾多僧，

三百六十四只碗，恰合用盡不差爭，

三人共食一碗飯，四人共嘗一碗羹，

請問先生能算者，都來寺內(nèi)幾多僧。

——摘自（明）程大位著《算法統(tǒng)宗》

【答案】624個(gè)

1

【分析】根據(jù)題意，設(shè)都來寺里有x個(gè)和尚；由“3個(gè)和尚合吃一碗飯”可知，一個(gè)和尚吃碗飯，則吃飯共

3

111

用了x只碗；由“4個(gè)和尚合分一碗湯”可知，一個(gè)和尚喝碗湯，則喝湯共用了x只碗；

344

根據(jù)“一共用了364只碗”可得出等量關(guān)系：吃飯用碗的數(shù)量＋喝湯用碗的數(shù)量＝碗的總數(shù)，據(jù)此列出方程，

并求解。

【詳解】解：設(shè)都來寺里有x個(gè)和尚。

11

x＋x＝364

34

43

x＋x＝364

1212

7

x＝364

12

7

x＝364÷

12

12

x＝364×

7

x＝624

答：都來寺里有624個(gè)和尚。

【點(diǎn)睛】本題考查列方程解決問題，理解“3個(gè)和尚合吃一碗飯，4個(gè)和尚合分一碗湯”的含義，從題目中找

出等量關(guān)系，根據(jù)等量關(guān)系列出方程解答。

數(shù)學(xué)文化類問題主要根據(jù)題干中找到等量關(guān)系解題即可。

（1）基本量及關(guān)系：增長量＝原有量×增長率，現(xiàn)有量＝原有量+增長量，現(xiàn)有量＝原有量－降低量．

13

（2）尋找相等關(guān)系：抓住關(guān)鍵詞列方程，常見的關(guān)鍵詞：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率

等．

1．（24-25六年級上·山西長治·期中）某調(diào)查組仿照《曹沖稱象》的故事中所用的方法，稱出一頭大象重

1

2.53t。在稱的過程中，石頭不夠、又選了一些單人平均體重約為每筐石頭的的志愿者上船，一筐石頭大

3

約重()千克。

【答案】172.5

【分析】2.53噸＝2530千克；設(shè)一筐石頭大約重x千克，12筐石頭是12x千克；單人平均體重約為每筐石

111

頭的，單人平均體重為x千克，8人體重約為（8×x）千克；12筐石頭的重量＋8人的重量＝大象的重

333

1

量，列方程：12x＋8×x＝2530，解方程，即可解答。

3

【詳解】解：設(shè)一筐石頭的大約重是x千克。

1

12x＋8×x＝2530

3

8

12x＋x＝2530

3

44

x＝2530

3

44

x＝2530÷

3

3

x＝2530×

44

x＝172.5

一筐石頭大約重172.5千克。

2．（22-23五年級下·遼寧·課后作業(yè)）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》一書中有這樣一道題：一支竿子一條

索，索比竿子長一托，對折索子來量竿，卻比竿子短一托。如果1托為5尺，那么設(shè)竿子長為x尺，依據(jù)

題意，可列出方程得。

【答案】（x＋5）÷2＝x－5

14

【分析】根據(jù)題意可知，索比竿子長一托，也就是長5尺，設(shè)竿子長為x尺，則索長（x＋5）尺；對折索

子來量竿，卻比竿子短一托，也就是索子的一半比竿子短5尺，據(jù)此可知，（x＋5）÷2＝x－5，據(jù)此解出

方程即可。

【詳解】根據(jù)分析可知，設(shè)竿子長為x尺，依據(jù)題意，可列出方程得（x＋5）÷2＝x－5。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了列方程解決問題，找到相應(yīng)的關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。

3．（2020·北京房山·小升初真題）根據(jù)題意列方程，不解答。

我國明代著名數(shù)學(xué)家程大位的《算法統(tǒng)宗》一書中，記載了一些詩歌形式的算題，其中有一道趣題：一百

饅頭一百僧，大僧三個(gè)更無爭，小僧三人分一個(gè)，大小和尚各幾丁？意思是：有100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭，

如果大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)，正好分完。試問大、小和尚各多少人？

【答案】解：設(shè)大和尚有x人，根據(jù)題意可列方程：

100x

3x100

3

【分析】首先找到題中的等量關(guān)系，為大和尚吃饅頭數(shù)量＋小和尚吃饅頭數(shù)量＝100。再設(shè)大和尚為x人，

并用含有x的式子結(jié)合題意表示大小和尚分別吃掉的饅頭數(shù)量，代入等式即可。

【詳解】等量關(guān)系：大和尚吃饅頭數(shù)量＋小和尚吃饅頭數(shù)量＝100。因?yàn)樵O(shè)大和尚人數(shù)為x人，則小和尚人

數(shù)為（100－x）人。再依據(jù)題中“大和尚1人分3個(gè)，小和尚3人分1個(gè)”，則大和尚吃饅頭總數(shù)為3x個(gè)，

100x100x

小和尚吃饅頭總數(shù)為，故列式為3x100。

33

【點(diǎn)睛】雞兔同籠問題，既可用假設(shè)法來解，也可用方程。用方程來解時(shí)，是順向思維占主導(dǎo)作用。

4．（2024六年級下·全國·專題練習(xí)）《九章算術(shù)》第七章“盈不足”：今有共買雞，人出九，盈十一；人出

六，不足十六。

問：人數(shù)、雞價(jià)各幾何？

譯釋：幾人湊錢買雞，每人出9元，則多11元；每人出6元，則差16元。有幾人？雞的價(jià)格是多少元？

【答案】9人；70元

【分析】根據(jù)題意可知，雞的總價(jià)、總?cè)藬?shù)是不變的，總?cè)藬?shù)×9元－11元＝總?cè)藬?shù)×6元＋16元，設(shè)一共

有x人，列方程為9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可。

【詳解】解：設(shè)一共有x人。

9x－11＝6x＋16

15

9x－11＋11＝6x＋16＋11

9x＝6x＋27

9x－6x＝6x＋27－6x

3x＝27

3x÷3＝27÷3

x＝9

9×9－11

＝81－11

＝70（元）

答：有9人；雞的價(jià)格是70元。

【點(diǎn)睛】本題主要考查了盈虧問題，可用列方程解決問題，找到相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵。

5．（23-24六年級上·遼寧·課后作業(yè)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一段記載：“三百七十八里

關(guān)，初日健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)?！贝笠馐牵河幸粋€(gè)人走了378里路，第一天健步

行走，第二天因腳疼，每天走的路程為前一天的一半，走了6天才到達(dá)目的地。請計(jì)算此人第二天走的路

程。(注：里，古代長度單位)

【答案】96里

【分析】根據(jù)題意每天行走的路程為前一天的1，所以可以設(shè)第一天走的路程為x，那么第二天走的路程為

2

1111

x，第三天走的路程為x的是x，以此類推，六天行走的路程是378里，根據(jù)這一等量關(guān)系列方程解

2224

答即可。

1111111111111

【詳解】1÷2＝×＝×＝×＝×＝

2224428821616232

1

解：設(shè)此人第一天走了x里路，則第二天走了x里路。

2

11111

xxxxxx378

2481632

32168421

xxxxxx378

323232323232

63

x378

32

63

x378

32

32

x378

63

x192

16

1

192×＝96（里）

2

答：此人第二天走了96里。

考點(diǎn)三：行程問題

1．（2024·四川綿陽·小升初真題）一列快車從甲地勻速駛往乙地，一列慢車從乙地勻速駛往甲地。兩車行

駛的時(shí)間為xh，兩車之間的距離為ykm，圖中的折線表示y與x之間的關(guān)系，根據(jù)圖象解決以下問題：

（1）慢車的速度為（）km/h，快車的速度為（）km/h。

（2）求當(dāng)x為多少時(shí)，兩車之間的距離為500km？

【答案】（1）80；120；

（2）當(dāng)x為1.1或6.25時(shí)，兩車之間的距離為500km。

【分析】（1）設(shè)慢車的速度為akm/h，快車的速度為bkm/h，根據(jù)速度時(shí)間＝路程，結(jié)合題意得：3.6×

（a＋b）＝720，（9－3.6）×a＝3.6×b，解方程即可。

（2）兩車行駛過程中有2次兩車之間的距離是500km，相遇前：（80＋120）x＝720－500，解方程即可；

相遇后：點(diǎn)C（6，480），慢車再行駛20km兩車之間的距離為500km，計(jì)算慢車行駛20km需要的時(shí)間，

再加上6即可得解。

【詳解】（1）解：設(shè)慢車的速度為akm/h，快車的速度為bkm/h。

（9－3.6）×a＝3.6×b

5.4a＝3.6b

b5.43.6a

b1.5a

把b1.5a代入關(guān)系式3.6×（a＋b）＝720

3.6（a＋1.5a）＝720

3.62.5a＝720

9a＝720

17

a＝7209

a80

b1.580120

慢車的速度為80km/h，快車的速度為120km/h。

（2）相遇前：（80＋120）x＝720－500

解：200x＝220

x＝220200

x1.1

相遇后：因?yàn)辄c(diǎn)C（6，480），慢車再行駛20千米兩車之間的距離為500千米。

20÷80＝0.25（時(shí)）

x＝6＋0.25＝6.25（時(shí)）

答：當(dāng)x為1.1或6.25時(shí)，兩車之間的距離為500km。

【點(diǎn)睛】根據(jù)題意找出關(guān)系式，有兩個(gè)未知數(shù)的，要先替換為一個(gè)未知數(shù)，解方程；相遇前兩車有一次距

離500km；相遇后兩車又有一次距離500km；還要注意，快車已到乙地，兩車距離不到500km，慢車還得

再行20km。

2．（24-25五年級上·山東濟(jì)南·期末）甲、乙兩地相距540千米，一輛貨車和一輛客車同時(shí)從兩地相對開出，

3小時(shí)后兩車還相距135千米（未相遇）。已知客車每小時(shí)行駛72千米，貨車每小時(shí)行駛多少千米？（用

方程解答）

【答案】63千米

【分析】根據(jù)題意可知，設(shè)貨車每時(shí)行千米，則貨車速度×?xí)r間＋客車速度×?xí)r間＋135＝540，據(jù)此列出方

程求解即可。

【詳解】解：設(shè)貨車每小時(shí)行駛x千米。

3×72＋3x＋135＝540

216＋3x＋135＝540

351＋3x＝540

3x＝540－351

3x＝189

x＝189÷3

x＝63

答：貨車每小時(shí)行駛63千米。

18

3．（2024·河南鄭州·小升初真題）如圖，甲、乙兩人沿著邊長為70米的正方形，按逆時(shí)針的方向行走，甲

從A以65米/分的速度行走，乙從B以72米/分的速度行走，當(dāng)乙第一次追上甲時(shí)，是在正方形的邊

（AB、BC、CD或DA）上。

【答案】DA

【分析】設(shè)乙第一次追上甲用了x分鐘，則有乙行走的路程等于甲行走的路程加上70×3，根據(jù)其相等關(guān)系

列方程得72x＝65x＋70×3，根據(jù)正方形的周長＝邊長4，再用甲行走的總路程除以正方形的周長，所得

的余數(shù)再與AB，AB與BC的和，AB、BC與CD的和比較即可得解。

【詳解】解：設(shè)乙第一次追上甲用了x分鐘。

72x＝65x＋70×3

72x－65x＝65x＋210－65x

7x＝210

7x÷7＝210÷7

x＝30

65×30＝1950（米）

704280（米）

1950÷280＝6（圈）……270（米）

AB的距離是70米，AB與BC的和是702140（米），AB、BC與CD的和是703210（米）

70210270280

所以，乙第一次追上甲是在DA邊上。

【點(diǎn)睛】根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，求出乙第一次追上甲兩人所用的時(shí)間，

因?yàn)閮扇藝@正方形走了多圈，再按照周期問題找到兩人相遇的位置即可。

4．（2024六年級下·四川·專題練習(xí)）明明家和學(xué)校相距2300米，每天步行上學(xué)，有一天他正以每分鐘80

米的速度前進(jìn)著，一抬頭看見路邊的鐘表發(fā)現(xiàn)要遲到，他馬上改用每分鐘150米的速度跑步前進(jìn)，途中共

用20分鐘，準(zhǔn)時(shí)到達(dá)了學(xué)校。明明在離學(xué)校多遠(yuǎn)的地方開始跑步？

【答案】1500米

【分析】設(shè)明明以每分鐘80米的速度行了x分鐘，則以每分鐘150米的速度行了（20－x）分鐘。根據(jù)每

19

分鐘80米的速度所行的路程每分鐘150米的速度所行的路程明明家到學(xué)校的路程，列方程解答。

【詳解】解：設(shè)明明以每分鐘80米的速度行了x分鐘。

80x150(20x)2300

80x3000150x2300

300070x2300

7x＝3000－2300

70x700

70x÷70＝700÷70

x10

23008010

2300800

1500（米)

答：明明在離學(xué)校1500米遠(yuǎn)的地方開始跑步。

【解題技巧】行程問題總公式：路程=速度×?xí)r間。不同類型問題，在求解速度時(shí)有所不同，具體如下：

①相遇問題（或相向問題）：Ⅰ．基本量及關(guān)系：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間；

Ⅱ．尋找相等關(guān)系：甲走的路程+乙走的路程＝兩地距離．

②追及問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：追及路程=速度差×追及時(shí)間；

Ⅱ．尋找相等關(guān)系：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程＝追者走的路程；同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程+

兩者相距距離＝追者走的路程．

③航行問題：Ⅰ．基本量及關(guān)系：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度－水流速度；

Ⅱ．尋找相等關(guān)系：抓住兩地之間距離不變、水流速度不變、船在靜水中的速度不變來考慮．

解此類題的關(guān)鍵是抓住甲、乙兩物體的時(shí)間關(guān)系或所走的路程關(guān)系，并且還常常借助畫草圖來分析．

1．（2024·山西運(yùn)城·小升初真題）甲、乙兩地相距840千米，一輛貨車和一輛客車分別從甲乙兩地同時(shí)相

向開出，經(jīng)過6小時(shí)相遇。客車每小時(shí)比貨車快14千米，兩車的速度各是多少？（用方程解）

【答案】貨車的速度是63千米/時(shí)；客車的速度是77千米/時(shí)

【分析】已知路程和相遇時(shí)間，以及兩車速度差，通過設(shè)貨車速度為x千米/時(shí)，利用客車與貨車速度關(guān)系

20

表示出客車速度；再依據(jù)相遇問題“路程＝速度和×相遇時(shí)間”這一公式列出方程求解。

【詳解】解：設(shè)貨車速度為x千米/時(shí)，則客車速度為（x＋14）千米/時(shí)。

（x＋x＋14）×6＝840

（2x＋14）×6＝840

（2x＋14）×6÷6＝840÷6

2x＋14＝140

2x＋14－14＝140－14

2x＝126

2x÷2＝126÷2

x＝63

x＋14＝63＋14＝77

答：貨車的速度是63千米/時(shí)，客車的速度是77千米/時(shí)。

2．（23-24五年級下·遼寧·課后作業(yè)）帶著小狗的小明和小兵同時(shí)從相距1200米的兩地相向而行，小明每

分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明這邊跑，遇到

小明后再向小兵那邊跑……當(dāng)小明和小兵相遇時(shí)，小狗一共跑了多少米？

【答案】2400米

【分析】根據(jù)題意可知，先設(shè)小明、小兵x分相遇，結(jié)合相遇公式：速度和×相遇時(shí)間＝全長，算出他們的

相遇時(shí)間，再根據(jù)速度×?xí)r間＝路程這一公式，用相遇時(shí)間乘上小狗的速度即可算出答案。

【詳解】解：設(shè)小明和小兵x分相遇。

（55＋65）x＝1200

120x＝1200

120x÷120＝1200÷120

x＝10

240×10＝2400（米）

答：小狗一共跑了2400米。

3．（2024·四川綿陽·小升初真題）A、B兩市相距176千米，兩市之間一處因山體滑坡導(dǎo)致連接這兩市的公

路受阻，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)接到指令，要求于早上7點(diǎn)，分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)趕往滑坡地點(diǎn)疏通公路。

1

甲隊(duì)于9點(diǎn)趕到并立即開工半小時(shí)后，乙隊(duì)也趕到，并立即投入搶修工作，此時(shí)甲隊(duì)已完成了全部任務(wù)的。

24

3

（1）如果滑坡受損公路長1千米，甲隊(duì)行進(jìn)的速度是乙隊(duì)的倍多5千米，求甲、乙兩隊(duì)的行進(jìn)的速度各

2

21

是多少？

（2）如果下午3點(diǎn)兩隊(duì)就完成公路疏通任務(wù)，勝利會師，那么若由乙隊(duì)單獨(dú)疏通這段公路時(shí)，需要多少時(shí)

間才能完成任務(wù)？

【答案】（1）甲隊(duì)：50千米/小時(shí)，乙隊(duì)：30千米/小時(shí)

（2）11小時(shí)

3

【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)的行進(jìn)速度是x千米/小時(shí)，則甲隊(duì)的行進(jìn)速度是（x＋5）千米/小時(shí)。從早上7點(diǎn)

2

到9點(diǎn)，經(jīng)歷了2小時(shí)，甲開工半小時(shí)后乙才到，說明乙走了2.5小時(shí)，由于受損公路長1千米，用甲、乙

走的路程和＝兩市相距的距離再減去受損公路長，據(jù)此即可列出方程，再求解即可。

1

（2）由于從上午9點(diǎn)到下午3點(diǎn)總共經(jīng)歷了6小時(shí)，最開始甲隊(duì)工作0.5小時(shí)，完成了總量的，根據(jù)工

24

1

作效率＝工作總量÷工作時(shí)間，用÷0.5求出甲的效率。設(shè)乙的效率為y，由于甲隊(duì)工作了6小時(shí)，乙隊(duì)工

24

作的時(shí)間是：6－0.5＝5.5（小時(shí)），根據(jù)工作效率×工作時(shí)間＝工作總量，甲隊(duì)工作量＋乙隊(duì)工作量＝1，

據(jù)此列方程即可求出乙隊(duì)的效率，再用1除以乙隊(duì)的效率即可求出時(shí)間。

3

【詳解】（1）解：設(shè)乙隊(duì)的行進(jìn)速度是x千米/小時(shí)，則甲隊(duì)的行進(jìn)速度是（x＋5）千米/小時(shí)。

2

9：00－7：00＝2（小時(shí)）

2小時(shí)＋0.5小時(shí)＝2.5小時(shí)

3

2×（x＋5）＋2.5x＝176－1

2

3

2×x＋2×5＋2.5x＝175

2

3x＋10＋2.5x＝175

5.5x＝175－10

5.5x＝165

x＝165÷5.5

x＝30

3

30×＋5

2

＝45＋5

＝50（千米/小時(shí)）

答：甲隊(duì)的行進(jìn)速度是50千米/小時(shí)，乙隊(duì)的行進(jìn)速度是30千米/小時(shí)。

11111

（1）÷0.5＝÷＝×2＝

242422412

22

解：設(shè)乙的工作效率為