矩估計(jì)題目及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.樣本均值是總體均值的（）A.無偏估計(jì)B.有偏估計(jì)C.一致估計(jì)D.有效估計(jì)2.設(shè)總體\(X\)的均值為\(\mu\)，用矩估計(jì)法估計(jì)\(\mu\)，通常用（）A.樣本二階中心矩B.樣本均值C.樣本方差D.樣本中位數(shù)3.對(duì)于總體\(X\)，矩估計(jì)的基本思想是（）A.用樣本矩估計(jì)總體矩B.用總體矩估計(jì)樣本矩C.用樣本均值估計(jì)總體方差D.用樣本方差估計(jì)總體均值4.若總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，用矩估計(jì)法估計(jì)\(\mu\)，\(\sigma^{2}\)，得到\(\hat{\mu}\)，\(\hat{\sigma}^{2}\)，則（）A.\(\hat{\mu}\)是無偏估計(jì)，\(\hat{\sigma}^{2}\)是無偏估計(jì)B.\(\hat{\mu}\)是無偏估計(jì)，\(\hat{\sigma}^{2}\)不是無偏估計(jì)C.\(\hat{\mu}\)不是無偏估計(jì)，\(\hat{\sigma}^{2}\)是無偏估計(jì)D.\(\hat{\mu}\)不是無偏估計(jì)，\(\hat{\sigma}^{2}\)不是無偏估計(jì)5.設(shè)總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},0\ltx\lt\theta\\0,其他\end{cases}\)，用矩估計(jì)法估計(jì)\(\theta\)，則\(\hat{\theta}\)為（）A.\(2\overline{X}\)B.\(\overline{X}\)C.\(\frac{1}{2}\overline{X}\)D.\(\overline{X}^{2}\)6.已知總體\(X\)的期望\(E(X)=\mu\)，方差\(D(X)=\sigma^{2}\)，樣本均值為\(\overline{X}\)，樣本方差為\(S^{2}\)，用矩估計(jì)法估計(jì)\(\mu\)，\(\sigma^{2}\)，則\(\hat{\mu}=\)（）A.\(S^{2}\)B.\(\overline{X}\)C.\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\)D.\(\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\)7.設(shè)總體\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布\(P(\lambda)\)，用矩估計(jì)法估計(jì)\(\lambda\)，則\(\hat{\lambda}\)為（）A.\(\overline{X}\)B.\(S^{2}\)C.\(\frac{1}{\overline{X}}\)D.\(\overline{X}^{2}\)8.用矩估計(jì)法估計(jì)總體參數(shù)，要求總體的（）存在。A.所有階矩B.前\(k\)階矩（與未知參數(shù)個(gè)數(shù)有關(guān)）C.二階矩D.一階矩9.設(shè)總體\(X\)的分布函數(shù)\(F(x;\theta)\)含有未知參數(shù)\(\theta\)，矩估計(jì)法是通過（）來確定\(\theta\)的估計(jì)量。A.樣本的經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)B.樣本的數(shù)字特征與總體數(shù)字特征相等C.極大似然原理D.最小二乘法10.總體\(X\)具有概率分布\(P(X=k)=\frac{\theta^{k}e^{-\theta}}{k!},k=0,1,2,\cdots\)，用矩估計(jì)法估計(jì)\(\theta\)，得到\(\hat{\theta}\)為（）A.\(\overline{X}\)B.\(S^{2}\)C.\(\frac{1}{\overline{X}}\)D.\(\overline{X}^{2}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下關(guān)于矩估計(jì)的說法正確的是（）A.矩估計(jì)是一種參數(shù)估計(jì)方法B.矩估計(jì)利用樣本矩來估計(jì)總體矩C.對(duì)于正態(tài)總體，矩估計(jì)得到的均值和方差估計(jì)量是無偏的D.矩估計(jì)不需要知道總體的分布類型E.矩估計(jì)得到的估計(jì)量一定是唯一的2.設(shè)總體\(X\)，用矩估計(jì)法估計(jì)總體參數(shù)時(shí)，可能用到的樣本矩有（）A.樣本一階原點(diǎn)矩B.樣本二階原點(diǎn)矩C.樣本一階中心矩D.樣本二階中心矩E.樣本三階中心矩3.對(duì)于總體\(X\simU(a,b)\)（均勻分布），用矩估計(jì)法估計(jì)\(a\)，\(b\)，需要用到（）A.樣本均值B.樣本方差C.樣本二階原點(diǎn)矩D.樣本三階原點(diǎn)矩E.樣本中位數(shù)4.矩估計(jì)法的優(yōu)點(diǎn)有（）A.計(jì)算簡(jiǎn)便B.不需要總體分布具體形式C.具有較好的大樣本性質(zhì)D.估計(jì)量一定是無偏的E.估計(jì)量一定是有效估計(jì)5.以下哪些總體分布可以用矩估計(jì)法估計(jì)參數(shù)（）A.正態(tài)分布B.泊松分布C.均勻分布D.指數(shù)分布E.二項(xiàng)分布6.設(shè)總體\(X\)的概率密度\(f(x;\theta_{1},\theta_{2})\)含有兩個(gè)未知參數(shù)\(\theta_{1},\theta_{2}\)，用矩估計(jì)法估計(jì)時(shí)，需要建立的方程有（）A.\(E(X)=\overline{X}\)B.\(E(X^{2})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\)C.\(D(X)=S^{2}\)D.\(E(X^{3})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{3}\)E.\(E(X^{4})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{4}\)7.關(guān)于矩估計(jì)量的性質(zhì)，正確的是（）A.有些矩估計(jì)量是無偏的B.有些矩估計(jì)量是一致的C.所有矩估計(jì)量都是有偏的D.矩估計(jì)量的方差一定最小E.矩估計(jì)量的期望一定等于總體參數(shù)真值8.用矩估計(jì)法估計(jì)總體參數(shù)時(shí)，若總體分布為\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n\)，則（）A.可以用樣本均值估計(jì)\(np\)B.可以用樣本方差估計(jì)\(np(1-p)\)C.可以聯(lián)立方程求解\(n\)和\(p\)D.只能估計(jì)\(p\)，無法估計(jì)\(n\)E.矩估計(jì)量一定是無偏的9.設(shè)總體\(X\)具有概率密度\(f(x;\theta)\)，當(dāng)用矩估計(jì)法估計(jì)\(\theta\)時(shí)，以下說法正確的是（）A.若\(E(X)\)是\(\theta\)的函數(shù)，可通過\(E(X)=\overline{X}\)求解\(\theta\)的估計(jì)量B.若\(E(X^{2})\)與\(\theta\)有關(guān)，可通過\(E(X^{2})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\)求解\(\theta\)的估計(jì)量C.可能需要解方程組來確定\(\theta\)的估計(jì)量D.得到的\(\theta\)的估計(jì)量一定是一個(gè)常數(shù)E.得到的\(\theta\)的估計(jì)量是樣本的函數(shù)10.以下關(guān)于矩估計(jì)和極大似然估計(jì)的關(guān)系，說法正確的是（）A.對(duì)于某些總體分布，矩估計(jì)和極大似然估計(jì)結(jié)果相同B.矩估計(jì)和極大似然估計(jì)都是參數(shù)估計(jì)方法C.極大似然估計(jì)利用總體分布的概率密度或分布律，矩估計(jì)利用樣本矩D.矩估計(jì)的計(jì)算一般比極大似然估計(jì)簡(jiǎn)單E.二者得到的估計(jì)量一定都具有無偏性三、判斷題（每題2分，共10題）1.矩估計(jì)法得到的估計(jì)量一定是總體參數(shù)的無偏估計(jì)。（）2.對(duì)于任何總體，只要樣本容量足夠大，矩估計(jì)量一定是總體參數(shù)的一致估計(jì)。（）3.用矩估計(jì)法估計(jì)總體參數(shù)時(shí)，不需要知道總體的分布形式。（）4.若總體\(X\)的均值為\(\mu\)，用樣本均值\(\overline{X}\)作為\(\mu\)的矩估計(jì)量，則\(E(\overline{X})=\mu\)。（）5.總體\(X\)的二階中心矩的矩估計(jì)量就是樣本二階中心矩。（）6.設(shè)總體\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的指數(shù)分布，用矩估計(jì)法得到\(\hat{\lambda}=\overline{X}\)。（）7.矩估計(jì)法只能估計(jì)總體的一階矩和二階矩對(duì)應(yīng)的參數(shù)。（）8.用矩估計(jì)法估計(jì)總體參數(shù)時(shí)，得到的估計(jì)量是唯一的。（）9.若總體\(X\)的分布函數(shù)含有多個(gè)未知參數(shù)，矩估計(jì)法通過建立多個(gè)樣本矩與總體矩相等的方程來求解這些參數(shù)。（）10.樣本均值是總體均值的矩估計(jì)量，且一定是有效估計(jì)量。（）四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述矩估計(jì)法的基本步驟。答案：首先求總體的\(k\)階矩（與未知參數(shù)個(gè)數(shù)有關(guān)），將其表示為未知參數(shù)的函數(shù)。然后用樣本的\(k\)階矩代替總體的\(k\)階矩，得到關(guān)于未知參數(shù)的方程或方程組，最后求解方程或方程組得到未知參數(shù)的矩估計(jì)量。2.為什么樣本均值是總體均值的矩估計(jì)量？答案：總體一階原點(diǎn)矩\(E(X)\)就是總體均值\(\mu\)，樣本一階原點(diǎn)矩是樣本均值\(\overline{X}\)。矩估計(jì)法用樣本矩估計(jì)總體矩，令\(E(X)=\overline{X}\)，所以樣本均值是總體均值的矩估計(jì)量。3.矩估計(jì)法有什么局限性？答案：矩估計(jì)有時(shí)得到的估計(jì)量可能不是無偏的，也不一定是有效估計(jì)量。對(duì)于一些復(fù)雜分布，可能無法準(zhǔn)確反映總體特征。而且不同的矩選擇可能得到不同的估計(jì)量，缺乏唯一性判斷標(biāo)準(zhǔn)。4.對(duì)于總體\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，用矩估計(jì)法估計(jì)\(\mu\)和\(\sigma^{2}\)的依據(jù)是什么？答案：總體均值\(E(X)=\mu\)，總體二階原點(diǎn)矩\(E(X^{2})=\mu^{2}+\sigma^{2}\)。樣本均值\(\overline{X}\)是樣本一階原點(diǎn)矩，\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\)是樣本二階原點(diǎn)矩。令\(E(X)=\overline{X}\)得\(\hat{\mu}=\overline{X}\)；令\(E(X^{2})=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}^{2}\)并結(jié)合\(\hat{\mu}=\overline{X}\)可求出\(\hat{\sigma}^{2}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在實(shí)際應(yīng)用中，如何判斷矩估計(jì)法得到的估計(jì)量是否合適？答案：可從無偏性判斷，若估計(jì)量的期望等于總體參數(shù)真值則無偏；從一致性看，樣本容量增大時(shí)估計(jì)量依概率收斂到總體參數(shù)；還可比較方差，方差小的估計(jì)量更有效。另外結(jié)合實(shí)際背景，看估計(jì)量是否符合實(shí)際意義。2.當(dāng)總體分布形式未知時(shí)，矩估計(jì)法相比其他估計(jì)方法有什么優(yōu)勢(shì)？答案：優(yōu)勢(shì)在于不需要知道總體具體分布形式，只要總體矩存在即可。通過樣本矩估計(jì)總體矩來求未知參數(shù)，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)便。在很多實(shí)際情況無法確定總體分布時(shí)，矩估計(jì)法仍能進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，適用性強(qiáng)。3.對(duì)于一個(gè)含有多個(gè)未知參數(shù)的總體，矩估計(jì)法和極大似然估計(jì)法在計(jì)算復(fù)雜度和估計(jì)效果上有何不同？答案：計(jì)算復(fù)雜度上，矩估計(jì)法通過建立樣本矩與總體矩相等的方程求解，相對(duì)簡(jiǎn)單；極大似然估計(jì)需構(gòu)造似然函數(shù)并求導(dǎo)或優(yōu)化，較復(fù)雜。估計(jì)效果上，矩估計(jì)具有一定通用性，但可能不是最優(yōu)估計(jì)；極大似然估計(jì)在很多情況下是漸近最優(yōu)的，但對(duì)分布形式依賴大。4.舉例說明矩估計(jì)法在不同領(lǐng)域的應(yīng)用。答案：在質(zhì)量控制領(lǐng)域，可通過樣本均值和方差（矩估計(jì)）監(jiān)控產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是否穩(wěn)定；在生物統(tǒng)計(jì)中，估計(jì)生物種群數(shù)量特征等；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，對(duì)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的均值、方差等進(jìn)行矩估計(jì)，分